专题07相似三角形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题07相似三角形暑假预习讲义 ① 熟记基础定义与规范写法：理解相似三角形含义，牢记对应角相等、对应边成比例；书写相似符号时顶点必须一一对应，分清相似比，知晓相似比为1时两个三角形全等。 ② 掌握平行线推出相似结论：牢记平行于三角形一边的直线，截两边或两边延长线构成的三角形与原三角形相似，会识别A型、X型基础相似图形。 ③ 吃透三大相似判定定理：熟练背诵两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例三种判定方法，能根据题干条件灵活选用定理证明相似。 ④ 牢记相似三角形全套性质：清楚对应高线、中线、角平分线、周长之比均等于相似比；面积之比等于相似比的平方，可利用性质计算线段长度与图形面积。 ⑤ 学会识图找对应边角：在简单几何图形中精准找出两组三角形的对应角、对应边，依托比例式列式求解未知边长。 ⑥ 规避高频易错问题：书写相似三角形顶点顺序错乱、混淆相似比前后顺序、误将面积比直接等同于相似比、判定时误用非夹角条件做题出错。 ⑦ 搭建知识衔接逻辑：明白比例线段是学习相似三角形的前提，为后续图形位似、实际测量应用题做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.相似三角形的相关概念 2.平行线判定相似 3.三大相似判定 4.直角三角形判定相似 5.相似三角形的性质 6.常见模型及应用 7.相似三角形的应用思路 8.三角形的重心 常考题型 精讲精练 1.利用平行判定相似 2.两角对应相等判定相似 3.三边对应成比例判定相似 4.两边成比例且夹角相等证相似 5.相似三角形的判定综合 6.补充条件使两个三角形相似 7.由相似三角形的性质求解 8.证明三角形对应线段成比例 9.利用相似求坐标 10.网格中构造相似三角形 11.相似三角形动点问题 12.相似三角形判定与性质综合 13.相似三角形的实际应用 14.重心的有关性质 强化题型 解答题7题 Zhishid 01相似三角形的相关概念 1. 相似三角形定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：，读作 “相似于” 书写要求：对应顶点必须写在对应位置 例： △ABC △A'B'C' 含义：∠A=∠A′，∠B=∠B′, ∠C=∠C'； 2. 相似比（相似系数） 相似三角形对应边的比叫做相似比。 ⚠️注意顺序： 若△ABC △A'B'C'，相似比k=； 则△ABC △A'B'C',相似比为。 特例：相似比k=1时，两个三角形全等，全等三角形是特殊的相似三角形。 3. 基础辨析 (1)两个全等三角形一定相似； (2)两个等腰直角三角形一定相似；两个等边三角形一定相似； (3)两个直角三角形、两个等腰三角形不一定相似。 知识点 02平行线判定相似 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言： 已知DE∥BC，则 △ADE∽△ABC 两种图形：A 型图、X 型（8 字型） 知识点 03三大判定定理 定理 文字内容 几何符号语言 图示 判定定理 1（两角分别相等） 两角分别相等的两个三角形相似 在 △ABC和△DEF中， ∠A= ∠D, ∠B=∠E △ADE∽△ABC 判定定理 2（两边成比例且夹角相等） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 =,∠B=∠E △ADE∽△ABC ⚠️必须是夹角！ 判定定理 3（三边对应成比例） 三边对应成比例的两个三角形相似 == △ADE∽△ABC 知识点 04 直角三角形相似特殊判定 通用方法：AA、SAS、SSS 均可直接使用； 斜边直角边判定：两个直角三角形，斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ， 则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点05：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点06:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点07：相似三角形的应用思路（预习解题方法指导） 1.证相似步骤 ① 标记相等角；② 优先寻找两组等角；无法找角再寻找边的比例； 2.求边长：利用相似→对应边成比例，列方程求解； 3.求面积：先求相似比，面积比 = 相似比平方； 4.证明线段等积式： 如 AB CD=EF GH\)，一般转化为比例式=，寻找左右两边所在三角形相似。 知识点08:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 题型1.利用平行判定相似 【典例】如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 题型2.两角对应相等判定相似 【典例】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 题型3.三边对应成比例判定相似 【典例】已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与勾股定理，掌握好利用三边长判定相似是解题关键． 利用勾股定理算出各个三角形的三条边的长度，三边成比例的三角形就是所求的相似三角形． 【详解】解：由勾股定理可得，题干中的三角形的三边为，，4，其三边比为，化简得， 对于选项A，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项B，其三边比为，与题干不成比例，故不相似； 对于选项C，其三边比为，化简得，，与题干成比例，故相似； 对于选项D，其三边比为，与题干不成比例，故不相似． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 题型4.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 直接利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知C选项符合题意． 故选C． 题型5.相似三角形的判定综合 【典例】如图，在的正方形网格中有下列三角形，其中是相似三角形的是（    ） A．①与② B．②与③ C．①与③ D．②与④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，相似三角形的判定定理有很多种，要结合题干条件，灵活选用判定定理证明三角形相似． 根据“三条边对应成比例，两三角形相似”进行判定，设正方形网格中小正方形的边长为1，则结合正方形网格的特点以及勾股定理可以依次得到四个三角形的各个边长；再根据“三条边对应成比例的两个三角形相似”即可选出正确答案． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有： ①中的三角形的三条边依次为， ②中的三角形的三条边依次为， ③中的三角形的三条边依次为， ④中的三角形的三条边依次为， 观察四组三角形的边长，可知， ∴①与③相似． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有__________对 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 题型6.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、根据，不能判定和相似，故该选项符合题意； D、∵，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知，添加一个条件______，使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由可得， 根据相似三角形的判定，可添加一个角或的两边对应成比例； 故可以添加：或或； 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练2】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键． 先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 对于A，添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； 对于B，添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 对于C，添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 对于D，添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 题型7.由相似三角形的性质求解 【典例】如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，D，E分别是边，上的点，且．若与的周长之比为，，则_____． 【答案】2 【分析】首先证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比得到，据此求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理可得，再分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当，如图， 则， 即 ∴； 当，如图， 则， 即， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 题型8.证明三角形对应线段成比例 【典例】如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 题型9.利用相似求坐标 【典例】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标________． 【答案】 【分析】由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： 题型10.网格中构造相似三角形 【典例】如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线， 则，， 显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意； 选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意； 选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键． 【跟踪专练1】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 题型11.相似三角形动点问题 【典例】如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 题型12.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，，＝，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，进而证明，从而得到． 【详解】解：， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，，，．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 题型13.相似三角形的实际应用 【典例】如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 【跟踪专练1】如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 【跟踪专练2】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型14.重心的有关性质 【典例】如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，D，E分别为边，的中点，连接，交于点F，则线段的长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】三角形三条中线的交点是重心，重心把每条中线分为两部分（重心到顶点的距离重心到对边中点的距离=），直角三角形中斜边中线等于斜边的一半． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵D，E分别为边，的中点， ∴，为的两条中线， ∴点F是的重心， ∴， 即， ∵E为的中点， ∴， ∴． 【跟踪专练2】在中，，D、E分别是边的中点，和相交于点O，如果点O到边的距离为2，，那么的长为______． 【答案】 10 【分析】根据三角形中线的定义确定点为的重心，利用等腰三角形三线合一的性质及重心的性质求出边上的高，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点， 、分别是边、的中点， 、是的中线， 点是的重心， ∴是的中线， ， ，， 点到边的距离为， ， 点是的重心， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 解答题 1．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 2．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． 4．如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【答案】(1) 证明： ， 又 ， ， ； (2) ， 又 ， ； (3)长的最小值为2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 【详解】（1）略 （2） 略 （3）， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 5．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 6.如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 7．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似三角形暑假预习讲义 ① 熟记基础定义与规范写法：理解相似三角形含义，牢记对应角相等、对应边成比例；书写相似符号时顶点必须一一对应，分清相似比，知晓相似比为1时两个三角形全等。 ② 掌握平行线推出相似结论：牢记平行于三角形一边的直线，截两边或两边延长线构成的三角形与原三角形相似，会识别A型、X型基础相似图形。 ③ 吃透三大相似判定定理：熟练背诵两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例三种判定方法，能根据题干条件灵活选用定理证明相似。 ④ 牢记相似三角形全套性质：清楚对应高线、中线、角平分线、周长之比均等于相似比；面积之比等于相似比的平方，可利用性质计算线段长度与图形面积。 ⑤ 学会识图找对应边角：在简单几何图形中精准找出两组三角形的对应角、对应边，依托比例式列式求解未知边长。 ⑥ 规避高频易错问题：书写相似三角形顶点顺序错乱、混淆相似比前后顺序、误将面积比直接等同于相似比、判定时误用非夹角条件做题出错。 ⑦ 搭建知识衔接逻辑：明白比例线段是学习相似三角形的前提，为后续图形位似、实际测量应用题做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.相似三角形的相关概念 2.平行线判定相似 3.三大相似判定 4.直角三角形判定相似 5.相似三角形的性质 6.常见模型及应用 7.相似三角形的应用思路 8.三角形的重心 常考题型 精讲精练 1.利用平行判定相似 2.两角对应相等判定相似 3.三边对应成比例判定相似 4.两边成比例且夹角相等证相似 5.相似三角形的判定综合 6.补充条件使两个三角形相似 7.由相似三角形的性质求解 8.证明三角形对应线段成比例 9.利用相似求坐标 10.网格中构造相似三角形 11.相似三角形动点问题 12.相似三角形判定与性质综合 13.相似三角形的实际应用 14.重心的有关性质 强化题型 解答题7题 Zhishid 01相似三角形的相关概念 1. 相似三角形定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：，读作 “相似于” 书写要求：对应顶点必须写在对应位置 例： △ABC △A'B'C' 含义：∠A=∠A′，∠B=∠B′, ∠C=∠C'； 2. 相似比（相似系数） 相似三角形对应边的比叫做相似比。 ⚠️注意顺序： 若△ABC △A'B'C'，相似比k=； 则△ABC △A'B'C',相似比为。 特例：相似比k=1时，两个三角形全等，全等三角形是特殊的相似三角形。 3. 基础辨析 (1)两个全等三角形一定相似； (2)两个等腰直角三角形一定相似；两个等边三角形一定相似； (3)两个直角三角形、两个等腰三角形不一定相似。 知识点 02平行线判定相似 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言： 已知DE∥BC，则 △ADE∽△ABC 两种图形：A 型图、X 型（8 字型） 知识点 03三大判定定理 定理 文字内容 几何符号语言 图示 判定定理 1（两角分别相等） 两角分别相等的两个三角形相似 在 △ABC和△DEF中， ∠A= ∠D, ∠B=∠E △ADE∽△ABC 判定定理 2（两边成比例且夹角相等） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 =,∠B=∠E △ADE∽△ABC ⚠️必须是夹角！ 判定定理 3（三边对应成比例） 三边对应成比例的两个三角形相似 == △ADE∽△ABC 知识点 04 直角三角形相似特殊判定 通用方法：AA、SAS、SSS 均可直接使用； 斜边直角边判定：两个直角三角形，斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ， 则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点05：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点06:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点07：相似三角形的应用思路（预习解题方法指导） 1.证相似步骤 ① 标记相等角； ② 优先寻找两组等角；无法找角再寻找边的比例； 2.求边长：利用相似→对应边成比例，列方程求解； 3.求面积：先求相似比，面积比 = 相似比平方； 4.证明线段等积式： 如 AB CD=EF GH\)，一般转化为比例式=，寻找左右两边所在三角形相似。 知识点08:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 题型1.利用平行判定相似 【典例】如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则的值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型2.两角对应相等判定相似 【典例】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 题型3.三边对应成比例判定相似 【典例】已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【跟踪专练1】如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中所画的三角形与所给三角形相似的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 题型4.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【跟踪专练1】如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【跟踪专练2】如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 题型5.相似三角形的判定综合 【典例】如图，在的正方形网格中有下列三角形，其中是相似三角形的是（    ） A．①与② B．②与③ C．①与③ D．②与④ 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有__________对 【跟踪专练2】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 题型6.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，添加一个条件______，使得．    【跟踪专练2】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ）． A． B． C． D． 题型7.由相似三角形的性质求解 【典例】如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，D，E分别是边，上的点，且．若与的周长之比为，，则_____． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 题型8.证明三角形对应线段成比例 【典例】如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 题型9.利用相似求坐标 【典例】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标________． 题型10.网格中构造相似三角形 【典例】如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【跟踪专练2】如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11.相似三角形动点问题 【典例】如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 题型12.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，，＝，则＝（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，．若，，则的值为______． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型13.相似三角形的实际应用 【典例】如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【跟踪专练1】如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 题型14.重心的有关性质 【典例】如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，D，E分别为边，的中点，连接，交于点F，则线段的长为（     ） A． B． C．2 D．3 【跟踪专练2】在中，，D、E分别是边的中点，和相交于点O，如果点O到边的距离为2，，那么的长为______． 解答题 1．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 2．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 3．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 4．如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 5．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 6.如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 7．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $