专题42 排列与组合的概念与计算（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题42 排列与组合的概念与计算 【复习目标】 1. 理解排列的概念，知道什么时候用排列，并会排列数的计算. 2. 理解组合的概念，知道什么时候用组合，并会组合数的计算. 【考点1 排列】 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P 表示． (3)排列数公式：P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).这里n，m∈N*，并且m≤n． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．P＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！，因此，排列数公式写成阶乘的形式为P＝，这里规定0！＝1. 【即时训练】 1．北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ） 2．现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，则所有领书方案的情况总数为（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 3．“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 5．可用排列数符号表示为（   ） A． B． C． D． 6．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 7．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A．24种 B．6种 C．4种 D．12种 8．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ） A． B． C． D． 9．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A．8 B．24 C．48 D．120 10．有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这些书随机排在书架上. （1）求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？ （2）求英语书不挨着排的概率P． 【考点2 组合】 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C 表示． (3)组合数公式：．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n. (4)组合数的两个性质：① C＝C； ② C＝C＋C. 【即时训练】 1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A．120 B．240 C．60 D．480 3．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 4．从5名同学中选3名参加某项活动，不同的选法有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 5．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ） A．6 B．9 C．12 D．24 7．为了宣讲新型冠状病毒肺炎的正确预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（ ） A．12种 B．14种 C．16种 D．32种 8．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 9．若从1，2，3，4，5，6，7这7个数中取两个数，则这两个数的积为偶数的取法（   ） A．7种 B．9种 C．15种 D．12种 10．在10件产品中，有8件正品，2件次品，从中任取3件产品，求： (1)恰有一件次品的取法有多少种？ (2)3件都是正品的取法有多少种？ 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第29题）从1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，且为偶数，则所组成的数的个数是 . 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第29题）一名老师和四名学生站成一排照相，若学生请老师站在正中间，则有_____种站法. 3．（2021年·黑龙江省对口升学高考第7题）某医院有7名医生和8名护士，现需要1名医生和1名护士上台演讲，请问有（ ）种组合． A. 7 B. 8 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题42 排列与组合的概念与计算 【复习目标】 1. 理解排列的概念，知道什么时候用排列，并会排列数的计算. 2. 理解组合的概念，知道什么时候用组合，并会组合数的计算. 【考点1 排列】 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P 表示． (3)排列数公式：P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).这里n，m∈N*，并且m≤n． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．P＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！，因此，排列数公式写成阶乘的形式为P＝，这里规定0！＝1. 【即时训练】 1．北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ） A．10 B．27 C．36 D．60 【答案】D 【解析】依题意，从5名志愿者中选3人服务3个不同项目， 不同的安排方法有（种）， 故选：D. 2．现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，则所有领书方案的情况总数为（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【解析】因为三本书编号为1，2，3，且每个人只能领取一本书， 所以所有领书方案的情况总数为， 故选：C. 3．“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】B 【解析】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，且领取的礼品种类都不相同的方法种数为， 故选：B． 4．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ） A．6种 B．12种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为， 所有的排列方式有：. 故选：B. 5．可用排列数符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数公式即可得解. 【解析】， 故选：. 6．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】由于，所以从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给和共有种，并且计算结果不会重复，所以得到不同的值有12个. 故选：C. 7．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A．24种 B．6种 C．4种 D．12种 【答案】B 【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面， 则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有， 故选：B． 8．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：， 故选：A. 9．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）， 故选：C． 10．有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这些书随机排在书架上. （1）求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？ （2）求英语书不挨着排的概率P． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）先把语文书、数学书、英语书各自捆绑在一起困成三堆， 先内部排列，然后三捆再排列，故共有：种. （2）用插空法可得英语书不挨着排的概率：. 【考点2 组合】 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C 表示． (3)组合数公式：．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n. (4)组合数的两个性质：① C＝C； ② C＝C＋C. 【即时训练】 1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品, 任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有. 故选：A. 2．计算：（   ） A．120 B．240 C．60 D．480 【答案】A 【分析】根据组合数的计算求解即可. 【解析】. 故选：A. 3．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【解析】方法数有：种， 故选：B． 4．从5名同学中选3名参加某项活动，不同的选法有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】A 【分析】 根据组合数的问题即可求解. 【详解】 由题意得，从5名同学中选3名参加某项活动，不同的选法有种. 故选：A. 5．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程， 从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理， 不同的选修方案有种. 故选：B 6．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ） A．6 B．9 C．12 D．24 【答案】A 【解析】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类： 第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种. 第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案. 故选：A. 7．为了宣讲新型冠状病毒肺炎的正确预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（ ） A．12种 B．14种 C．16种 D．32种 【答案】C 【解析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有种选法； ②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有种选法； 则一共有1+15＝16种选法， 故选：C． 8．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆， 故不同的安排方法共有种， 故选：C． 9．若从1，2，3，4，5，6，7这7个数中取两个数，则这两个数的积为偶数的取法（   ） A．7种 B．9种 C．15种 D．12种 【答案】C 【分析】利用分类计数原理、分步乘法原理以及组合数，即可求解. 【详解】由题意知从1，2，3，4，5，6，7这7个数中取两个数，这两个数的积为偶数， 第一类：1个奇数、1个偶数，有种； 第二类：2个偶数，有种， 所以这两个数的积为偶数的取法有种. 故选：C. 10．在10件产品中，有8件正品，2件次品，从中任取3件产品，求： (1)恰有一件次品的取法有多少种？ (2)3件都是正品的取法有多少种？ 【答案】(1);(2) 【分析】利用组合的意义与组合数公式，结合实际问题中的计数问题即可得解. 【解析】（1）从10件产品中任取3件产品，因为有8件正品，2件次品， 所以其中恰有一件次品的取法有种. （2）从10件产品中任取3件产品，因为有8件正品，2件次品， 所以3件都是正品的取法有种. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第29题）从1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，且为偶数，则所组成的数的个数是 . 【答案】12 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第29题）一名老师和四名学生站成一排照相，若学生请老师站在正中间，则有_____种站法. 【答案】24 【分析】根据老师是特殊元素优先排，再排剩下的四名学生即可. 【详解】因为学生请老师站在正中间，则老师只有1种站法， 剩下四名学生进行全排列即可，则有种站法， 所以一共有种站法. 故答案为：24. 3．（2021年·黑龙江省对口升学高考第7题）某医院有7名医生和8名护士，现需要1名医生和1名护士上台演讲，请问有（ ）种组合． A. 7 B. 8 C. D. 【答案】D 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】从7名医生中，选1名有7种选法， 8名护士中，选1名有8种选法， 共有种组合， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $