第60卷 离散型随机变量及其分布-考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 基于三阶递进训练体系，聚焦离散型随机变量专项，通过概念辨析、分布列构建、数字特征计算及综合应用的层级设计，培养抽象能力与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4选择|随机变量判断/射击次数表示|从具体情境抽象离散型随机变量概念| |分布列构建|3选择+2填空+3解答|取球/粽子/学生选取模型|应用排列组合构建概率分布| |数字特征计算|3选择+3填空|期望/方差公式应用|由分布列推导数字特征| |综合应用|3解答|投篮/产品生产/普测模型|结合实际问题发展模型意识|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第60卷 离散型随机变量及其分布 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列变量中，属于离散型随机变量的是（    ） A．某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差 B．某人在景区排队等缆车的时间 C．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的定义可判断. 【详解】由离散型随机变量的定义可知，A、B、C项中的随机变量的取值不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 而D项中随机变量的取值都能一一列举出来，离散型随机变量. 故选：D 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ） A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的定义进行判断即可. 【详解】因为该人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为， 因为，所以表示该人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击中目标也可能没有击中目标，所以选项A、B、D错误；选项C正确. 故选：C. 3．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（    ） A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18 【答案】C 【分析】根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，可求出答案. 【详解】由题意，解得． 故选：C． 4．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义判断 【详解】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求 故选：B 5．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则等于（    ） X 1 2 3 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列以及期望公式即可解得. 【详解】由分布列可得. 故选：C. 6．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，且，则的值为（    ） 1 2 3 0.2 0.6 0.2 A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量方差的计算公式. 【详解】已知，结合题目给定的离散型随机变量的分布列， 所以方差为. 故选：B 7．若离散型随机变量满足，则和的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据均值与方差的性质结合已知条件即可求解. 【详解】因为离散型随机变量满足， 所以， . 故选： A . 8．若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 9．若离散型随机变量X的分布列为： 0 1 则的数学期望（   ） A．2 B．2或 C． D．1 【答案】C 【分析】根据分布列的性质列出方程求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由分布列可知，，解得（舍）或， 所以分布列为 0 1 则， 故选：. 10．已知离散型随机变量的概率分布如图：则E()等于( 　　) ξ 1 3 5 P 0.5 m 0.2 A．1 B．4.8 C．2＋3m D．5.8 【答案】D 【分析】利用分布列中概率的性质、数学期望公式以及性质求解. 【详解】由已知可知：，解得， 所以， 所以. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知口袋中有6个白球和4个红球，从中任取1个球，用表示“取到白球的个数”，给出的分布列如下表： 0 1 则_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用古典概型的概率公式与分布列的定义求得，从而得解. 【详解】依题意，一共有个球，表示取到的球不是白球，表示取到的球是白球， 则，， 所以. 故答案为：. 12．已知随机变量ξ的分布列见下表： 0 1 2 3 4 5 则______________ 【答案】/ 【分析】根据表中信息即可解得. 【详解】由题，根据表中信息可得： 故答案为： 13．已知离散型随机变量满足分布列如下表所示，则______. 1 2 【答案】 【分析】利用随机变量的数学期望与方差公式即可得解. 【详解】由题可得， ∴. 故答案为：. 14．设随机变量，则它的均值______方差______. 【答案】 3 /1.5 【分析】利用二项分布的均值与方差公式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以， . 故答案为：3；. 15．一中职学生练习普测考试，每次通过的概率都是，则他连续练习3次，恰好有2次通过的概率是______. 【答案】 【分析】根据独立重复试验概率公式即可求解. 【详解】根据独立重复试验概率公式可得，恰好有两次通过的概率为 . 故答案为：. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．从装有3个红球和2个白球的箱子中，随机抽取2个球观察颜色，设随机变量X表示取出白球的个数 (1)随机变量X的概率分布； (2)随机变量X的数学期望. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题可知，随机变量X可能取0，1，2，利用组合问题及古典概型的计算公式，求出相对应的概率，可得分布列； （2）根据分布列，利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）由题可知，随机变量X可能取0，1，2， ； ； ， 随机变量X分布列见下表： X 0 1 2 P （2）. 17．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； (2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【分析】（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率. （2）根据（1）的结果求概率. 【详解】（1）由条件可知， ， ， ， 所以的分布列，如下表， （2）由（1）得，选取的2个中至少有1个豆沙粽， 即. 所以. 则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 18．从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量表示所选4人中女生人数. (1)求的分布列； (2)求事件“所选4人中女生人数”的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）首先得出的所有可能取值，再由古典概型概率公式分别求出对应的分布列，再列出分布列即可. （2）由，再根据（1）中的分布列即可计算出概率. 【详解】（1）从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛， 表示所选4人中女生人数，则的可能取值有， 则，， ，， 所以分布列为 0 1 2 3 （2）设事件“所选4人中女生人数”为事件， 则 . 19．5件产品中有1件不合格品，每次取一件，有放回地抽取两次，用表示取到不合格品的次数，求： (1)随机变量的分布列； (2)求随机变量的期望与方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求得概率，写出分布列即可解得. （2）根据分布列求出期望和方差即可解得. 【详解】（1）由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 故故的分布列为： 0 1 2 P （2）由题，随机变量的期望， 方差． 20．已知生产一件产品要经过三道工序，工序一、工序二、工序三的成功率分别为，，（各环节相互独立）．若工序一失败，则该产品为次品；若工序一成功但工序二和工序三中只有一个环节失败，则为合格品；若三个环节均成功，则为优良品．合格品和优良品均为成品，可对外销售，假设每件产品的制作过程相互独立． (1)求生产一件成品的概率； (2)若生产3件产品，求优良品件数X的分布列及方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，方差为 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式计算； （2）先确定服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式及方差公式求解. 【详解】（1）设事件为“第一道工序成功”，事件为“第二道工序成功”，事件为“第三道工序成功”， 则，，，且，，相互独立． 所以生产一件成品的概率为 . （2）生产一件优良品的概率为，依题意可知， 所以，； ； ； ； 所以优良品件数的分布列为： 0 1 2 3 方差为：. 21．已知小明在罚球线附近定点投篮的命中率为，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分． (1)设ξ为小明三次投篮得分的总和，求ξ的分布列及期望； (2)求小明投篮3次至少命中2次概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）根据题意，确定的值，求出对应的概率，结合二项分布即可求解. （2）根据至少命中2次，即命中2次和3次概率之和即可求解. 【详解】（1）由题意得，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分， 则①投篮3次投中0次，得分；②投篮3次投中1次，得0分； ③投篮3次投中2次，得3分；④投篮3次投中3次，得6分． 所以所有可能的取值为：. 因为小明在罚球线附近定点投篮命的中率为， 由题意知，服从二项分布，且， 故；； ；. 随机变量的分布列为： E 0 3 6 P . （2）记至少命中2次， 则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第60卷 离散型随机变量及其分布 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列变量中，属于离散型随机变量的是（    ） A．某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差 B．某人在景区排队等缆车的时间 C．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 D．某人投篮10次，可能投中的次数 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ） A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 3．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（    ） A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18 4．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率 5．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则等于（    ） X 1 2 3 P A． B． C． D． 6．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，且，则的值为（    ） 1 2 3 0.2 0.6 0.2 A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 7．若离散型随机变量满足，则和的值分别为（    ） A． B． C． D． 8．若随机变量X服从两点分布，且．令，则( ) A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 9．若离散型随机变量X的分布列为： 0 1 则的数学期望（   ） A．2 B．2或 C． D．1 10．已知离散型随机变量的概率分布如图：则E()等于( 　　) ξ 1 3 5 P 0.5 m 0.2 A．1 B．4.8 C．2＋3m D．5.8 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知口袋中有6个白球和4个红球，从中任取1个球，用表示“取到白球的个数”，给出的分布列如下表： 0 1 则_____. 12．已知随机变量ξ的分布列见下表： 0 1 2 3 4 5 则______________ 13．已知离散型随机变量满足分布列如下表所示，则______. 1 2 14．设随机变量，则它的均值______方差______. 15．一中职学生练习普测考试，每次通过的概率都是，则他连续练习3次，恰好有2次通过的概率是______. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．从装有3个红球和2个白球的箱子中，随机抽取2个球观察颜色，设随机变量X表示取出白球的个数 (1)随机变量X的概率分布； (2)随机变量X的数学期望. 17．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； (2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 18．从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量表示所选4人中女生人数. (1)求的分布列； (2)求事件“所选4人中女生人数”的概率. 19．5件产品中有1件不合格品，每次取一件，有放回地抽取两次，用表示取到不合格品的次数，求： (1)随机变量的分布列； (2)求随机变量的期望与方差． 20．已知生产一件产品要经过三道工序，工序一、工序二、工序三的成功率分别为，，（各环节相互独立）．若工序一失败，则该产品为次品；若工序一成功但工序二和工序三中只有一个环节失败，则为合格品；若三个环节均成功，则为优良品．合格品和优良品均为成品，可对外销售，假设每件产品的制作过程相互独立． (1)求生产一件成品的概率； (2)若生产3件产品，求优良品件数X的分布列及方差． 21．已知小明在罚球线附近定点投篮的命中率为，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分． (1)设ξ为小明三次投篮得分的总和，求ξ的分布列及期望； (2)求小明投篮3次至少命中2次概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $