统计与概率：二项分布3种高频考点专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二项分布三大高频考点，通过例题与变式题系统覆盖分布列求解、实际问题建模及概率最大值问题，强化知识应用与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用二项分布求分布列|4例+4变式|给定参数求概率、分布列及数字特征|从二项分布概念出发，强化公式直接应用，培养运算能力| |建立二项分布模型解决实际问题|4例+4变式|放回抽样、闯关游戏等情境建模|通过实际情境抽象二项分布特征，发展模型意识与应用意识| |服从二项分布的随机变量概率最大问题|4例+4变式|概率最大值的参数求解与位置判断|深化二项分布性质理解，培养逻辑推理与问题分析能力|

统计与概率：二项分布3种高频考点专项训练 统计与概率：二项分布3种高频考点专项训练 考点目录 利用二项分布求分布列 建立二项分布模型解决实际问题 服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点一 利用二项分布求分布列 例1．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式可得，可求，进而可求. 【详解】由二项分布的知识得， 得，又，所以， 所以． 故选：D． 例2．（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以. 故选：B 例3．（25-26高三上·贵州遵义·期中）若随机变量，且，则____________． 【答案】 【分析】利用二项分布中的对立事件为，结合对立事件概率公式列方程求解. 【详解】随机变量，根据对立事件的概率性质， 代入，可得， ，得， 解得. 例4．（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）若随机变量，则______．已知随机变量，且，则______． 【答案】 【分析】空1由题意可得即可求解，空2利用二项分布期望和方差的公式求解即可. 【详解】空1：由题意可得； 空2：由，且，即，解得. 故答案为：；. 变式1．（25-26高三上·山东青岛·期中）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案． 【详解】由于随机变量满足： ，， ， 解得：，即 ， 又随机变量，满足：， ， 故选：C. 变式2．（25-26高三上·山西运城·月考）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 变式3．（25-26高三上·上海·月考）设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则________． 【答案】 【分析】由随机变量X服从二项分布，及，求出，再由随机变量Y服从二项分布，则，计算可得. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以， 解得或（舍去）， 又因为随机变量Y服从二项分布， 所以 ． 故答案为: . 变式4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为_________. 【答案】2025 【分析】由二项分布的概率公式和组合数的性质计算可得. 【详解】由题意可得， ， 因为， 所以， 所以使成立的的分别为，共2025个， 故答案为：2025. 考点二 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）一袋子中有编号为1，2，3，4，5的5个相同的玩具，现每次随机取出一个玩具并记下其编号后放回，直到奇数编号的玩具一共出现8次时停止．设停止时共取了X次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，每次有放回取玩具，取到奇数编号的概率为，取到偶数编号的概率为，各次取玩具的结果相互独立. 事件等价于：前9次取玩具的过程中恰好有7次取到奇数，且第10次取到奇数. 前9次恰好有7次取到奇数的概率为，再乘以第10次取到奇数的概率， 所以. 例2．（25-26高三上·河南新乡·阶段检测）小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小王，小李两人闯关成功与否互不影响，每次试验小王，小李成功的概率都不变，可分析各自成功的次数满足二项分布，利用二项分布的概率模型进行分析对应随机变量的取值所满足事件A的情况，带入二项分布公式即可． 【详解】设小王、小李闯关成功的次数分别为X，Y，则X，Y均服从二项分布． 由题意，得事件， 且事件，，互斥， X与Y相互独立． 因为， 所以． 例3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到获奖次数服从，由获得750元现金券需要中奖5次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，小王购买了价值3800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券， 因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数服从， 又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次， 所以小王得到750元现金券的概率为． 故答案为：. 例4．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． (1)求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； (2)若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【分析】（1）先列出所有可能情况：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，再分别用独立事件概率乘法公式计算各情况概率，最后用互斥事件概率加法公式求和. （2）先计算单轮中“至多有1人完成拼豆”的概率，再根据二项分布的性质写出分布列、计算数学期望 【详解】（1）设事件为“甲在规定时间完成拼豆”，为“乙在规定时间完成拼豆”，为“丙在规定时间完成拼豆”， 由题意知相互独立，且，对应对立事件概率为. 恰有1人完成拼豆包含3个互斥事件：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，因此所求概率 又，， 所以. （2）单轮内0人完成的概率， 由（1）得，单轮1人完成的概率为， 故单轮内至多有1人完成拼豆的概率. 3轮试验相互独立，每轮结果只有两种，故，的可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 由二项分布期望公式得. 变式1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 变式2．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 变式3．（2026·江苏扬州·模拟预测）一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取，在一轮答题中，能够通过测试的概率是，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为______.（结果以既约分数表示） 【答案】 【详解】由题设，该同学能通过测试的轮数为，则， 所以该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为. 变式4．（25-26高二下·河南信阳·期末）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 ． 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数1、2人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为0、1人的概率，再根据“甲类组”的定义，计算出一个试用组为“甲类组”的概率； （2）先根据（1）的结果求出时一个试用组为“甲类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物治愈的有人”，，表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物治愈的有人”，． 依题意有，， ，． 故一个试用组为“甲类组”的概率 ． （2）由（1）可得，当时，一个试用组为“甲类组”的概率为， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 根据二项分布的性质，． 考点三 服从二项分布的随机变量概率最大问题 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求解. 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 例2．（25-26高二下·河北沧州·期末）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．1或7 B．7或10 C．1或4 D．4或7 【答案】D 【分析】先算出质点向左平移了次的概率，再利用组合数的性质得到的取值，从而可计算质点最可能移动到的位置的坐标. 【详解】设质点向左平移了次，则向右平移了次，其概率为. 所以. 由的性质得，取得最大值时或. 当时，质点最终移动到的位置的坐标为； 当时，质点最终移动到的位置的坐标为. 所以质点最可能移动到的位置的坐标为或. 【点睛】本题关键是利用二项式组合数判断概率大小，结合单次位移列式计算终点坐标，注意正负向位移单位不同，不可仅凭移动次数判断位置. 例3．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【答案】800 【分析】设患者治愈人数为，可得，从而，利用和研究的单调性即可求解. 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 例4．（2026·山东临沂·二模）今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），，，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值位于区间．当时，试以使得最大的n值作为n的估计值，则n为________． 【答案】35 【分析】本题考查正态分布的性质以及概率的计算，解题的关键在于根据正态分布的性质求出矿物质含量偏差值位于区间的概率，再结合概率的计算求出的值． 【详解】计算矿物质含量偏差值位于区间的概率： 已知，则，， 因为，， 所以． 根据正态分布的性质， ，可得： ． 计算：从瓶水中随机抽取，每瓶水的矿物质含量偏差值位于区间的概率为0.84， 不位于该区间的概率为， 这是一个二项分布问题，，根据二项分布的概率公式， 可得， 要使最大，则需满足， 由可得：， 即， 化简可得：，即， ，，解得． 由可得：， 即，化简可得：， 即，，，解得． 因为为正整数，所以． 变式1．（25-26高三上·福建厦门·月考）某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（     ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取12人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故． 变式2．（2026·山东泰安·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（    ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而增大 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C、D， ， ， ， 当时，，为正项且单调递增的数列， 所以随着的增大而增大，故C正确； 当时，，为正负交替的摆动数列， 所以不会随着的增大而减小，故D不正确； 故选：C. 变式3．（25-26高三上·山东济南·月考）若，则（，）取得最大值时，________． 【答案】6或7 【详解】由题意知，X服从二项分布，所以，且． 由不等式（且），得，解得． 所以当时，； 当时，， 因为当且仅当时，， 所以当或时，取得最大值． 变式4．（2026·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则______. 【答案】5 【分析】分析得到～，有，由二项式系数的性质求最大值. 【详解】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即～， 所以， 由二项式系数的对称性可知当时，最大，即最大，所以． 故答案为：5. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：二项分布3种高频考点专项训练 统计与概率：二项分布3种高频考点专项训练 考点目录 利用二项分布求分布列 建立二项分布模型解决实际问题 服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点一 利用二项分布求分布列 例1．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·贵州遵义·期中）若随机变量，且，则____________． 例4．（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）若随机变量，则______．已知随机变量，且，则______． 变式1．（25-26高三上·山东青岛·期中）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 变式2．（25-26高三上·山西运城·月考）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·上海·月考）设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则________． 变式4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为_________. 考点二 建立二项分布模型解决实际问题 例1．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）一袋子中有编号为1，2，3，4，5的5个相同的玩具，现每次随机取出一个玩具并记下其编号后放回，直到奇数编号的玩具一共出现8次时停止．设停止时共取了X次，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河南新乡·阶段检测）小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为______． 例4．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． (1)求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； (2)若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 变式1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·江苏扬州·模拟预测）一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取，在一轮答题中，能够通过测试的概率是，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为______.（结果以既约分数表示） 变式4．（25-26高二下·河南信阳·期末）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 考点三 服从二项分布的随机变量概率最大问题 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 例2．（25-26高二下·河北沧州·期末）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．1或7 B．7或10 C．1或4 D．4或7 例3．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 例4．（2026·山东临沂·二模）今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），，，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值位于区间．当时，试以使得最大的n值作为n的估计值，则n为________． 变式1．（25-26高三上·福建厦门·月考）某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（     ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．（2026·山东泰安·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（    ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而增大 D．当时，随着的增大而减小 变式3．（25-26高三上·山东济南·月考）若，则（，）取得最大值时，________． 变式4．（2026·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $