1.1.2勾股定理的图形验证（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的图形验证，通过小组拼图活动引导学生用四个全等直角三角形拼以斜边为边长的正方形，连接上节课勾股定理内容，搭建从定理认知到图形验证的学习支架。 其亮点在于以割补等积法为核心，结合赵爽弦图历史背景和ICM-2002会标，融入分层练习题与易错小结。通过动手拼图、历史溯源和实际应用例题，培养学生几何直观、推理意识和模型意识，帮助学生深化理解，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第一章 勾股定理 1.1.2勾股定理的图形验证 2026年7月30日 1.1.2 勾股定理的图形验证（新北师大版八年级上册） 勾股定理的文字表述：在任意直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则恒有 $$a^2+b^2=c^2$$。 单纯计算只能运用定理，而图形验证（面积证法）是本节课核心重难点，也是中考常考题型。其核心思想为割补等积法：图形经过拼接、分割、补全后，总面积保持不变，无重叠、无空缺，通过整体面积与局部面积的等量关系，代数化简后证明勾股定理成立，充分体现数形结合的数学思想。 一、核心验证方法（课本必考两种） 方法一：赵爽弦图证法（教材原版） 图形构成：四个完全全等的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$），围成一个边长为$$c$$的大正方形，中间空余部分为一个小正方形。 边长分析：小正方形的边长为长短直角边的差值，即$$b-a$$（默认$$b>a$$）。 完整证明过程： 1. 大正方形整体面积：$$S_大=c^2$$ 2. 四个全等直角三角形总面积：$$4\times\frac{1}{2}ab=2ab$$ 3. 中间小正方形面积：$$S_小=(b-a)^2=a^2-2ab+b^2$$ 4. 根据面积相等：整体面积=四个三角形面积+小正方形面积 $$c^2=2ab+(a^2-2ab+b^2)$$ 5. 化简消去$$2ab$$，得：$$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$$，定理得证。 方法二：伽菲尔德梯形证法（总统证法） 图形构成：将两个全等的直角三角形（直角边$$a、b$$，斜边$$c$$）与一个腰长为$$c$$的等腰直角三角形拼接，构成一个直角梯形。 边长分析：梯形上底为$$a$$，下底为$$b$$，高为$$a+b$$。 完整证明过程： 1. 梯形总面积公式：$$S_梯=\frac{1}{2}(上底+下底)\times高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$$ 展开得：$$S_梯=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$$ 2. 三个三角形面积之和：$$S_总=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$ 3. 面积相等建立等式：$$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$ 4. 消去$$ab$$，两边同乘2化简得：$$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$$，定理得证。 二、拓展证法（大正方形拼接证法） 用四个全等直角三角形拼接成边长为$$a+b$$的超大正方形，中间形成边长为$$c$$的小正方形。 证明：大正方形面积$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，整体面积也等于四个三角形面积加中间小正方形面积，即$$2ab+c^2$$。 联立等式：$$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$$，化简得$$a^2+b^2=c^2$$。 三、专项巩固练习题 1. 完整书写伽菲尔德梯形证法的证明步骤。 2. 在赵爽弦图中，若直角三角形两直角边长分别为5和12，求大正方形和中间小正方形的面积。 3. 利用边长为$$a+b$$的大正方形拼接图形，推导勾股定理，写出完整化简过程。 4. 赵爽弦图中，若大正方形面积为25，小正方形面积为1，求直角三角形的两条直角边长。 四、参考答案与解析 1. 答案：详见上文伽菲尔德梯形完整证明步骤。 2. 解析：由勾股定理得斜边$$c=\sqrt{5^2+12^2}=13$$，大正方形面积$$=13^2=169$$；小正方形边长$$=12-5=7$$，面积$$=49$$。 3. 答案：详见上文拓展证法完整步骤。 4. 解析：大正方形面积为25，则斜边$$c=5$$；小正方形面积为1，边长为1，即两直角边差值为1。设短直角边为$$x$$，长直角边为$$x+1$$，列方程：$$x^2+(x+1)^2=25$$，解得$$x=3$$，故两直角边为3和4。 五、课堂易错小结 1. 所有图形验证的唯一核心：面积等积转换，无需复杂几何推导，重点是准确列出整体与局部的面积等式； 2. 化简等式时切勿漏项、错号，核心是消去交叉项$$ab$$，最终得到平方和公式； 3. 赵爽弦图是考试高频考点，必须熟练背诵并独立书写完整证明过程。 韦东奕介绍：韦东奕，1991 年生，北大长聘副教授，人称 “韦神”。曾连续两届国际数学奥林匹克满分夺金，保送北大本博连读。主攻偏微分方程，深耕流体数学研究，多篇论文刊发国际顶刊。生活简朴淡泊名利，潜心治学，是国内极具天赋的青年数学研究者... 经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的能力． 通过教师讲解，能熟练运用勾股定理解决实际问题，进一步体会数学与现实生活的紧密联系 教学重难点教学重点,勾股定理的验证． 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？ 若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗？ 03 新知探究 探究新知 一、小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的拼法吗？ 拼图展示 图 1 图 2 03 新知探究 二 探究勾股定理的证明方法 验证方法一； 利用大正方形的面积等于 中间正方形面积+4个直角三角形的面积。 （自己完成验证过程） a a a a b b b b c c c c 03 新知探究 验证方法二； 利用大正方形的面积等于 中间正方形面积+4个直角三角形的面积。 （自己完成验证过程） c a b 图 2 03 新知探究 验证方法三； 利用梯形的面积等于 三个直角三角形的面积之后。 （自己完成验证过程） b c a b c a 知识点1 勾股定理的验证 1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图 ②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。 （1）图②中大正方形的边长为______，里面 小正方形的边长为___； （2）大正方形的面积可以表示为_________， 也可以表示为__________； （3）对比这两种表示方法，可得出_________ _____________，整理，得_____________。 返回 举一反三 9 追溯历史 用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 。 03 新知探究 2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！ 03 新知探究 03 新知探究 据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？ 知识点2 勾股定理的简单应用 （第2题） 2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被 台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端 离树底部( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 13 （第3题） 3. 如图①是一块长 方形草坪， 是一条被踩踏的小路， 已知， 。为了 避免行人继续踩踏草坪（走线段 ），小梅分别在， 处各挂了 一块图②的牌子，则牌子上“？”处 是( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 返回 举一反三 14 03 思考与交流 观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2 结论：勾股定理使用的条件是直角三角形。 （第4题） 4.如图，一轮船以的速度从港口 出发 向东北方向航行，另一轮船以 的速度同 时从港口出发向东南方向航行，离开港口 后， 两船相距( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 04 典例精析 04 典例精析 解：根据题意三角形ABC是直角三角形，∠C=90°,AC=400m,AB=500m BC=300 蓝方汽车平均速度：300÷10=30（m/s） （第5题） 5.如图，有两棵树和（都与水平地面 垂 直），树高，树梢到树 的水平距离 的长度为， ，一 只小鸟从树梢飞到树梢 ，则它至少要飞行的距 离为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 6. 陕西省的地势南北高、中 间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形。 如图，某工程队现需穿过某座大山修一条隧道 ，为了测量隧道 的长度，在山的另一侧水 平地面上取点，在隧道的延长线上取点 ，测量得知， ，，，请你求出隧道 的 长。 举一反三 20 解：因为 , , 所以 ,所以在中， , 即，所以,即隧道的长为 。 返回 举一反三 21 7.图①是某区域的监控警示图标，图②是抽象出的几何模型，已知 为直角，若段长，段比段长，则 段的长度 为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 22 8.下面各图中，不能用来证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 9. ［2024眉山中考］ 如图，图① 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古 代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角 形拼成。若图①中大正方形的面积为24，小正方 D A.24 B.36 C.40 D.44 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的 面积为( ) 返回 举一反三 24 10.［教材 例题变式］ 道路交通安全法规定：小汽车在高速道路上行 驶速度不得超过。如图， 点装有一车速检测仪，它到公路 边的距离，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达 点时开始 计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知 。 举一反三 25 （1）若一辆汽车以 的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ 解：依题意得 ， 所以 。 因为， ， 所以，所以 。 因为，所以 。 答：共用时 。 （2）若另一辆车匀速通过监控区域，共用时 ，该车是否超速？ 解： ， 因为 ，所以该车超速。 返回 举一反三 26 05 课堂小结 1.验证勾股定理的方法: 2.勾股定理的初步应用 等面积，两算法 找准斜边，直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方。 谢谢观看 THANKS $