第61卷 离散型随机变量及其分布-考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的基础层考点训练，聚焦离散型随机变量概念、分布列及数字特征，通过微目标拆解夯实知识逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4题|判断离散型随机变量及取值范围|从实际情境抽象随机变量概念，明确离散型特征| |分布列与数字特征|选择5-9、填空11/13/15|分布列性质应用及期望方差计算|以分布列为核心，推导数字特征公式，强化运算能力| |概率应用|选择10、填空12、解答16-21|结合摸球/射击/检测等情境的概率计算|从独立事件到二项分布，构建“概念-模型-应用”推理链条，发展数据意识与模型观念|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第61卷 离散型随机变量及其分布 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．抛掷两颗骰子，朝上的点数之和为，则“”表示试验结果是（    ） A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．两颗都是4点 D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 3．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为，则的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的取值为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3 5．设离散型随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 则（   ） A． B． C． D． 6．若随机变量的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.4 0.2 则等于（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 7．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知随机变量的分布列如下： ξ 3 5 7 P a b a 则ξ的期望为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．若随机变量 ，则 的值为（    ） A．6 B．7 C．13 D．14 10．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（ ） A．0.12 B．0.56 C．0.44 D．0.88 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．设为随机变量且，若随机变量的数学期望，则等于______. 12．已知A、B为互相独立事件，且，，则__________. 13．已知随机变量X的分布列如表，则X的数学期望___________. X 0 1 2 P 14．已知，则________． 15．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则__________. X 0 1 P a b c 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记． (1)求； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 17．袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：. (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差. 18．如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： (1)2个球都是红球； (2)2个球中恰好有1个红球； (3)2个球不都是红球； (4)至少有1个是红球． 19．某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，现从其加工的一批零件中随机抽取3个零件进行质量检测，记抽到的合格品个数为． (1)求随机变量的分布列； (2)求抽到的合格品个数不少于2的概率，以及的数学期望和方差． 20．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为，甲、乙两人的射击互不影响，求： (1)甲、乙同时射中目标的概率？ (2)甲、乙中至少有一人击中目标的概率？ 21．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样），求这三人中，月均用水量在至吨的居民数的分布列和数学期望． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第61卷 离散型随机变量及其分布 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可. 【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举， ②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举， ③一天之内的温度是连续型变量， ④一次射击中的得分是可一一列举， 由离散随机变量的定义知：①②④. 故选：B 2．抛掷两颗骰子，朝上的点数之和为，则“”表示试验结果是（    ） A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．两颗都是4点 D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 【答案】D 【分析】由离散型随机变量知识即可求解. 【详解】解：依题意得，随机变量取值， 而一颗是点，一颗是点或两颗都是点是代表的所有试验结果． 故选：D 3．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为，则的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量的可能情况确定随机变量的取值. 【详解】同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ， 可能没有硬币反面向上、有1枚硬币反面向上、有2枚硬币反面向上、 有3枚硬币反面向上，有4枚硬币反面向上、有5枚硬币反面向上， 所以可能取值的集合为. 故选：A. 4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的取值为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量所有可能的取值分析即可. 【详解】的取值可以是0，1，2，分别表示取到0件次品，1件次品，2件次品三种可能. 故选:C. 5．设离散型随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离散随机变量的分布列求解即可. 【详解】根据分布列知，. 故选：A. 6．若随机变量的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.4 0.2 则等于（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由题意可知，，解得， 所以. 故选：. 7．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由独立重复实验的概率求法可解. 【详解】由题意知本题是一个独立重复试验，射击一次击中目标的概率为0.6， 经过3次射击，至少有2次击中目标包含两次击中目标和三次击中目标， 所以概率为， 故选：A. 8．已知随机变量的分布列如下： ξ 3 5 7 P a b a 则ξ的期望为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意结合分布列的性质及期望公式即可得解. 【详解】由分布列可知，， 期望， 故选：. 9．若随机变量 ，则 的值为（    ） A．6 B．7 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】由题意得，，所以. 故选：B. 10．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（ ） A．0.12 B．0.56 C．0.44 D．0.88 【答案】D 【分析】求出两人均没有击中目标的概率，再根据对立事件的概率即可求出答案. 因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4， 所以两人均没有击中目标的概率为， 所以至少有1人击中目标的概率是. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．设为随机变量且，若随机变量的数学期望，则等于______. 【答案】 【分析】由二项分布X～B的数学期望,再将已知条件代入运算即可得解. 【详解】根据题意，知，得， 即，那么. 故答案为：. 12．已知A、B为互相独立事件，且，，则__________. 【答案】/0.4 【分析】根据相互独立事件的计算公式，即可求结果 【详解】由题意得为互相独立事件. 且,, 则 故答案为： 13．已知随机变量X的分布列如表，则X的数学期望___________. X 0 1 2 P 【答案】/ 【分析】根据数学期望公式求值即可. 【详解】由表格可知，. 故答案为：. 14．已知，则________． 【答案】/ 【分析】根据二项分布方差公式直接求解即可. 【详解】，. 故答案为：. 15．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则__________. X 0 1 P a b c 【答案】 【分析】利用概率和为及等差中项公式可求。 【详解】因为a，b，c成等差数列，则， 又，则，，， 所以； 故答案为：. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记． (1)求； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）分别求出基本事件总数和目标事件数，根据概率公式即可解得. （2）根据的可能取值分别求出对应概率，列出分布列，再根据数学期望计算公式计算即可解得. 【详解】（1）由题，从盒子中摸出小球的基本事件总数为， 的基本事件数有， 故. （2）可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为： 数学期望 17．袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：. (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）分析随机变量的取值，根据古典概型求得概率，即可得到分布列. （2）根据随机变量的期望和方差的概念求解. 【详解】（1）随机变量可取的值为． 时，第一次红球第二次黄球，或第一次黄球第二次红球，； 时，第一二次红球第三次黄球，或第一二次黄球第三次红球，； 时，第一二三次红球第四次黄球，； 得随机变量的概率分布列为： 2 3 4 （2）随机变量的数学期望为：； 随机变量的方差为：. 18．如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： (1)2个球都是红球； (2)2个球中恰好有1个红球； (3)2个球不都是红球； (4)至少有1个是红球． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可. 【详解】（1）甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为； （2）2个球中恰好有1个红球概率为； （3）由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为； （4）由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为. 19．某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，现从其加工的一批零件中随机抽取3个零件进行质量检测，记抽到的合格品个数为． (1)求随机变量的分布列； (2)求抽到的合格品个数不少于2的概率，以及的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)，数学期望为2，方差为 【分析】（1）根据二项分布，计算的每个取值对应的概率，得出分布列； （2）根据分布列及二项分布的数学期望和方差公式求解. 【详解】（1）某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，不合格的概率为， 由题意可知，随机变量服从二项分布， 的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 （2） 抽到的合格品个数不少于2的概率为， 随机变量服从二项分布， 则的数学期望，的方差． 20．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为，甲、乙两人的射击互不影响，求： (1)甲、乙同时射中目标的概率？ (2)甲、乙中至少有一人击中目标的概率？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）利用独立事件和对立事件的概率公式可求得事件“甲、乙中至少有一人击中目标”的概率. 【详解】（1）解：在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为， 甲、乙两人的射击互不影响，则甲、乙同时射中目标的概率为. （2）解：记事件甲、乙中至少有一人击中目标，则事件甲、乙两人都没有击中， 所以，. 21．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样），求这三人中，月均用水量在至吨的居民数的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为即可求解. （2）由题意，，由此可计算分布列并求出数学期望. 【详解】（1）频率分布直方图中，所有频率之和为， 因此，解得. （2）由（1）知，若将频率视为概率， 则从这个城市随机抽取位居民月均用水量在至吨的概率为, 所以从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样）， 这三人中月均用水量在至吨的居民数， 因此，， ，， 故的分布列为 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $