专题06成比例线段与相似图形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题06成比例线段与相似图形暑假预习讲义 ①理解线段的比与成比例线段概念：掌握线段比值计算要求（长度单位统一），会判定四条线段是否成比例，牢记成比例线段具备顺序性，不可随意调换顺序。 ②熟练运用比例核心性质：掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，能完成比例式与等积式互相转化，会借助设k法求解线段长度参数。 ③了解黄金分割基础知识：知晓黄金分割点、黄金比数值含义，能进行简单线段分割计算，明白比例中项的定义与简单应用。 ④认识相似图形本质特征：牢记相似图形核心特点：形状完全相同、大小可不等；全等图形是特殊的相似图形，能辨别生活与几何中的相似图形 。 ⑤掌握相似多边形判定与性质：清楚相似多边形两大判定条件：边数相同、对应角相等、对应边成比例；理解相似比含义，知晓周长比等于相似比。 ⑥梳理章节逻辑铺垫新知：明白比例线段是学习相似三角形的基础，理清线段比例关系和图形相似之间的内在联系。 ⑦规避高频易错点：计算线段比忘记统一单位、忽略成比例线段顺序、判定多边形相似只看边长不验证角度，日常做题刻意留意细节问题。 预习必备 知识梳理 1.线段的比 2.成比例线段 3.比例的基本性质 4.黄金分割 5.平行线分线段成比例的基本事实 6.平行线分线段成比例的推论 7.相似多边形的定义 8.相似比 9.相似多边形的性质 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.比例的性质 2.比例线段 3.成比例线段 4.黄金分割 5.由平行判断成比例线段 6.由平行截线求线段的长或比值 7.相似图形 8.相似多边形 9.相似多边形的性质 强化题型 解答题7题 知识点 1 线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做线段的比。 线段a、b的比记作。 注意： 1 计算前统一长度单位； 2 线段的比是正数，不带单位； 3 线段比有顺序，≠。 知识点 2 成比例线段 四条线段a,b,c,d，若=，称这四条线段为成比例线段。 名称：a、d比例外项；b、c比例内项；d叫做a,b,c的第四比例项。 ⚠成比例线段具有顺序，不能随意调换。 比例中项 若=，则b是a、c的比例中项。 关系式：b2=ac；线段的比例中项只取正值 知识点 3 比例的基本性质及衍生性质 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 4 黄金分割 点P把线段AB分成AP、PB(AP>PB)，满足AP2=AB PB，点P是线段AB的黄金分割点。 黄金比：=0.618 结论：一条线段存在两个黄金分割点。 知识点 5 平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称 “平行线分线段成比例”）。 知识点 6平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 知识点7：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 1 对应角全部相等； 2 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点8：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别： 若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点 9：相似多边形的性质 （1）相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例 （2）相似多边形周长比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识点10高频易错汇总 易错点 错误表现 正确标准 成比例线段 随意调换四条线段顺序 成比例线段严格有序 等比性质 忽略分母和不为 0 直接使用 分母相加不能等于 0 多边形相似判定 只满足角相等 / 只满足边成比例 必须同时满足：对应角相等、对应边成比例 面积比计算 面积比等于相似比 面积比 = 相似比的平方 相似比 忽略前后顺序 图形顺序改变，相似比互为倒数 题型1.比例的性质 【典例】．若，则_________． 【跟踪专练1】若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则___________． 【跟踪专练3】已知（a，b，c，d均不为0），则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型2.比例线段 【典例】已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【跟踪专练1】如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【跟踪专练2】（1）已知，则代数式的值是_____； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是_______． 【跟踪专练3】如图，已知点是正方形的边边上的黄金分割点，且若表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，则的值为（  ） A． B． C． D． 题型3.成比例线段 【典例】若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 【跟踪专练1】下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪专练2】点是线段上的一点，如果，那么的值是________． 【跟踪专练3】下列四组线段中，不成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型4.黄金分割 【典例】在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线），则入弯点到入口的路程______m（结果精确到） 【跟踪专练1】第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为_____________． 【跟踪专练3】黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型5.由平行判断成比例线段 【典例】如图所示，若，则．依据是______． 【跟踪专练1】已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（     ） A．， B．，与不平行 C．， D．，与不平行 题型6.由平行截线求线段的长或比值 【典例】如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 【跟踪专练2】如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【跟踪专练3】如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型7.相似图形 【典例】人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【跟踪专练2】手工课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案分别是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边．如果每个图案中花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内、外边缘各自所围成的几何图形不相似的是（   ） A．B． C． D． 题型8.相似多边形 【典例】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【跟踪专练1】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【跟踪专练2】如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．    【跟踪专练3】如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 题型9.相似多边形的性质 【典例】制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，则________． 【跟踪专练2】在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【跟踪专练3】已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 解答题 1．已知a、b、c满足．求的值． 2．如图所示，已知，且．求的长． 3．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 4．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 5．如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    6．如图，在等腰中，，点，分别是，的中点．点在上，连接，．当时，试判断与的位置关系，并说明理由． 7．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06成比例线段与相似图形暑假预习讲义 ①理解线段的比与成比例线段概念：掌握线段比值计算要求（长度单位统一），会判定四条线段是否成比例，牢记成比例线段具备顺序性，不可随意调换顺序。 ②熟练运用比例核心性质：掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，能完成比例式与等积式互相转化，会借助设k法求解线段长度参数。 ③了解黄金分割基础知识：知晓黄金分割点、黄金比数值含义，能进行简单线段分割计算，明白比例中项的定义与简单应用。 ④认识相似图形本质特征：牢记相似图形核心特点：形状完全相同、大小可不等；全等图形是特殊的相似图形，能辨别生活与几何中的相似图形 。 ⑤掌握相似多边形判定与性质：清楚相似多边形两大判定条件：边数相同、对应角相等、对应边成比例；理解相似比含义，知晓周长比等于相似比。 ⑥梳理章节逻辑铺垫新知：明白比例线段是学习相似三角形的基础，理清线段比例关系和图形相似之间的内在联系。 ⑦规避高频易错点：计算线段比忘记统一单位、忽略成比例线段顺序、判定多边形相似只看边长不验证角度，日常做题刻意留意细节问题。 预习必备 知识梳理 1.线段的比 2.成比例线段 3.比例的基本性质 4.黄金分割 5.平行线分线段成比例的基本事实 6.平行线分线段成比例的推论 7.相似多边形的定义 8.相似比 9.相似多边形的性质 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.比例的性质 2.比例线段 3.成比例线段 4.黄金分割 5.由平行判断成比例线段 6.由平行截线求线段的长或比值 7.相似图形 8.相似多边形 9.相似多边形的性质 强化题型 解答题7题 知识点 1 线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做线段的比。 线段a、b的比记作。 注意： 1 计算前统一长度单位； 2 线段的比是正数，不带单位； 3 线段比有顺序，≠。 知识点 2 成比例线段 四条线段a,b,c,d，若=，称这四条线段为成比例线段。 名称：a、d比例外项；b、c比例内项；d叫做a,b,c的第四比例项。 ⚠成比例线段具有顺序，不能随意调换。 比例中项 若=，则b是a、c的比例中项。 关系式：b2=ac；线段的比例中项只取正值 知识点 3 比例的基本性质及衍生性质 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 4 黄金分割 点P把线段AB分成AP、PB(AP>PB)，满足AP2=AB PB，点P是线段AB的黄金分割点。 黄金比：=0.618 结论：一条线段存在两个黄金分割点。 知识点 5 平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称 “平行线分线段成比例”）。 知识点 6平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 知识点7：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 1 对应角全部相等； 2 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点8：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别： 若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点 9：相似多边形的性质 （1）相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例 （2）相似多边形周长比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识点10高频易错汇总 易错点 错误表现 正确标准 成比例线段 随意调换四条线段顺序 成比例线段严格有序 等比性质 忽略分母和不为 0 直接使用 分母相加不能等于 0 多边形相似判定 只满足角相等 / 只满足边成比例 必须同时满足：对应角相等、对应边成比例 面积比计算 面积比等于相似比 面积比 = 相似比的平方 相似比 忽略前后顺序 图形顺序改变，相似比互为倒数 题型1.比例的性质 【典例】．若，则_________． 【答案】 【详解】解：设，则（）， 则． 【跟踪专练1】若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 【跟踪专练2】若，则___________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，通过设参数表示x和y，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 【跟踪专练3】已知（a，b，c，d均不为0），则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的基本性质与合比性质，通过交叉相乘或比例性质验证选项是否与已知条件等价即可判断 【详解】解：A、交叉相乘得，与已知一致，故A成立； B、交叉相乘得，与已知一致，故B成立； C、交叉相乘得，展开得，两边减得，与已知一致，故C成立； D、交叉相乘得，展开得，∵，∴化简得，故D不成立． 故选：D． 题型2.比例线段 【典例】已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 【跟踪专练1】如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 【跟踪专练2】（1）已知，则代数式的值是_____； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是_______． 【答案】 / 【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比例的性质即可求解； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：（1）∵， ∴，设， ∴， 故答案为：； （2）∵线段，， 设：它们的比例中项是， ∴， ，（线段是正数，负值舍去）． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知点是正方形的边边上的黄金分割点，且若表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形ABCD的边长为a，关键黄金分割点的性质得到和，用a表示出、和的面积，再求比例． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a， ∵点E是AB上的黄金分割点， ∴，则， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 题型3.成比例线段 【典例】若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 【答案】 6 【分析】根据成比例线段的顺序写出比例式，再根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：若线段、、、是成比例线段， ∴ ∵， ∴． 【跟踪专练1】下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． 【跟踪专练2】点是线段上的一点，如果，那么的值是________． 【答案】 【分析】设AB=1，AP=x，则BP=1-x，代入AP2=BP·AB求出x的值，最后代入即可． 【详解】解：设AB=1，AP=x，则BP=1-x， ∵AP2=BP·AB ∴x2=（1-x）·1，即x2+x-1=0，解得x=或x=（舍） ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键． 【跟踪专练3】下列四组线段中，不成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 题型4.黄金分割 【典例】在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线），则入弯点到入口的路程______m（结果精确到） 【答案】 【分析】根据黄金分割比例的定义计算即可． 【详解】解∶ 车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线）， 入弯点到入口的路程 【跟踪专练1】第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 【跟踪专练2】如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为_____________． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 【跟踪专练3】黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 题型5.由平行判断成比例线段 【典例】如图所示，若，则．依据是______． 【答案】平行线分线段成比例定理 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 【跟踪专练1】已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，即，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 【跟踪专练3】如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（     ） A．， B．，与不平行 C．， D．，与不平行 【答案】D 【分析】先由得出，结合为中点求出与的数量关系；再通过计算与的比值，判断与是否平行． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， 若， 则， 但， ∴与不平行． 题型6.由平行截线求线段的长或比值 【典例】如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】由平行线分线段成比例列比例式即可求得答案． 【详解】解：， ， ∴． 【跟踪专练2】如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练3】如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型7.相似图形 【典例】人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不相同，不符合相似定义，符合题意； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不同，符合相似定义，不符合题意． 【跟踪专练1】《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（   ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义． 根据相似变换进行求解即可． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 【跟踪专练2】手工课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案分别是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边．如果每个图案中花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内、外边缘各自所围成的几何图形不相似的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求的答案． 【详解】解：A、形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合题意； B、形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故B选项不符合题意； C、形状相同，对应边成比例，符合相似形的定义，故C选项不符合题意； D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似图形． 题型8.相似多边形 【典例】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．    【答案】= 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∴， ∴ 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可． 【跟踪专练3】如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 题型9.相似多边形的性质 【典例】制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质可得扩大后版面面积为原来的倍，即可求解． 【详解】解：长方形版面边长均扩大为原来的2倍，则扩大后长方形与原长方形相似， ∴扩大后版面面积为原来的倍， 原来的制作费用300元，则扩大后付制作费用为（元）． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，则________． 【答案】 20 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 【跟踪专练2】在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 【跟踪专练3】已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 解答题 1．已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 2．如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 3．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 4．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 5．如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，是的中点，得到，再证，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 6．如图，在等腰中，，点，分别是，的中点．点在上，连接，．当时，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】， 理由如下： 点是边中点， ， ∵， ， ， 点是的中点 是等腰三角形，， ． 【分析】根据平行线分线段成比例得出，确定点是的中点，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】略 7．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $