专题06 反比例函数的特殊三角形、四边形的十一类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与特殊三角形、四边形的综合应用，构建"通法归纳-题型突破-压轴挑战"三阶训练体系，强化数形结合与分类讨论能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1表格|分类讨论原则、坐标变换、解的验证|从特殊三角形到四边形，构建存在性问题解题框架| |题型归纳|11类（每类1典例+3变式）|三垂直全等、中点公式、平移性质|按图形复杂度递进，强化反比例函数与几何性质的融合应用| |压轴挑战|15题|动态几何、定值探究、综合建模|对接中考命题趋势，提升复杂问题的抽象与推理能力|

专题06 反比例函数的特殊三角形、四边形的十一类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数中的全等三角形与k型 题型二、反比例函数中的等腰三角形 题型三、反比例函数中的等边三角形 题型四、反比例函数中的等腰直角三角形 题型五、反比例函数中的直角三角形 题型六、反比例函数中的平行四边形 题型七、反比例函数中的菱形 题型八、反比例函数中的矩形 题型九、反比例函数中的正方形 题型十、反比例函数中的角度与等角 题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知识点 易错点 特殊三角形存在性问题 等腰三角形存在性 1. 分类讨论：分别以三个顶点为等腰三角形顶点，两腰相等；2. 利用两点间距离公式列方程求解；3. 结合反比例函数解析式验证点坐标的有效性 1. 漏解：未完整进行分类讨论，遗漏某一种顶点情况；2. 增解：未验证求得的点是否在反比例函数图象上，保留不符合条件的解；3. 计算错误：两点间距离公式应用时符号或平方运算出错 直角三角形存在性 1. 分类讨论：分别以三个顶点为直角顶点；2. 利用勾股定理逆定理或斜率乘积为-1（垂直判定）列方程；3. 结合反比例函数有意义筛选结果 1. 忽略直角顶点在原点或坐标轴上的特殊情况；2. 混淆斜率垂直的条件，忽略斜率不存在的特殊情形；3. 未考虑反比例函数x≠0的限制，得到无效点坐标 等腰直角三角形存在性 1. 结合等腰与直角的双重条件分类；2. 利用全等三角形或坐标变换确定点的位置关系；3. 代入反比例函数解析式求解验证 1. 分类重复或遗漏，同一位置重复计算；2. 坐标变换时横纵坐标对应关系错误；3. 未同时满足等腰和直角两个条件，只满足一个就得出结论 特殊四边形存在性问题 平行四边形存在性 1. 分类讨论：已知边为平行四边形的边或对角线两种情况；2. 利用平行四边形对角线中点坐标重合（中点公式）列方程；3. 利用平移性质确定点坐标 1. 只讨论已知边为边的情况，遗漏已知边为对角线的情形；2. 中点坐标公式计算错误，横纵坐标弄混；3. 平移方向考虑不全，导致漏解 矩形存在性 1. 先满足平行四边形，再附加直角或对角线相等条件；2. 分类讨论已知顶点的位置关系；3. 利用勾股定理或垂直条件验证 1. 直接按平行四边形求解后未验证矩形的特殊条件；2. 对角线相等条件应用时计算错误；3. 忽略矩形四个顶点都在反比例函数图象上的限制，保留不在图象上的点 菱形存在性 1. 先满足平行四边形，再附加邻边相等或对角线垂直条件；2. 利用两点间距离公式计算邻边长度列方程；3. 结合反比例函数验证点坐标 1. 混淆菱形与平行四边形的判定条件，遗漏邻边相等的验证；2. 对角线垂直条件应用错误；3. 出现四个顶点共线的无效情况未排除 正方形存在性 1. 同时满足矩形+菱形的判定条件；2. 利用坐标变换或三垂直全等求点坐标；3. 代入反比例函数逐一验证 1. 只满足矩形或菱形一个条件，未同时验证两个要求；2. 三垂直全等模型中对应边的坐标对应错误；3. 分类不全面，遗漏不同位置的正方形情况 通用问题 分类讨论原则 按照已知点、未知点的角色分类，保证不重不漏 分类标准混乱，出现重复讨论或者漏解 解的验证 所有求得的点必须满足反比例函数解析式，同时满足点不重合、图形不退化（不能三点共线等） 求得方程的解后直接作为结果，未排除不符合图形要求或不在反比例函数上的增根 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数中的全等三角形与k型 典例1 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 变式1-2如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】取的中点D，连接，求出点坐标，斜边上的中线求出的长，根据，得到当O，C，D三点共线时，取得最小值，求出的解析式，设点C坐标为，根据两点间距离公式列出方程求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得． 类型二、反比例函数中的等腰三角形 典例2 如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 变式2-1如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 变式2-2如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到点C的坐标，再代入反比例函数中可求得k值． 【详解】解：设与y轴相交于点D， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，即轴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 题型三、反比例函数中的等边三角形 典例3 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 变式3-1如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】过点B作于点E，利用菱形性质、坐标与图形、勾股定理求出点B坐标，再根据点D为中点，求出点D坐标，最后利用待定系数法求出k值即可． 【详解】解：过点B作于点E，如图， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， 解得， ， ∵与交于点，， ∴点D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． 变式3-2已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 变式3-3已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 题型四、反比例函数中的等腰直角三角形 典例4 【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 【答案】(1)①；；② (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）①利用一次函数的性质即可求解；②通过证明，得出，，代入数据即可得出点D的坐标； （2）作轴于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，再通过证明，得到，，代入数据得到点E的坐标，再利用待定系数法求反比例函数表达式即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：①直线绕点A顺时针旋转得到；②直线绕点A逆时针旋转得到，过点作交于点，作轴于点，通过证明，得到，，代入数据得到点M的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：①令，则， 令，则，解得， 点A坐标为；点B坐标为． 故答案为：；． ②， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， 由①得，，， ，， ， 点D的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， ， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， 代入到反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． （3）解：由（2）得，，， ①若直线绕点A顺时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； ②若直线绕点A逆时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， 同理①的方法可得，，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 变式4-1探究下列问题： 【模型建立】 (1)如图，在中，，直线经过点，过点作，过点作于．求证：； 【模型应用】 (2)直线与轴分别交于点，将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)一次函数的图象与轴分别交于点，点在反比例函数的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出的所有可能的值． 【答案】(1)如图1， ∵， ∴． 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴ ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线的图象与轴分别交于点，当时，，当时，， ∴， 如图2， 过点作交直线于点，过点作轴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为； （3）解：分三种情况： ①如图3，，过点作轴于， 当时，， 当时，， ∴， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图4，，过点作轴于， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点作轴，过点作轴， 由（1）同理可得， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是或或． 变式4-2如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【答案】(1)； (2)； (3)①当时，随增大而减小 ②当时随增大而减小 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：、，；根据三角形的面积公式求出当点在轴负半轴时，等腰三角形的面积； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， ， 当时，若点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为或或或或或或， 综上所述，以点，，为顶点的等腰三角形有个； ， ； （3）解：图象的性质：①当时，随增大而减小； ②当时随增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； 变式4-3已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． (1)求两函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． (3)求； (4)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)；； (2)P点的坐标为或或或； (3) (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）利用三角形面积公式求解即可； （4）利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入得， ∴， 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设P点的坐标为， ∵， ∴， 当时，即， ∴， 解得（舍去）或， ∴P点的坐标为； 当时，即， ∴， 解得， ∴P点的坐标为； 当时，P点的坐标为或； 综上，P点的坐标为或或或； （3）解：记直线交轴于点，当时，， ∴， ∴， ∴； （4）解：若，x的取值范围为或． 题型五、反比例函数中的直角三角形 典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）根据，结合两点间距离公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴,， ∴， 把代入得：， 解得， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 变式5-1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 变式5-2如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，过点作直线轴，交轴于点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)以为边作等边三角形，点落在边的下面，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入，即可解答； （2）先求出点，再结合为等边三角形，可得，过点C作于点D，则，再利用勾股定理可得的长，即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解；∵直线轴，交轴于点， ∴点B的纵坐标为3， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 如图，过点C作于点D，则， ∴， ∴点C的坐标为． 变式5-3在平面直角坐标系中，已知为等边三角形，，点C为的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与交于点D，，点B的横纵坐标之和为． (1)点C的坐标为________；（请直接写出结果） (2)求反比例函数的解析式； (3)求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于M，过点A作轴于N，证明，得，，设，则，然后由中点坐标公式求解； （2）设B点坐标为，则．再根据，求得，即可求得，从而求解； （3）先由点C坐标求得，再证明是第一象限角的平分线，从而可得所在直线的解析式为，再联立，求得D点的坐标为，从而可求得的长， 然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于M，过点A作轴于N，如图， 则， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵点C为的中点， ∴点， ∵点B的横纵坐标之和为， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设B点坐标为，则． ∵B的横纵坐标之和为， ∴． 解得． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵ ∴， ∵为等边三角形，点C为的中点， ∴， ∴， ∴是第一象限角的平分线， ∴所在直线的解析式为． 联立， 解得， ∴D点的坐标为． ∴． ∴． ∴CD的长度为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，反比例与一次函数交点，等边三角形的性质，中点坐标公式等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 题型六、反比例函数中的平行四边形 典例6 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接、，交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为1或 【分析】（1）将点代入反比例函数，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点C是的中点，得到，得到点B和点D横坐标相等，将代入得到，求得点B坐标为，解方程得到的解析式，得到点F坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当M在y轴正半轴时，如图1，在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，得到，，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到负值舍去，求得，，，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到点B坐标，解方程得到；②当M在y轴负半轴时，如图2在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到负值舍去，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：轴， ， 点C是OD的中点， ， 轴于点D， 点B和点D横坐标相等， 将代入得， 点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， 的解析式为， 将代入，得， 点F坐标为， ， ； （3）解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得， 过点N作轴于点I， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得 ， 即， 解得负值舍去， ，，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 点N坐标为， 为反比例函数图象上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴正半轴上， ； ②当M在y轴负半轴时，如图2 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得， 过点N作轴于点R， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得， 即， 解得负值舍去， ，，， 同理可证：， ，， 在中，， ， ， ， ， 点坐标为， 为反比例函数上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴负半轴上 综上所述，m的值为1或 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为，； (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点． （）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可； （）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为， ∵点的坐标为，代入解析式， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立与一次函数，得 ， 解得， 所以点的坐标为， ∴的长为， (ii)如图， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 联立， 解得或， ∵点在直线的上方， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：存在点使得为等边三角形， 理由如下：设直线为直线， 令得，，令得，， ∴，， ∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰， ∴直线与轴夹角为， ∵直线的解析式为， ∴直线是两坐标轴的夹角平分线， ∴，， 过点作点， ∴， 设点，设直线的表达式为， ∴， 联立， 解得， ∴， 则， ∴，即， ①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点， ∴， ∴在中， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点即为点， ∵是等边三角形，轴， ∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即， ∴设，则， ∵点在双曲线上， ∴， 解得(舍去)， ∴， ②当点在直线上方时， ∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上， ∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意， 如图，连，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标， ∴将代入中得， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 变式6-2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，求解即可； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． ，解得， 故反比例函数的解析式为； ， 故点B的坐标为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为； （2）解：根据题意，得不等式的解集或； （3）解：设直线与y轴交于点F， 根据题意，得，， ， ， 过点D作轴于点D， 则， ， ， 故是等腰直角三角形， ， ； 过点A作于点A，交x轴于点， 则， ， ， 故是等腰直角三角形， ， ，， ； 解得， 故； 变式6-3如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 题型七、反比例函数中的菱形 典例7 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点C，D分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足． (1)求a，b的值及反比例函数的解析式； (2)如图2，若，求四边形的面积； (3)若点E是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)E的坐标为，， 【分析】（1）利用点在直线上的条件求出的值，进而求出反比例函数解析式； （2）根据平行线的性质设出直线的解析式，结合求出点坐标，证明四边形是平行四边形，再证明得到矩形，从而求出面积； （3）分（点在点左侧和右侧）和三种情况，利用全等三角形的性质建立方程求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得， ， 点在直线上， ， ， 点在反比例函数上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 在轴的正半轴上， ，代入得， 直线的解析式为， 令得， ，即， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 如图，作轴于，则点F的坐标为， ， 为等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ； （3）解： ①当时，设点的坐标为， 过点作轴于点Q，过点作交直线于点， 若点在点左侧，如图 ， ， 在中，， 在与中， ， ， ， 设点的坐标为， ， ， ，解得， 点E的坐标为， 若点在点右侧，如图， 同理可证，， ， ，解得， 的坐标为； ②当时，过点作轴于点Q，过点作交直线于点， 同理可证，， ， 设点的坐标为，点的坐标 ， 解得，或， ， ，， ， 综上所述：的坐标为． 变式7-1直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 变式7-2如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）分情况讨论，当是斜边时，当是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由函数图象可知，不等式及的解集为或； （3）解：过、，， ∴，，， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴， 解得：， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴， 解得：， 综上可得：的值为或． 变式7-3如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 题型八、反比例函数中的矩形 典例8 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； (2)或； (3)的值为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）分情况讨论，当是斜边时，当是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过、两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的关系式为，， ∵一次函数过、两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的关系式为； （2）解：根据图象可知：当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：过、，， ∴，，， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 综上可得：的值为或． 变式8-1一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入反比例函数求出的值即可得出反比例函数的解析式，将代入反比例函数求出的值即可得出点的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，则，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数可得：， ∴， 将，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由（1）可得：，， ∴， 设， 则，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∴点的坐标为或． 变式8-2如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； （1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【详解】（1）解：，且点为中点， ∴， ∵在双曲线上， ； （2）由（1）可得反比例函数解析式为 ∵在上， 设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴ ∴ ∴， ， 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，   ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 变式8-3定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)①，；②证明见解析； (2)点的坐标为或或或． 【分析】（）①联立函数解析式解方程组即可求解； ②利用两点距离公式求出，进而由勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质证明即可求证； （）设点的坐标为， 分、、和四种情况，利用全等三角形的性质和平移的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：①由，解得，， ∴，； ②证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴平行四边形是勾股四边形； （2）解：由（）知，，，， 设点的坐标为， ①如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ③如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于点，作轴，过点作于点，则， ∵直线， 令，则， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴； ④如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理及逆定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型九、反比例函数中的正方形 典例9 如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为，此时的直线的解析式 (3)存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可设点的坐标为，则点的坐标为，结合点、正好落在反比例函数图像上，可设该反比例函数解析式为，易得，解得，进而可得点，点，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示， ∵、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）根据题意，将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点为、， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、正好落在反比例函数图像上， 设该反比例函数解析式为， 则有，解得， ∴点，点， ∴，即反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得 ∴直线的解析式为； （3）对于直线，当时，， ∴， 当为平行四边形的边时，如下图，此时四边形为平行四边形， ∵，， 又∵点在轴上，即的纵坐标为0，点在反比例函数的图像上， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时，如下图， 设是的中点， ∵，， ∴， 过点作直线与轴交于点，与的图像交于点， 若四边形是平行四边形， 则有， 易知点的横坐标大于，点的横坐标小于， 作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是， ∵在反比例函数的图像上，即， 解得， ∴，． 综上所述：存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 变式9-1如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值． 【答案】(1) (2)；；； (3)的值不发生改变 【分析】（1）设，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为 ，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连接、、，易证，故，，，由此即可得出结论． 【详解】（1） ∵，为中点， ∴， 设， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ∵由（1）知， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在双曲线上，点在轴上， ∴设， ①当为边时：如图1，若为平行四边形， 则， 解得， 此时； 如图2，若为平行四边形， 则， 解得， 此时； ②如图3，当为对角线时， ，且； ∴， 解得， ∴； 故；；； （3）结论：的值不发生改变， 理由：如图4，连， ∵是线段的垂直平分线， ∴, ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 四边形中， ，而 ， 所以，， 所以，四边形内角和为360°， 所以， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大． 变式9-2综合探究：如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)设直线交y轴于点C，点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，以点A，C，Q，M为顶点，为一边的四边形能构成菱形吗?若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点P的坐标为（0，5） (3)存在点Q的坐标为或或（0，4）使得以点A，C，Q，M为顶点，为一边的四边形能构成菱形 【分析】（1）先求出反比例函数解析式，从而求出点B的坐标，然后把A、B坐标代入到一次函数解析式求解即可； （2）如图所示，过点A作A关于y轴的对称点G，连接BG交y轴于点P，点P即为所求，求出直线BG的解析式即可得到答案； （3）分当AC为菱形的边，四边形ACQM为菱形时，则AC=CQ，当AC为菱形的边，四边形ACMQ为菱形时，则AQ=AC，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点A（1，6）代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，，解得， ∴点B的坐标为（3，2）， 把点A（1，6），B（3，2）代入一次函数解析式得： ， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，过点A作A关于y轴的对称点G，连接BG交y轴于点P，点P即为所求，理由如下： ∴点G的坐标为（-1，6），PA=PG， ∴△APB的周长=PA+PB+AB， 要使△APB的周长最小，则PA+PB=PG+PB最小， ∴当B、G、P三点共线时，PA+PB即△APB的周长最小， 设直线BG的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BG的解析式为， ∴点P的坐标为（0，5）； （3）解：∵点C是直线AB与y轴的交点， ∴点C的坐标为（0，8）， ∴ 设点Q的坐标为（0，n）， ∴,， 当AC为菱形的边，四边形ACQM为菱形时，则AC=CQ， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当AC为菱形的边，四边形ACMQ为菱形时，则AQ=AC， ∴， 解得或（舍去）， ∴点Q的坐标为（0，4）， 综上所述，存在点Q的坐标为或或（0，4）使得以点A，C，Q，M为顶点，为一边的四边形能构成菱形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，菱形的性质，两点距离公式，轴对称最短路径问题，利用数形结合的思想求解是关键． 变式9-3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为轴于点，反比例函数的图像的一支分别交于点，延长交反比例函数的图像的另一支于点E，已知D的纵坐标为． （1）求反比例函数的解析式及直线OA的解析式； （2）连接BC，已知，求 （3）若在轴上有两点，将直线绕点旋转，仍与交于，能否构成以为顶点的四边形为菱形，如果能请求出的值，如果不能说明理由． 【答案】（1），；（2）24；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可求A、D的坐标，用待定系数法即求出反比例函数解析式；由点A坐标求直线OA的解析式． （2）把直线OA与反比例函数解析式联立方程组，即求出交点C,E的坐标，再把△CEB分成△COB与△EOB，以OB为公共底，点C和点E纵坐标的绝对值为高即求出三角形面积． （3）若为菱形，则对角线互相垂直，但CE不与x轴垂直，矛盾，故不能成为菱形． 【详解】解：（1）因为点A的坐标为轴于B，所以 ，B（8,0） 点D在反比例函数的图象上 所以反比例函数的解析式为 设直线OA的解析式 解得 所以直线OA的解析式为； （2）联立，解得或 ∴又 ； （3）因为所在直线不可能与轴垂直，即不能与垂直 所以为顶点的四边形不能是菱形． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的综合运用，平行四边形、矩形、菱形的判定． 题型十、反比例函数中的角度与等角 典例10 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当四边形的面积为时，求此时点的坐标； (3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点是平面内一点，点在直线AB上，是否存在这样的点，，，使四边形是“美好菱形”？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数和反比例函数交点问题，函数几何面积问题，菱形性质，全等三角形性质及判定，解直角三角形． （1）根据题意待定系数法求反比例函数解析式，再将一次函数和反比例函数列式即可求出点的坐标； （2）过点作轴，交于，设点的坐标为，求出，再求出的解析式可得，继而得到本题答案； （3）根据题意分情况讨论（Ⅰ）当点F在点A下方时，证明，的解析式，继而得到，，过点作轴，过点作轴，解直角三角形即可，（Ⅱ）当点F在点A上方时，同理（Ⅰ）中情况即可得到． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ，                      ， 反比例函数的表达式为：， 则， 解得：，， ； （2）解：如图1，过点作轴，交于， 设点的坐标为， ， 的解析式为：， 当时，， ， ， ， 设的解析式为：， 则，解得：， 的解析式为：， ， ， 四边形的面积为， ， ， ， 解得：，（舍； ； （3）解：存在，理由如下： 由菱形的定义知，或， （Ⅰ）当点F在点A下方时，则只能， 过点B作垂直，交于点Q，则三角形为等腰直角三角形． 过点作轴于，过点作轴，过点作轴， 则， ，， ， 的解析式为， ， 解得：或（舍， ， ， ， 过点作轴，过点作轴， ， ， ， （Ⅱ）当点F在点A上方时，则只能，此时， 由（Ⅰ）知， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 变式10-1如图所示，单位长度为1的网格平面直角坐标系中，与双曲线交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出不等式的解集_______； (3)确定格点C，使四边形为菱形，并求出菱形的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）将点坐标代入反比例函数解出，再将坐标代入反比例函数解析式得到B的坐标，待定系数法得到一次函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先根据网格图特征，确定点C，使四边形为菱形，再利用勾股定理和菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 将点代入， 得， 解得， 把和分别代入， 得， 解得， 故一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）解：观察图象可知，的解集为； 故答案为：； （3）解：格点C如图所求． 依据网格图特征，可知菱形的边长都为． 故点C即为所求． 由格点可知． ． 菱形的面积为8． 变式10-2定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；矩形是该反比例函数的伴随矩形 (2)证明：设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，． ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 设伴随直线的解析式为：， 将点B，点D代入解析式， 则有：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴伴随直线的解析式为：， 当时，， ∴该直线恒过原点， 即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)①证明：设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上， 即：，， 化简得：， 即， ∴点C坐标为． 同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为， 同理可得顶点G的坐标为． 设直线的解析式为：， 将点A，点E坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 同理，设直线的解析式为：， 将点C，点G坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 联立直线与直线的解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即 ∴， ∴ ∴ ∴， 将代入②得：， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即直线与直线的交点坐标为：， 经检验，该点坐标满足， 因此直线与直线的交点M始终在直线上． ② 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的长度，计算出点C坐标，验证点C是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形； （2）设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点； （3）①设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，先推出另外两个顶点坐标，．由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上，推导出，即得到点C坐标为．同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为，同理可得顶点G的坐标为．运用待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线方程，求出直线与直线的交点M的坐标，最后检验该点坐标满足，即可证得结论； ②设伴随矩形的顶点A的坐标为，由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：，根据“矩形的周长为30”，建立关于a的方程，解方程，即可求得a的值；设伴随矩形的顶点E的坐标为，由①可知，点G的坐标为，同理可求出c的值；最后根据①中求出的点M坐标，代入a和c的值，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过矩形的顶点， ∴将点代入中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：． ∵轴， ，， ∴， 即． 同理，∵轴，，， ∴， 即， ∵， 即点C坐标满足反比例函数的关系式， ∴点C在反比例函数的图象上． 根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形是该反比例函数的伴随矩形． （2）略 （3）①略 ②解：设伴随矩形的顶点A的坐标为， 由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 同理，设伴随矩形的顶点E的坐标为， 由①可知，点G的坐标为． 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 由①可知，直线与直线的交点坐标为：， ∵，， ∴． 变式10-3在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，求出的值． 【答案】(1)，是矩形的“友好函数”，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2） ①求出正比例函数，设点，则，则，根据折叠的性质得，延长交轴与， 根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，根据勾股定理列方程并求出，求出点坐标，即可求出； ②当时，即，将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式，得：． ∴反比例函数的表达式为：， 当时，， ∴点在反比例函数图像上， ∴该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式，得， ∴正比例函数表达式为， ∵正比例函数是矩形的“友好函数”， ∴点在直线上， 设点，点， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为，点落在轴上， ∴， 延长交轴于，如图： ∵四边形是矩形． ∴． ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：或， ∵， ∴． ∴． ， 当时，， 把代入反比例函数得：， ∴； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴当时， ， 当时，， ∴，， ， 当时，， ∴，， ， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，求函数解析式，反比例函数和一次函数的性质，勾股定理等知识，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解是解题的关键． 题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值 典例11 在平面直角坐标系中，对于任意三点，，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且，，三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点，，的相伴矩形，在点，，所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点，，的最佳相伴矩形．例如，图中的矩形，，都是点的相伴矩形，矩形是点的最佳相伴矩形． (1)如图，点，，（为整数）． ①如果，则点的最佳相伴矩形的面积是________． ②如果点的最佳相伴矩形的面积是，请写出一个符合题意的值_______． (2)如图，已知点在函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为， ①求点的最佳相伴矩形的面积关于的函数表达式， ②当 时的值最小，最小值等于 ． 【答案】(1)①；②或 (2)①当时，；当时，；当时，；②， 【分析】（）①根据题意画出图形解答即可；②分点在轴上方和下方两种情况，分别画出图形列方程解答即可； （）①分、和三种情况，分别画出图形解答即可即可求解；②根据①所得函数表达式，利用函数的性质求出最小值即可； 本题考查了矩形的新定义运算，一元一次方程的几何应用，反比例函数与几何图形，理解新定义并运用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，点，则点的最佳相伴矩形如图所示： ∴点的最佳相伴矩形的面积， 故答案为：； ②当点在轴上方时，点的最佳相伴矩形如图所示： 则， 解得； 当点在轴下方时，点的最佳相伴矩形如图所示： 则， 解得； 综上，的值为或； （2）解：当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， 即； 综上，当时，；当时，；当时，； ②当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值； 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 综上，当时的值最小，最小值等于， 故答案为：，． 变式11-1换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，或或 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②略 （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 变式11-2在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 【答案】(1)或（答案不唯一） (2)是，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数、一次函数解析式，图形与坐标； （1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：或（答案不唯一）． （2）解：当点时，代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数是正方形的“函数”． 变式11-3如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标； （2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当时；当时；当为对角线时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵，∴设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图所示，过点D作轴，，， 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点A向右平移个单位得到点， ∴即； （3）解：分三种情况讨论， 由（2）得点A向右平移个单位得到点， ∴， ∴， 当时，则且， ∴，，即，； 当时，此时点与点Q关于y轴对称，； 当为对角线时，此时， 设， ∴， 解得，即，且， ∴，即， 综上可得：点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形． （1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式． 【答案】（1）或 ；（2）m＝1，反比例函数的解析式为y＝． 【分析】此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点： （1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性； （2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到全等三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解． 【详解】解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时， ∵OC＝OD＝1， ∴正方形ABCD的边长CD＝； ∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时， ∴设正方形的边长为a， ∴3a＝CD＝． ∴a＝， ∴正方形边长为 ， ∴一次函数y＝x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 ； （2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴， ∵AB＝AD＝BC，∠DAE＝∠OBA＝∠FCB， ∴△ADE≌△BAO≌△CBF． ∵m＜2， ∴DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m， ∴OF＝BF+OB＝2， ∴C点坐标为（2﹣m，2）， 设反比例函数的解析式为：， ∵D（2，m），C（2﹣m，2） ∴， ∴由②得：k＝2m③， ∴把k＝2m代入①得：2m＝2（2﹣m）， ∴解得m＝1，k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝． 【点睛】此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解． 2．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 【答案】(1) (2)根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 (3)连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长交x轴于点G，根据题意得出轴，轴，确定轴，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，设点坐标为，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即可； （2）根据题意设点坐标为，点坐标为，得出坐标为，点坐标为，设直线的函数表达式为，确定直线的函数表达式为，将点B代入即可判断； （3）连接交于点，根据矩形的性质得出，确定，，再由等边对等角得出，，利用三角形外角的性质及等量代换得出，再由平行线的性质结合图形即可证明． 【详解】（1）解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； （2）略． （3）略． 4．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，与反比例函数交于点，以为边向下作，点恰好在轴上，且，，若的面积为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由三角形面积求得点的坐标，代入即可求得的值，求得点的坐标是解题的关键． 【详解】解：作于点， 轴， 轴，， 设，则， ， ， ， 的面积为， ， （负数舍去）， ， 把代入得，， ， 反比例函数过点， ． 5．（1）平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，点的纵坐标是． ①求的值； ②如图 1，正方形的顶点、在双曲线上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，求点的坐标； （2）平面直角坐标系中，如图 2，点在轴正半轴上，四边形为直角梯形，，，，为边的中点，，反比例函数的图像经过点，且，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【分析】（1）①由直线交双曲线于点，点的纵坐标是，可求得点的坐标，继而求得的值； ②首先作轴于点，作轴于点，易证得，易得，，继而求得的值，则可求得点的坐标； （2）首先延长交轴于，过作于，易证得，，又可证得四边形为正方形，再根据，从而建立方程，即可求得答案. 【详解】解：（1）①∵直线交双曲线于点，点的纵坐标是， ∴当时，， 解得：， ∴， 又∵在上， ∴. ∴的值是. ②作轴于点，作轴于点，设，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和和中， ∴， ∴， ， ∴，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 即， ∵顶点、分别在轴、轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴. ∴点的坐标为. （2）延长交轴于，过作于，设，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴. ∴的值为. 【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.解题的关键通过作辅助线构造全等三角形，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用. 6．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由略； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 8．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 9．如图1，已知矩形，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，与点同时结束运动，设点的运动时间为． （1）点到达终点的运动时间是______，此时点的运动距离是______； （2）当时，、两点的距离为______； （3）当为何值时，点和点之间的距离是； （4）如图2，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，长为单位长度建立平面直角坐标系，连接，与相交于点，若双曲线过点，问的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出的值． 【答案】（1），；（2）6；（3）t＝或t＝；（4）不变化，k＝． 【分析】（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论； （2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论； （3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论； （4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴OA＝BC＝16， ∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动， ∴t＝，此时，点Q的运动距离是×2＝cm， 故答案为，； （2）如图1，由运动知，AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm， 过点P作PE⊥BC于E， ∴四边形APEB是矩形， ∴PE＝AB＝6，BE＝6， ∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6， 根据勾股定理得，PQ＝=6， 故答案为6； （3）设运动时间为t秒时， 由运动知，AP＝3t，CQ＝2t， 同（2）的方法得，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t， ∵点P和点Q之间的距离是10cm， ∴62+（16﹣5t）2＝100， 解得，t＝或t＝； （4）k的值是不会变化， 理由：∵四边形AOCB是矩形， ∴OC＝AB＝6，OA＝16， ∴C（6，0），A（0，16）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+16①， 设运动时间为t， ∴AP＝3t，CQ＝2t， ∴OP＝16﹣3t， ∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t）， ∴PQ解析式为y＝x+16﹣3t②， 联立①②得，， 解得，x＝，代入y＝， ∴D（，） ∴k＝是定值． 【点睛】本题是动点问题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形和求解析式是解本题的关键． 10．如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接．    (1)当时，求线段的长； (2)若； ①若，求的值； ②求的值； (3)当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)不变， 【分析】（1）先求出点坐标，根据题意，求出点的坐标，即可得解； （2）①设则：，得到，根据，进行求解即可；②分别表示出点的坐标，求出的长，即可得出的值； （3）利用四边形的面积等于，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴； （2）①设 ∵， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵在的图象上， ∴ 由题意得：，，，， ∴，， ∴； （3）不变； 由（2）②知：，，， ∴，， ∴四边形的面积等于 ． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用．熟练掌握反比例函数上的点的特征，以及平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键． 11．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出，再把代入中，可得，即可求出点坐标； （2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可； （3）设点C的坐标为，表示出，，，为等腰三角形，且，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， 把代入中，可得， 故，点坐标是 （2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，； （3）解：设点C的坐标为， 则，，． ∵为等腰三角形，且， ∴，即， 解得：或（此时，则不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为． 故在x轴上存在点C，使得为等腰三角形，且，点C的坐标为．​ 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 13．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 15．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 2 / 153 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数的特殊三角形、四边形的十一类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数中的全等三角形与k型 题型二、反比例函数中的等腰三角形 题型三、反比例函数中的等边三角形 题型四、反比例函数中的等腰直角三角形 题型五、反比例函数中的直角三角形 题型六、反比例函数中的平行四边形 题型七、反比例函数中的菱形 题型八、反比例函数中的矩形 题型九、反比例函数中的正方形 题型十、反比例函数中的角度与等角 题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知识点 易错点 特殊三角形存在性问题 等腰三角形存在性 1. 分类讨论：分别以三个顶点为等腰三角形顶点，两腰相等；2. 利用两点间距离公式列方程求解；3. 结合反比例函数解析式验证点坐标的有效性 1. 漏解：未完整进行分类讨论，遗漏某一种顶点情况；2. 增解：未验证求得的点是否在反比例函数图象上，保留不符合条件的解；3. 计算错误：两点间距离公式应用时符号或平方运算出错 直角三角形存在性 1. 分类讨论：分别以三个顶点为直角顶点；2. 利用勾股定理逆定理或斜率乘积为-1（垂直判定）列方程；3. 结合反比例函数有意义筛选结果 1. 忽略直角顶点在原点或坐标轴上的特殊情况；2. 混淆斜率垂直的条件，忽略斜率不存在的特殊情形；3. 未考虑反比例函数x≠0的限制，得到无效点坐标 等腰直角三角形存在性 1. 结合等腰与直角的双重条件分类；2. 利用全等三角形或坐标变换确定点的位置关系；3. 代入反比例函数解析式求解验证 1. 分类重复或遗漏，同一位置重复计算；2. 坐标变换时横纵坐标对应关系错误；3. 未同时满足等腰和直角两个条件，只满足一个就得出结论 特殊四边形存在性问题 平行四边形存在性 1. 分类讨论：已知边为平行四边形的边或对角线两种情况；2. 利用平行四边形对角线中点坐标重合（中点公式）列方程；3. 利用平移性质确定点坐标 1. 只讨论已知边为边的情况，遗漏已知边为对角线的情形；2. 中点坐标公式计算错误，横纵坐标弄混；3. 平移方向考虑不全，导致漏解 矩形存在性 1. 先满足平行四边形，再附加直角或对角线相等条件；2. 分类讨论已知顶点的位置关系；3. 利用勾股定理或垂直条件验证 1. 直接按平行四边形求解后未验证矩形的特殊条件；2. 对角线相等条件应用时计算错误；3. 忽略矩形四个顶点都在反比例函数图象上的限制，保留不在图象上的点 菱形存在性 1. 先满足平行四边形，再附加邻边相等或对角线垂直条件；2. 利用两点间距离公式计算邻边长度列方程；3. 结合反比例函数验证点坐标 1. 混淆菱形与平行四边形的判定条件，遗漏邻边相等的验证；2. 对角线垂直条件应用错误；3. 出现四个顶点共线的无效情况未排除 正方形存在性 1. 同时满足矩形+菱形的判定条件；2. 利用坐标变换或三垂直全等求点坐标；3. 代入反比例函数逐一验证 1. 只满足矩形或菱形一个条件，未同时验证两个要求；2. 三垂直全等模型中对应边的坐标对应错误；3. 分类不全面，遗漏不同位置的正方形情况 通用问题 分类讨论原则 按照已知点、未知点的角色分类，保证不重不漏 分类标准混乱，出现重复讨论或者漏解 解的验证 所有求得的点必须满足反比例函数解析式，同时满足点不重合、图形不退化（不能三点共线等） 求得方程的解后直接作为结果，未排除不符合图形要求或不在反比例函数上的增根 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数中的全等三角形与k型 典例1 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 变式1-2如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 类型二、反比例函数中的等腰三角形 典例2 如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2-1如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 变式2-2如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 题型三、反比例函数中的等边三角形 典例3 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 变式3-1如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 变式3-2已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 变式3-3已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 题型四、反比例函数中的等腰直角三角形 典例4 【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 变式4-1探究下列问题： 【模型建立】 (1)如图，在中，，直线经过点，过点作，过点作于．求证：； 【模型应用】 (2)直线与轴分别交于点，将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)一次函数的图象与轴分别交于点，点在反比例函数的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出的所有可能的值． 变式4-2如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 变式4-3已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． (1)求两函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． (3)求； (4)若，直接写出x的取值范围． 题型五、反比例函数中的直角三角形 典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求出点的坐标． 变式5-1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 变式5-2如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，过点作直线轴，交轴于点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)以为边作等边三角形，点落在边的下面，求点的坐标． 变式5-3在平面直角坐标系中，已知为等边三角形，，点C为的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与交于点D，，点B的横纵坐标之和为． (1)点C的坐标为________；（请直接写出结果） (2)求反比例函数的解析式； (3)求线段的长度． 题型六、反比例函数中的平行四边形 典例6 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接、，交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式6-3如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 题型七、反比例函数中的菱形 典例7 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点C，D分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足． (1)求a，b的值及反比例函数的解析式； (2)如图2，若，求四边形的面积； (3)若点E是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 变式7-1直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-2如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 变式7-3如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 题型八、反比例函数中的矩形 典例8 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 变式8-1一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式8-2如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 变式8-3定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 题型九、反比例函数中的正方形 典例9 如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 变式9-1如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值． 变式9-2综合探究：如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)设直线交y轴于点C，点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，以点A，C，Q，M为顶点，为一边的四边形能构成菱形吗?若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，说明理由． 变式9-3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为轴于点，反比例函数的图像的一支分别交于点，延长交反比例函数的图像的另一支于点E，已知D的纵坐标为． （1）求反比例函数的解析式及直线OA的解析式； （2）连接BC，已知，求 （3）若在轴上有两点，将直线绕点旋转，仍与交于，能否构成以为顶点的四边形为菱形，如果能请求出的值，如果不能说明理由． 题型十、反比例函数中的角度与等角 典例10 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当四边形的面积为时，求此时点的坐标； (3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点是平面内一点，点在直线AB上，是否存在这样的点，，，使四边形是“美好菱形”？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式10-1如图所示，单位长度为1的网格平面直角坐标系中，与双曲线交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出不等式的解集_______； (3)确定格点C，使四边形为菱形，并求出菱形的面积． 变式10-2定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 变式10-3在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，求出的值． 题型十一、题型十、反比例函数中的定值与比值 典例11 在平面直角坐标系中，对于任意三点，，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且，，三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点，，的相伴矩形，在点，，所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点，，的最佳相伴矩形．例如，图中的矩形，，都是点的相伴矩形，矩形是点的最佳相伴矩形． (1)如图，点，，（为整数）． ①如果，则点的最佳相伴矩形的面积是________． ②如果点的最佳相伴矩形的面积是，请写出一个符合题意的值_______． (2)如图，已知点在函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为， ①求点的最佳相伴矩形的面积关于的函数表达式， ②当 时的值最小，最小值等于 ． 变式11-1换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式11-2在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 变式11-3如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形． （1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式． 2．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 4．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，与反比例函数交于点，以为边向下作，点恰好在轴上，且，，若的面积为，求的值． 5．（1）平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，点的纵坐标是． ①求的值； ②如图 1，正方形的顶点、在双曲线上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，求点的坐标； （2）平面直角坐标系中，如图 2，点在轴正半轴上，四边形为直角梯形，，，，为边的中点，，反比例函数的图像经过点，且，求的值． 6．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 7．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 8．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 9．如图1，已知矩形，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，与点同时结束运动，设点的运动时间为． （1）点到达终点的运动时间是______，此时点的运动距离是______； （2）当时，、两点的距离为______； （3）当为何值时，点和点之间的距离是； （4）如图2，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，长为单位长度建立平面直角坐标系，连接，与相交于点，若双曲线过点，问的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出的值． 10．如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接．    (1)当时，求线段的长； (2)若； ①若，求的值； ②求的值； (3)当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 11．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 13．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 15．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $