专题04一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题04一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 ① 辨识方程概念：掌握一元二次方程定义，牢记三个核心条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程；熟记一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能准确区分二次项、一次项、常数项，明确二次项系数不能为0。 ② 理解方程的根：知晓能使方程左右两边相等的未知数取值即为方程的解，可代入数值检验根的正确性。 ③ 掌握四类解法：熟练运用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求解一元二次方程，能依据方程结构挑选简便解法。 ④ 熟记求根公式：牢记求根公式推导过程与完整式子，理解判别式Δ=b2-4ac的作用，会通过判别式判断方程实数根的个数。 ⑤ 梳理配方思路：吃透配方法核心步骤，明白配方目的是将方程化为完全平方式，为后续二次函数学习铺垫基础。 ⑥ 规避高频易错点：整理忽略a≠0、配方时常数项变换出错、套用公式符号混淆等问题，逐步提升方程计算准确度与选择最优解法的能力。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程相关概念 2.一元二次方程一般形式 3. 一元二次方程的四种解法 4.四种解法对比表 5.韦达定理 6.两根代数式恒等变形 7.高频易错点汇总 8.解题通用选择思路 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.由一元二次方程定义求参数 3.化成一元二次方程一般式 4.一元二次方程解的判定 5.由一元二次方程的解求参数 6.直接开平方法 7.因式分解法 8.配方法 9.配方法的应用 10.公式法解一元二次方程 11.换元法解一元二次方程 12.解分式方程 13.由判别式判断方程根的情况 14.由方程根的情况求参数 15.一元二次方程根与系数的关系 加强题 解答题7题 知识点01:一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 3.一元一次、一元二次方程对比表 方程类型 一般形式 未知数最高次数 二次项系数要求 一元一次方程 ax+b=0(a≠0) 1 无二次项 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 a≠0 知识点02 一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数式 名称 对应系数 要求 ax2 二次项 a (a≠0)，若(a=0)则变为一次方程 bx 一次项 b 可为 0 c 常数项 c 可为 0 整理一般式步骤 移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为 0；按降幂顺序排列x2、x、常数。 例：2x(x-1)=3 展开：2x2-2x=3，移项得标准式：2x2-2x-3=0，a=2,b=-2,c=-3 特殊形式 知识点03：一元二次方程的四种解法（核心） 解法一：直接开平方法 适用形式 x2=p(p0）； (mx+n)2=p (p0,m≠0) 解法：两边同时开平方 mx+n= ⚠注意： ① p<0时，方程无实数根； ②开平方必须带上正负号，容易漏根。 解法二：因式分解法（优先选用） 核心依据：A B=0，则A=0或B=0， 适用：方程左边容易因式分解，右边等于 0 解题步骤： （1）移项，把方程整理为：左边因式，右边=0}\) （2）将左边分解成两个一次因式乘积； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一元一次方程，得到两根。 常用分解方式：提公因式法、平方差、完全平方公式。 解法三：配方法 适用：所有一元二次方程，推导求根公式工具 步骤以ax2+bx+c=0(a≠0)为例 （1）移项：常数项移到等号右侧 （2）化二次项系数为 1：方程两边同除以a （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 （4）左侧写成完全平方式(x+m)2=n； （5）直接开平方法求解。 ⚠关键口诀：系数化 1，移常数，两边同加一次项系数一半平方 解法四：公式法（万能解法） 先把方程整理成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)\ 求根公式： (b2-4ac0) 判别式：Δ=b2-4ac Δ取值 根的情况 Δ>0 两个不相等实数根 Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 知识点04：四种解法对比选择表格 解法 适用方程特征 优点 局限性 优先顺序 因式分解法 左边易分解，右边为 0 计算最快，运算简便 无法因式分解时不能使用 1 直接开平方法 形如(mx+n)2=p 步骤少 适用题型范围窄 2 公式法 全部一元二次方程 万能通用，无需变形 计算量大，容易计算出错 4 配方法 全部一元二次方程；用于求最值、推导公式 基础方法，代数重要思想 步骤繁琐，日常解方程少用 3 知识点05:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 4.韦达定理三大应用场景 (1)已知方程，不解方程，求两根代数式的值； (2)已知方程两根，构造一元二次方程； (3)已知一根，快速求出另一根与参数。 ⚠️重中之重易错前提： 使用韦达定理之前，必须保证Δ0！ 很多题目含参数，求出参数后，要带回检验方程是否存在实数根。 知识点06:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点07：高频易错汇总表 易错知识 典型错误 正确标准 一元二次方程判定 忽略a≠0 二次项含参数，必须注明a≠0 一般形式找系数 未整理成标准式直接取值 先移项，右侧化为 0，带上符号确定a、b、c 直接开平方法漏根 只写出正根 x2=p(p>0)有两个互为相反数的根 配方法出错 二次项系数不为 1 直接配方 先将二次项系数化为 1 再配方 公式法符号出错 代入b遗漏负号 a、b、c连同正负号整体代入 判别式忽略 直接套用求根公式不判断Δ Δ<0无实数根 韦达定理乱用 不检验Δ0直接使用 存在实数根才能使用根与系数关系 知识点08：解题通用选择思路 1.能写成平方形式 → 直接开平方法； 2.移项后左边可以因式分解 → 因式分解法（首选）； 3.不能分解、结构简单 → 配方法； 4.以上都不方便 → 使用公式法； 5.涉及两根和、两根积相关求值 → 优先韦达定理 题型1.一元二次方程的定义 【典例】一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练1】下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 题型2.由一元二次方程定义求参数 【典例】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【跟踪专练1】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【跟踪专练2】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【跟踪专练3】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 题型3.化成一元二次方程一般式 【典例】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型4.一元二次方程解的判定 【典例】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型5.由一元二次方程的解求参数 【典例】已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【跟踪专练2】若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【跟踪专练3】若、是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 题型6.直接开平方法 【典例】方程的解是_____． 【跟踪专练1】已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【跟踪专练2】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【跟踪专练3】若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 题型7.因式分解法 【典例】一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【跟踪专练2】将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【跟踪专练3】已知三个实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型8.配方法 【典例】用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【跟踪专练1】小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 题型9.配方法的应用 【典例】若，则代数式的值为__________． 【跟踪专练1】将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【跟踪专练2】若，当________时，的最大值是________． 【跟踪专练3】一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 题型10.公式法解一元二次方程 【典例】一元二次方程的根的判别式的值为________． 【跟踪专练1】用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪专练2】一元二次方程的根为______． 【跟踪专练3】解方程时，确定方程有实数根后，由求根公式得（    ） A． B． C． D． 题型11.换元法解一元二次方程 【典例】若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若实数，满足，则的值为________． 【跟踪专练3】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型12.解分式方程 【典例】方程的解是___________ 【跟踪专练1】解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分式方程的解为__________． 题型13.由判别式判断方程根的情况 【典例】一元二次方程的判别式的值为___________． 【跟踪专练1】下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 题型14.由方程根的情况求参数 【典例】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【跟踪专练3】嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 题型15.一元二次方程根与系数的关系 【典例】一元二次方程的两根为，，则______． 【跟踪专练1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【跟踪专练3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2．解分式方程：． 3．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 4．设是实数，关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 5．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一元二次方程的概念及解法暑假预习讲义 ① 辨识方程概念：掌握一元二次方程定义，牢记三个核心条件：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程；熟记一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能准确区分二次项、一次项、常数项，明确二次项系数不能为0。 ② 理解方程的根：知晓能使方程左右两边相等的未知数取值即为方程的解，可代入数值检验根的正确性。 ③ 掌握四类解法：熟练运用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求解一元二次方程，能依据方程结构挑选简便解法。 ④ 熟记求根公式：牢记求根公式推导过程与完整式子，理解判别式Δ=b2-4ac的作用，会通过判别式判断方程实数根的个数。 ⑤ 梳理配方思路：吃透配方法核心步骤，明白配方目的是将方程化为完全平方式，为后续二次函数学习铺垫基础。 ⑥ 规避高频易错点：整理忽略a≠0、配方时常数项变换出错、套用公式符号混淆等问题，逐步提升方程计算准确度与选择最优解法的能力。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程相关概念 2.一元二次方程一般形式 3. 一元二次方程的四种解法 4.四种解法对比表 5.韦达定理 6.两根代数式恒等变形 7.高频易错点汇总 8.解题通用选择思路 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.由一元二次方程定义求参数 3.化成一元二次方程一般式 4.一元二次方程解的判定 5.由一元二次方程的解求参数 6.直接开平方法 7.因式分解法 8.配方法 9.配方法的应用 10.公式法解一元二次方程 11.换元法解一元二次方程 12.解分式方程 13.由判别式判断方程根的情况 14.由方程根的情况求参数 15.一元二次方程根与系数的关系 加强题 解答题7题 知识点01:一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 3.一元一次、一元二次方程对比表 方程类型 一般形式 未知数最高次数 二次项系数要求 一元一次方程 ax+b=0(a≠0) 1 无二次项 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 a≠0 知识点02 一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数式 名称 对应系数 要求 ax2 二次项 a (a≠0)，若(a=0)则变为一次方程 bx 一次项 b 可为 0 c 常数项 c 可为 0 整理一般式步骤 移项，把所有项移到等式左侧，右侧化为 0；按降幂顺序排列x2、x、常数。 例：2x(x-1)=3 展开：2x2-2x=3，移项得标准式：2x2-2x-3=0，a=2,b=-2,c=-3 特殊形式 知识点03：一元二次方程的四种解法（核心） 解法一：直接开平方法 适用形式 x2=p(p0）； (mx+n)2=p (p0,m≠0) 解法：两边同时开平方 mx+n= ⚠注意： ① p<0时，方程无实数根； ②开平方必须带上正负号，容易漏根。 解法二：因式分解法（优先选用） 核心依据：A B=0，则A=0或B=0， 适用：方程左边容易因式分解，右边等于 0 解题步骤： （1）移项，把方程整理为：左边因式，右边=0}\) （2）将左边分解成两个一次因式乘积； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一元一次方程，得到两根。 常用分解方式：提公因式法、平方差、完全平方公式。 解法三：配方法 适用：所有一元二次方程，推导求根公式工具 步骤以ax2+bx+c=0(a≠0)为例 （1）移项：常数项移到等号右侧 （2）化二次项系数为 1：方程两边同除以a （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 （4）左侧写成完全平方式(x+m)2=n； （5）直接开平方法求解。 ⚠关键口诀：系数化 1，移常数，两边同加一次项系数一半平方 解法四：公式法（万能解法） 先把方程整理成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)\ 求根公式： (b2-4ac0) 判别式：Δ=b2-4ac Δ取值 根的情况 Δ>0 两个不相等实数根 Δ=0 两个相等实数根 x1=x2=- Δ<0 无实数根 知识点04：四种解法对比选择表格 解法 适用方程特征 优点 局限性 优先顺序 因式分解法 左边易分解，右边为 0 计算最快，运算简便 无法因式分解时不能使用 1 直接开平方法 形如(mx+n)2=p 步骤少 适用题型范围窄 2 公式法 全部一元二次方程 万能通用，无需变形 计算量大，容易计算出错 4 配方法 全部一元二次方程；用于求最值、推导公式 基础方法，代数重要思想 步骤繁琐，日常解方程少用 3 知识点05:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 4.韦达定理三大应用场景 (1)已知方程，不解方程，求两根代数式的值； (2)已知方程两根，构造一元二次方程； (3)已知一根，快速求出另一根与参数。 ⚠️重中之重易错前提： 使用韦达定理之前，必须保证Δ0！ 很多题目含参数，求出参数后，要带回检验方程是否存在实数根。 知识点06:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点07：高频易错汇总表 易错知识 典型错误 正确标准 一元二次方程判定 忽略a≠0 二次项含参数，必须注明a≠0 一般形式找系数 未整理成标准式直接取值 先移项，右侧化为 0，带上符号确定a、b、c 直接开平方法漏根 只写出正根 x2=p(p>0)有两个互为相反数的根 配方法出错 二次项系数不为 1 直接配方 先将二次项系数化为 1 再配方 公式法符号出错 代入b遗漏负号 a、b、c连同正负号整体代入 判别式忽略 直接套用求根公式不判断Δ Δ<0无实数根 韦达定理乱用 不检验Δ0直接使用 存在实数根才能使用根与系数关系 知识点08：解题通用选择思路 1.能写成平方形式 → 直接开平方法； 2.移项后左边可以因式分解 → 因式分解法（首选）； 3.不能分解、结构简单 → 配方法； 4.以上都不方便 → 使用公式法； 5.涉及两根和、两根积相关求值 → 优先韦达定理 题型1.一元二次方程的定义 【典例】一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 【跟踪专练1】下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 【跟踪专练2】下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 题型2.由一元二次方程定义求参数 【典例】若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 【跟踪专练1】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 【跟踪专练2】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【跟踪专练3】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 题型3.化成一元二次方程一般式 【典例】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 【跟踪专练1】把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【跟踪专练2】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型4.一元二次方程解的判定 【典例】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【跟踪专练1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【跟踪专练2】关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 题型5.由一元二次方程的解求参数 【典例】已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 【跟踪专练2】若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 【跟踪专练3】若、是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出，，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴ 故选：C． 题型6.直接开平方法 【典例】方程的解是_____． 【答案】， 【分析】此题考查解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程 【详解】方程 移项得 ， 两边开平方得 ， 故答案为： ， 【跟踪专练1】已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 【跟踪专练2】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【跟踪专练3】若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 题型7.因式分解法 【典例】一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 【跟踪专练1】方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 【跟踪专练2】将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 【跟踪专练3】已知三个实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先消去，整理等式得到，结合得到的值，再将和用表示后代入化简后判断符号即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得：， 因式分解得，， ∵，即， ∴，得， 将代入得， 计算， ， ∵， ∴， ∴， 即． 题型8.配方法 【典例】用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 【跟踪专练1】小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 【跟踪专练2】一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握一元二次方程的配方是解题的关键．根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， 故， 即， 故选B． 【跟踪专练3】小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型9.配方法的应用 【典例】若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 【跟踪专练1】将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 【跟踪专练2】若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【跟踪专练3】一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 题型10.公式法解一元二次方程 【典例】一元二次方程的根的判别式的值为________． 【答案】 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 【跟踪专练1】用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 【跟踪专练2】一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式，再利用求根公式 求解即可． 【详解】解： 移项，得 根的判别式 ∴ 即，． 【跟踪专练3】解方程时，确定方程有实数根后，由求根公式得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，先由方程的一般式得出的值，再求出根的判别式的值，最后代入求根公式计算即可，掌握求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 题型11.换元法解一元二次方程 【典例】若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由题意知或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，3， 一元二次方程中，或， 则关于的一元二次方程中，或， 解得，， 故选：C． 【跟踪专练2】若实数，满足，则的值为________． 【答案】8 【分析】本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 【跟踪专练3】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 题型12.解分式方程 【典例】方程的解是___________ 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，不是分式方程的解， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 【跟踪专练1】解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 【跟踪专练2】分式方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘公分母，得， 整理得， 因式分解得， 解得 或 ， 检验：当时，，故是增根，舍去； 当时，，满足方程要求； 因此原分式方程的解为． 题型13.由判别式判断方程根的情况 【典例】一元二次方程的判别式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 根据根的判别式公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 【跟踪专练2】已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 题型14.由方程根的情况求参数 【典例】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】1 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入对应系数计算即可求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， 因为方程有两个相等的实数根，所以， 代入系数得， 化简得， 解得． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 【跟踪专练3】嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 题型15.一元二次方程根与系数的关系 【典例】一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 解答题 1．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)方程没有实数根 (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法（直接开平方法、因式分解法、公式法）及判别式的应用，解题的关键是根据方程的具体形式选择恰当的解法，熟练掌握各解法步骤及判别式与根的关系． （1）方程为平方差形式，先移项得，再直接开平方即可求出两根； （2）方程可选择配方法求解； （3）方程，先确定二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式，根据判断方程无实数根； （4）方程，先移项将右边化为0，变形为，再提取公因式进行因式分解，进而求解． 【详解】（1）解： ， ， ∴，； （2）解：配方得：． , , ∴，． （3）解：， 这里，， ， ∴方程没有实数根， （4）解：， ， ， ∴，． 2．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 3．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）9或；（2）1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，完全平方公式，幂的运算，掌握通过换元将复杂方程转化为简单方程，利用整体思想简化计算是解题的关键． （1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解求解； （2）设，将原方程转化为关于的完全平方式，求解后计算幂的值． 【详解】解：（1）设， 则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 的值为9或． （2）根据题意，设， 代入原方程，得，即， 解得，即， ． 4．设是实数，关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用根的判别式判断即可； （2）首先求出方程的两根，然后根据两根都大于求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程 ∴ ∴方程总有实数根； （2）解：∵ ∴ ∴或 解得， ∵方程的两根都大于， ∴， 解得． 5．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $