专题41 两个计数原理（练习）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

**基本信息** 聚焦两个计数原理，通过基础到综合分层训练，覆盖不同情境下原理应用，结合真题实现从知识梳理到能力突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择/填空（1-10题）|单一原理直接应用（选物、数字排列）|从分类加法到分步乘法，构建原理应用基础| |综合应用|解答/选择（11-24题）|多限制条件综合问题（跨年级选、不同学科取书）|原理交叉应用，培养推理能力与应用意识| |真题再现|高考题（2题）|真题情境化考查|对接考情，强化数学思维的实际应用|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》练习 专题41 两个计数原理 一、选择题 1．已知一个篮子里有3样水果,其中苹果5个,橘子4个,桃子6个,每个水果各不相同.若小明要从中选一个水果,则不同的选法有(　　) A.3种 B.5种 C.9种 D.15种 2．从2名女生，3名男生中，选1人主持班会，则不同的选取方法有（     ）种． A．5 B．6 C．8 D．9 3．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（     ） A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 4．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（     ） A．20 B．15 C．25 D．32 5．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（     ） A．14 B．23 C．48 D．120 6．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（     ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 二、填空题 7．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有 种. 8．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有 种． 9．把4封信投入3个邮箱里，则不同的投法有 种. 10．加工一个工艺品零件，分为三个步骤：第一个步骤有4道不同的工序，第二个步骤有5道不同的工序，第三个步骤有6道不同的工序，则加工这个工艺品零件共有 道不同的工序. 三、解答题 11．现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名． (1)从所有学生中选一人参加夏令营，有多少种不同的选法? (2)从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有多少种不同的选法? (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法? 12．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. （1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 13．在第33届巴黎奥运会中，王楚钦和孙颖莎代表国家队拿下了混双冠军，这是中国乒乓球历史上首枚奥运会混双金牌！成绩的取得离不开前期大量的训练，某乒乓球训练小组现有3名男队员和4名女队员，需从中选拔男女各两名队员参加集训队，则不同的选法有（    ） A．7种 B．9种 C．12种 D．18种 14．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有（ ） A.36个 B.48个 C.66个 D.72个 15．某班组织班会活动，要从甲、乙等8名干部中选出3名同学发言，要求甲、乙两名同学中至少有一人必须参加发言，则不同的发言顺序种数是（     ） A．36 B．120 C．180 D．216 16．从3名男生和2名女生中选出3人，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案共有（     ）种． A．6 B．8 C．9 D． 17．展开后的项数为（     ） A．10 B．18 C．24 D．36 18．用，这6个数字可以组成没有重复数字的三位数的个数是（     ） A．80 B．90 C．100 D．120 二、填空题 19．把4个不同的球分别放入不同的3个盒子里，一共有 种放法. 20．某乒乓球队有男运动员5人，女运动员6人，从中选派2人参加男女混双比赛，共有__________种不同的排法. 21．用0，1，2，3组成无重复数字的三位数，共有__________个. 22．某校举办“喜迎国庆”文艺会演活动，在安排5名歌手的演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则有 种不同的排法（具体数字作答）. 三、解答题 23．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书． (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 24．用这5个数，可以组成多少个没有重复数字的4位偶数． 1．（2022年·黑龙江省对口升学高考第29题）从1，2，3，4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，且为奇数，则所组成的数的个数是__________. 2．（2020年·黑龙江省对口升学高考第29题）用数字2，3，4（数字可以重复）组成三位数，而且为偶数，则所组成的数的个数是__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》练习 专题41 两个计数原理 一、选择题 1．已知一个篮子里有3样水果,其中苹果5个,橘子4个,桃子6个,每个水果各不相同.若小明要从中选一个水果,则不同的选法有(　　) A.3种 B.5种 C.9种 D.15种 【答案】D 【分析】考察分类加法原理（多类独立选择）问题. 【解析】原理：分类加法计数原理（三类水果独立）. 计算：5 + 4 + 6 = 15. 故选：D． 2．从2名女生，3名男生中，选1人主持班会，则不同的选取方法有（     ）种． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据分类计数原理计算即可. 【解析】从2名女生，3名男生中，选1人主持班会，有种. 故选：A. 3．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（     ） A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 【答案】B 【解析】由题意可知，百位上的数字为2或3， 十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字， 个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个， 故比200大的3位数的个数为， 故选：B. 4．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（     ） A．20 B．15 C．25 D．32 【答案】A 【解析】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物， 第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法， 第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法， 即不同的送法种数为， 故选：A． 5．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（     ） A．14 B．23 C．48 D．120 【答案】C 【解析】分两步：第1步，取多面体，分两类，可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个， 根据分类加法计数原理有（种）不同的取法； 第2步，取旋转体，分两类，可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个， 根据分类加法计数原理有（种）不同的取法． 所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是． 故选：C． 6．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（     ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计算原理结合组合数的计算即可得解. 【解析】从4名同学中选1人负责清理讲台，选1人负责扫地，其余2人负责拖地，不同的分工共有种， 故选：. 二、填空题 7．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有 种. 【答案】9 【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法， 若从第二层取书，则有3种不同的取法， 若从第三次取书，则有2种不同的取法， 所以不同的取法有种. 故答案为：9. 8．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有 种． 【答案】14 【解析】根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法， 故答案为：14. 9．把4封信投入3个邮箱里，则不同的投法有 种. 【答案】 【分析】根据分步计数原理的概念计算即可. 【解析】把4封信投入3个邮箱里， 每封信都有种投法，则不同的投法有种投法， 故答案为：. 10．加工一个工艺品零件，分为三个步骤：第一个步骤有4道不同的工序，第二个步骤有5道不同的工序，第三个步骤有6道不同的工序，则加工这个工艺品零件共有 道不同的工序. 【答案】120 【解析】根据分步乘法计数原理可知， 加工这个工艺品零件共有4×5×6＝120道不同的工序， 故答案为：120. 三、解答题 11．现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名． (1)从所有学生中选一人参加夏令营，有多少种不同的选法? (2)从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有多少种不同的选法? (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法? 【答案】(1)12 (2)60 (3)47 【分析】（1）由分类计数原理的应用即可得解； （2）由分步计数原理的应用即可得解； （3）由分类计数原理和分步计数原理的综合应用即可得解. 【解析】解：（1）根据分类计数原理，共有（种）不同的选法． （2）根据分步计数原理，共有（种）不同的选法． （3）先分类再分步：（种）不同的选法． 12．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. （1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)种；(2)种. 【解析】解：(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是. (2)第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法， 第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是. 13．在第33届巴黎奥运会中，王楚钦和孙颖莎代表国家队拿下了混双冠军，这是中国乒乓球历史上首枚奥运会混双金牌！成绩的取得离不开前期大量的训练，某乒乓球训练小组现有3名男队员和4名女队员，需从中选拔男女各两名队员参加集训队，则不同的选法有（    ） A．7种 B．9种 C．12种 D．18种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理以及组合的定义求解即可. 【详解】从3名男队员中选拔两名队员参加集训队，共种选法. 从4名女队员中选拔两名队员参加集训队，共种选法. 则则不同的选法有种. 故选：D. 14．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有（ ） A.36个 B.48个 C.66个 D.72个 【答案】A 【分析】考察排列+受限位置问题. 【解析】分类： 四位数：个位1或3（2种），千位非0（3种），其余两位从剩余3数中选2个排列. 计算：2 × 3 × = 36种. 故选：A. 15．某班组织班会活动，要从甲、乙等8名干部中选出3名同学发言，要求甲、乙两名同学中至少有一人必须参加发言，则不同的发言顺序种数是（     ） A．36 B．120 C．180 D．216 【答案】D 【分析】分2种情况，①只有甲、乙其中一人参加，②甲、乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，再由加法原理计算可得答案． 【解析】根据题意，分2种情况： ①若只有甲、乙其中一人参加，有种情况； ②若甲、乙两人都参加，有种情况， 则不同的发言顺序种数为：种. 故选：D 16．从3名男生和2名女生中选出3人，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案共有（     ）种． A．6 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】运用计数原理结合组合数解决实际问题即可. 【解析】已知从3名男生和2名女生中选出3人， 这3人中至少有1名女生， 则第一类选择1名女生，2名男生共有种选派方案， 第二类选择2名女生，1名男生共有种选派方案， 共有种选派方案. 故选：C. 17．展开后的项数为（     ） A．10 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【解析】根据分步乘法原理，展开后的项数有：项， 故选：C. 18．用，这6个数字可以组成没有重复数字的三位数的个数是（     ） A．80 B．90 C．100 D．120 【答案】C 【分析】根据分步计数原理结合排列数的计算即可得解. 【解析】根据题意，分两步进行分析， 第一步，从这个数字中，任选一个安排在百位，有种选法； 第二部，从剩下的个数字中，选两个数字安排在个位，十位，有种选法， 所以一共有个无重复数字的三位数， 故选：. 二、填空题 19．把4个不同的球分别放入不同的3个盒子里，一共有 种放法. 【答案】81 【解析】把4个不同的球分别放入不同的3个盒子里，一共有：种， 故答案为：81. 20．某乒乓球队有男运动员5人，女运动员6人，从中选派2人参加男女混双比赛，共有 种不同的排法. 【答案】30 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选出男生和女生各自有5和6种选法， 再根据分别计数乘法得到共有6×5=30种结果， 故答案为：30． 21．用0，1，2，3组成无重复数字的三位数，共有 个. 【答案】18 【分析】利用分步乘法计数原理即可得解. 【详解】依题意，先确定百位数字，只有3种选择. 再依次确定十位、个位上的数字，依次有3、2种选择. 所以用0，1，2，3组成无重复数字的三位数，共有. 故答案为：18. 22．某校举办“喜迎国庆”文艺会演活动，在安排5名歌手的演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则有 种不同的排法（具体数字作答）. 【答案】72 【分析】因为对该歌手有特殊要求，所以先排该歌手，再排剩下的4位歌手，最后根据分步乘法计数原理计算即可求解. 【解析】因为某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场， 所以先安排该歌手，该歌手有3种排法， 所以剩下的4位歌手全排列，有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法. 故答案为：72. 三、解答题 23．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书． (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求不同的取法； （2）利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理求不同的取法. 【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是． （2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法， 第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是． 24．用这5个数，可以组成多少个没有重复数字的4位偶数． 【答案】60 【分析】根据分步计数原理和分类计数原理即可求解. 【【解析】解：第一类：当末位为0时，首位有4种方法，百位有3种方法， 十位有2种方法，个位有1种方法，完成这件事有种方法. 第二类：当末位是2或4时，首位有3种方法，百位有3种方法，十位有2种方法， 个位有2种方法，完成这件事有种方法. 所以完成这件事有种方法. 即用这5个数，可以组成60个没有重复数字的4位偶数． 1．（2022年·黑龙江省对口升学高考第29题）从1，2，3，4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，且为奇数，则所组成的数的个数是__________. 【答案】12 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】分步完成，第一步，选1或3排在末位，共有2种排法， 第二步，从剩余的数中选一个数排在十位，共有3种排法， 第三步，排百位，共有2种排法， 所以组成的数的个数是：. 故答案为： 2．（2020年·黑龙江省对口升学高考第29题）用数字2，3，4（数字可以重复）组成三位数，而且为偶数，则所组成的数的个数是_____． 【答案】18 【分析】由分步计数原理计算即可 【详解】确定个位数：由于组成的三位数必须是偶数， 个位数只能是2或4，因此有2种选择， 确定百位数和十位数：百位数和十位数可以是2,3,4中的任意一个， 因此各有3种选择， 所组成的数的个数为. 故答案为：18. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $