一轮收官卷（二）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过体系化专题整合与分层训练，构建从知识梳理到能力突破的进阶路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-10/填空21-25|概念辨析与性质应用|从集合、函数定义域等概念生成，到奇偶性、不等式解集等性质推导| |逻辑推理|选择11-20/填空26-30|空间关系与数量运算|向量夹角、线面垂直等空间形式判断，数列、三角函数等数量关系推理| |数学应用|解答31-35|实际情境建模|展室面积、停车场租金等实际问题，通过函数、统计模型实现数学语言表达|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》收官卷（二） 考试时间：120分钟 满分：100分 第一部分 选择题 一、单项选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出. 1.函数定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数式、分式、根式有意义的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 故选：A. 2.已知，，则是的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解出集合A，B，再由充分条件和必要条件的定义，即可得出答案. 【详解】或， ， 所以不一定，一定， 所以是必要不充分条件， 故选：B. 3.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用含有绝对值不等式的解法求解即可. 详解】，则， 即或，解得或， 则不等式的解集是； 故选：D. 4.下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数，故A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称， ，则不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域为，关于原点对称， ，则不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为，关于原点对称， ，则不是奇函数，故D错误. 故选：A. 5.已知函数是偶函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】A 【分析】因为函数为偶函数，得，再判断即可. 【详解】是偶函数， 所以， 所以， 则， ， 所以是奇函数. 故选:A. 6.计算（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】根据指数幂及对数的运算求解. 【详解】. 故选：A. 7.已知直线经过，且斜率为2，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意得到直线的点斜式方程，再转化为直线的一般式方程即可； 【详解】直线经过点，且斜率为2， 所以直线方程为，即， 故选：B 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为. 故选：C. 9.已知点，，则线段AB的中点坐标和两点间距离分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】由中点坐标公式和两点间的距离公式即可得解. 【详解】∵点，， ∴线段AB的中点坐标为，即， 两点间的距离为. 故选：A 10.已知，那么下列正确的是（ ） A. 若，那么 B. 若，那么 C. 若，那么 D. 若，那么 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，由面面平行的判定定理可知，需要两平面内两组相交直线互相平行才可证明两平面平行，A中仅有1组平行线，不满足条件，A项错误； 对于B，当若时，有可能出现两平面相交或平行的情况，不能证明，B项错误； 对于C、D选项，由面面垂直的判定定理可知，当若，那么， C项错误；D项正确. 故选：D. 11.若a，x，b，四个数成等差数列，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据等差中项列出方程组即可解得. 【详解】∵a，x，b，四个数成等差数列， ， 消去可得. 故选：A 12.直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先求得直线斜率的范围，再利用直线的倾斜角与斜率的关系求出倾斜角范围. 【详解】由直线方程可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，所以， 故选：A 13.的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用特殊角的三角函数值可求. 【详解】. 故选：C. 14.在中，，D，E分别是、的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与相等 C. 与相等 D. 与共线 【答案】D 【分析】利用共线向量相等向量的定义可判断. 【详解】对于A，因为，则与不共线，故A错误； 对于B，与方向相反，则与不相等，故B错误； 对于C，与有公共交点，方向不相同，与不相等，故C错误； 对于D，D，E分别是、的中点，则为的中位线，则，则与共线，故D正确. 故选：D. 15.已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. D. 【答案】C 【分析】先求出的模长，再根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为向量的夹角为，且， 所以. 故选：C. 16. 两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角，那么这条直线夹在两个平面之间的线段长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据平行平面的距离和直线与平面夹角，即可求解. 【详解】 如图所示，，直线与分别交于 过点作的垂线，交于点，连接. 题目已知，两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角. 即，，且. 而，，故. 故选：. 17.圆与直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断位置关系. 【详解】由圆可得圆心为，半径为3， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：A. 18.设直线平行于平面，直线垂直于平面，而且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，结合线面关系和面面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】由题意，， 所以，，故选项A错误，选项B正确，选项D错误； 因为，所以或，故选项C错误； 故选：B. 19.某商店举行抽奖活动，抽中黄球一等奖，红球二等奖，白球无奖品．有白球30个，红球10个，黄球5个，获奖的几率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知抽到黄球和红球均为获奖， 共有个球，其中黄球和红球共有个球， 则抽中黄球或红球的概率. 故选：C. 20.已知向量均为单位向量，向量与向量的夹角为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据向量的内积的定义求出，再由向量内积的运算律计算即可. 【详解】向量均为单位向量， 则，又向量与向量的夹角为， 所以， 则， 所以， 故选：C. 第二部分 非选择题 二、填空题：木大题共10小题，每小题2分，共20分. 21.集合中的最小整数为_____. 【答案】 【分析】根据含绝对值的不等式求解化简集合，进而求解即可； 【详解】因为，所以，即， 故集合， 所以集合中的最小整数为, 故答案为： 22. _____. 【答案】## 【分析】由指数幂和对数的运算性质结合换底公式即可解得. 【详解】 . 故答案为：. 23.等比数列中，，，则其前4项和________． 【答案】 【分析】由等比数列前n项和公式即可得解. 【详解】∵等比数列中，，， ∴公比， ∴. 故答案为：. 24.已知，是第二象限角，则_______； 【答案】## 【分析】根据角的范围判断正负，再由同角三角函数平方关系计算即可. 【详解】因为是第二象限的角，所以， 所以. 故答案为：. 25.已知函数与直线有交点，则a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用余弦函数的值域可求参数范围. 【详解】因为，则，则， 所以函数的定义域为，值域为， 因函数与直线有交点，必须在函数的值域内， 则a的取值范围是 故答案为：. 26.正方体中，与成角的面对角线的条数是_____. 【答案】8 【分析】根据正方体的性质，结合直线与直线所成角的定义即可求解. 【详解】正方体中，面对角线有12条， 其构成等边三角形，与成角， 又，所以与成角， 构成等边三角形，与成角， 又，所以与成角， 而与相交，成角， 又，所以与成角， 而与平行，成角， 所以与成角的面对角线有、、、、、、、共8条. 故答案为：8. . 27.圆C：的圆心坐标是________，半径是________． 【答案】 ①. ②. 3 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径即可. 【详解】由圆C：可知， 圆心为，半径为. 故答案为：；3. 28.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是______． 【答案】 【分析】根据旋转体的概念可知旋转后的几何体为圆柱，再由圆柱的侧面积公式求值即可. 【详解】已知边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周， 可得底面圆半径为，高为的圆柱体， 则底面圆周长为， 所以几何体的侧面积为. 故答案为：. 29.已知向量，，满足，，，，则_____. 【答案】6 【分析】根据得，展开并将已知条件代入即可求解． 【详解】∵， ∴，∴， ∴，又，，， ∴，∴． 故答案为：6． 30.从这四个数中任取两个数，则取出的两数之积为的概率是_____． 【答案】 【分析】先计算两数之积为的情况以及中任取两个数的情况，再根据古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】从这四个数中任取两个数，所有可能情况有： ， 其中积为的情况有：， 所以积为的概率是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 31.某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． （1）请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． （2）当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 【答案】（1） （2）取时，展室总面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意表示与墙平行的边长，结合矩形的面积公式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，利用配方法，即可求解. 【小问1详解】 由题意，当一边长为时，与墙平行的边长为， 则，解得， 所以展室总面积， 所以展室总面积与隔板边长的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 所以当时，S取到最大值，即， 即隔板取时，展室总面积最大，最大为． 32.某停车场有100个停车位，当每个停车位的年租金为1800元时，每年只有一半的停车位被租出，当每个停车位的年租金以100元为一档向下浮动时，则每向下浮动一个档位，就可多租出5个停车位，求： （1）当每个停车位的年租金下浮一个档位时，停车场的年租金收； （2）建立停车场的年租金收入y与每个停车场的年租金下浮挡数x之间的函数关系式； （3）当每个停车场的年租金下浮多少个档位时，停车场的年租金收入最大，求出最大租金收入和此时每个停车位的年租金. 【答案】（1）93500元 （2）， （3）下浮个档位，最大租金收入98000元，此时每个停车位的年租金1400元 【分析】（1）根据题意可得租金与停车位个数的关系，由此计算，即可得出答案. （2）根据租金下浮挡数与停车位个数的关系，即可得出答案. （3）由二次函数的性质，即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意，租金向下浮动一个档位时，此时租金为元， 此时停车位有个，所以停车场年租金为元. 【小问2详解】 因为年租金下浮挡数x，此时年租金为元， 可以租出个停车位， 所以，. 【小问3详解】 由（2）可知，， 又函数，对称轴为， 所以当时，元， 此时每个停车位的年租金为元， 答：最大租金收入98000元，此时每个停车位的年租金1400元. 33.已知等差数列中，为其前项和，，.求： （1）数列的通项公式； （2）的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用首相及前项和公式求出公差然后可求； （2）将前项和公式化为配方式利用二次函数性质可求最值. 【小问1详解】 ，， 则，则，则， 则； 【小问2详解】 ，， ， 因为，则当或时有最小值， 此时， 则的最小值为. 34.已知过原点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】 【分析】根据题意，先求出圆心坐标和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线斜率，进而求解. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，半径， 当过原点的直线l斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，故不符合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，解得， 故所求直线的方程为. 35.中国共产党建党周年华诞之际，某学校积极响应党和国家的号召，通过"增强防疫意识，激发爱国情怀"知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党周年以来的丰功伟绩的歌颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． （1）求 a 值； （2）估计中位数(精确到); （3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）选分以上的人去参赛，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，列方程可求得a. （2）根据各组的频率，再由所有小矩形面积平分的点对应的成绩确定中位数即可. （3）选成绩最好的同学去参赛(也可以给出其他方案，有理即可) 【小问1详解】 由图中数据得， 解得. 【小问2详解】 成绩在区间上的频率为， ， 成绩在区间的频率为， 因为， 所以中位数所在区间为， 设中位数为x，则， 解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 选成绩最好的同学去参赛， 分数在之间共有人， 所以选分以上的人去参赛.(也可以给出其他方案，有理即可) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》收官卷（二） 考试时间：120分钟 满分：100分 第一部分 选择题 一、单项选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出. 1.函数定义域是（ ） A. B. C. D. 2.已知，，则是的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4.下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5.已知函数是偶函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 6.计算（ ） A. B. C. 2 D. 3 7.已知直线经过，且斜率为2，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. （ ） A. B. C. D. 9.已知点，，则线段AB的中点坐标和两点间距离分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10.已知，那么下列正确的是（ ） A. 若，那么 B. 若，那么 C. 若，那么 D. 若，那么 11.若a，x，b，四个数成等差数列，则的值等于（ ） A. B. C. D. 12.直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 13.的值为（ ） A. B. C. D. 14.在中，，D，E分别是、的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与相等 C. 与相等 D. 与共线 15.已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. D. 16. 两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角，那么这条直线夹在两个平面之间的线段长是（ ） A. B. C. D. 17.圆与直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 18.设直线平行于平面，直线垂直于平面，而且，则必有（ ） A. B. C. D. 19.某商店举行抽奖活动，抽中黄球一等奖，红球二等奖，白球无奖品．有白球30个，红球10个，黄球5个，获奖的几率为（ ） A. B. C. D. 20.已知向量均为单位向量，向量与向量的夹角为，那么（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题：木大题共10小题，每小题2分，共20分. 21.集合中的最小整数为_________. 22. _________. 23.等比数列中，，，则其前4项和_________． 24.已知，是第二象限角，则_________. 25.已知函数与直线有交点，则a的取值范围是_________. 26.正方体中，与成角的面对角线的条数是_________. 27.圆C：的圆心坐标是________，半径是________． 28.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是_________. 29.已知向量，，满足，，，，则_________. 30.从这四个数中任取两个数，则取出的两数之积为的概率是_________. 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 31.某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． （1）请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． （2）当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 32.某停车场有100个停车位，当每个停车位的年租金为1800元时，每年只有一半的停车位被租出，当每个停车位的年租金以100元为一档向下浮动时，则每向下浮动一个档位，就可多租出5个停车位，求： （1）当每个停车位的年租金下浮一个档位时，停车场的年租金收； （2）建立停车场的年租金收入y与每个停车场的年租金下浮挡数x之间的函数关系式； （3）当每个停车场的年租金下浮多少个档位时，停车场的年租金收入最大，求出最大租金收入和此时每个停车位的年租金. 33.已知等差数列中，为其前项和，，.求： （1）数列的通项公式； （2）的最小值. 34.已知过原点的直线与圆相切，求直线的方程. 35.中国共产党建党周年华诞之际，某学校积极响应党和国家的号召，通过"增强防疫意识，激发爱国情怀"知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党周年以来的丰功伟绩的歌颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． （1）求 a 值； （2）估计中位数(精确到); （3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $