专题03二次根式的加减暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题03二次根式的加减暑假预习讲义 ① 辨别同类二次根式：会先将根式化为最简形式，准确判断同类二次根式，清楚只有同类二次根式才可以合并。 ② 掌握加减运算步骤：牢记二次根式加减流程：化简根式→寻找同类根式→合并同类根式，非同类根式不能合并。 ③ 熟练根式混合计算：能够结合之前乘除法则，完成二次根式四则混合运算，遵循整式运算顺序。 ④ 类比整式运算理解算理：对比整式合并同类项知识，弄懂二次根式合并本质，方便记忆解题规律。 ⑤ 规避常见易错问题：不经化简直接合并根式、胡乱合并非同类二次根式、化简不彻底；养成规范书写步骤的习惯。 ⑥ 提升综合运算能力：连贯运用二次根式全部性质，夯实根式整套计算基础。 预习必备 知识梳理 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算法则 3.二次根式的混合运算 4.同类项 vs 同类二次根式 5.二次根式四则运算规则汇总 6.分母有理化拓展 7.高频易错点汇总 8.标准解题流程 常考题型 精讲精练 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算 3.二次根式的混合运算 4.由字母的值,化简求值 5.已知条件式.化简求值 6.二次根式的大小比较 7.二次根式的应用 强化题型 解答题5题 知识点 01 同类二次根式 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 ⚠️关键步骤：必须先化为最简二次根式，再判断！ ✅举例： =2，=3，化简后被开方数都是 3，与是同类二次根式。 ❌误区：不能直接观察原式根号内数字，未经化简无法判定。 2.同类二次根式辨析要点 （1）只看化简后的被开方数，根号外系数不作判定依据； （2）同类二次根式可以合并；非同类二次根式不能直接合并。 知识点 2 二次根式的加减运算法则 运算步骤（三步法，必考） 1.化：把所有二次根式化成最简二次根式； 2.找：找出其中的同类二次根式； 3.合：合并同类二次根式（类似合并同类项，根号部分保留，只将根号外面的系数相加减）。 文字法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。 几何语言示范： ab=(a b)(m0) ⚠️重要提醒：非同类二次根式不能合并，保留原式。 例：+ 无法继续合并化简。 知识点 3 二次根式的混合运算 1. 运算顺序 与实数、整式运算顺序完全一致： 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内部。 2. 运算律适用 整式的加法交换律、结合律、乘法分配律在二次根式运算中依然成立。 3. 乘法公式直接使用（高频考点） 完全平方公式、平方差公式： 常用于含根式式子的化简计算。 知识点4：同类项 vs 同类二次根式 名称 判定条件 合并方法 同类项 所含字母相同，相同字母指数相同 系数相加减，字母部分不变 同类二次根式 化为最简根式后，被开方数相同 系数相加减，根式部分不变 知识点5：二次根式四则运算规则汇总 运算类型 核心规则 注意事项 加减运算 先化简，再合并同类二次根式 只能合并同类根式 乘除运算 注意被开方数取值范围 混合运算 遵循先乘方、再乘除、后加减；合理使用乘法公式 结果必须化为最简二次根式 知识点 6 分母有理化拓展（混合运算常用） 对于形如 的式子，利用平方差分母有理化： 知识点7高频易错点汇总表 易错知识点 典型错误 正确标准 同类二次根式判定 直接根据原始根式内数字判断 先化成最简二次根式再判断 强行合并非同类根式 += 只有同类二次根式能够合并，非同类直接保留 合并时错误改动被开方数 3+2=5 只对根号外系数加减，被开方数保持不变 运算不化简直接合并 原式未化成最简根式就寻找同类根式 第一步必须统一化为最简二次根式 混合运算乱用运算顺序 加减优先于乘除 遵循：乘方→乘除→加减，括号优先 计算结果不化简 最终答案含有非最简根式、分母带根号 计算结果必须是最简二次根式 知识点8标准解题流程（答题规范） 1.观察式子，把每一个二次根式化为最简； 2.识别同类二次根式； 3.去括号，重新分组同类根式； 4.系数相加减，合并同类根式； 5.检查：结果是否为最简二次根式、分母不含根号。 题型1.同类二次根式 【典例】最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】1 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 【跟踪专练1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式的定义，即最简二次根式的被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， 是最简二次根式，且与是同类二次根式， 二者被开方数相等， ， 移项得， 解得． 【跟踪专练2】与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 【跟踪专练3】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 题型2.二次根式的加减运算 【典例】化简________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式完成化简． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故A正确； B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； C、，故C错误； D、与不是同类二次根式，不能合并，故D错误． 【跟踪专练2】计算： ____________________ ． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 题型3.二次根式的混合运算 【典例】计算：_____________． 【答案】5 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练2】计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练3】化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：， 同理可得， 故选B． 题型4.由字母的值,化简求值 【典例】已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练2】已知：，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 【跟踪专练3】已知，，那么的值是（     ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再将变形为含已知量的式子，代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入得：，即， 解得； 又， 将，代入得：． 题型5.已知条件式.化简求值 【典例】已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 【跟踪专练1】已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先将所求多项式因式分解，再把已知的和的值整体代入计算即可求解． 【详解】解： 当，时 原式 【跟踪专练3】如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意可知，， ， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 题型6.二次根式的大小比较 【典例】下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 【跟踪专练1】比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 【详解】解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 【跟踪专练2】比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 【跟踪专练3】如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． 题型7.二次根式的应用 【典例】正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 【详解】解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 【跟踪专练1】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 【跟踪专练3】刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数，若球体积公式（为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数，若（为正整数，为非零整数且最小），则．用此方法计算的近似值为_____（结果保留两位小数）． 【答案】13.68 【分析】根据题目给出的近似方法，先将表示为的形式，确定满足最小的正整数和非零整数，再代入近似公式计算，结果保留两位小数即可. 【详解】解：由题意，对，找出满足条件的和， ∵，， 若取，则，此时， 若取，则，此时，满足最小的条件， 因此，，代入近似公式得： ∴. 解答题 1．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把括号内的式子通分，把除法变为乘法并利用平方差公式因式分解，再约分计算得出最简结果，最后代入的值计算即可得出答案． 【详解】解： 当时，原式 4．现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如题图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)求矩形木板的面积； (2)乙木工想采用如题图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能截出，理由如下： 假设根据乙木工采用的方式知两个相同正方形的面积为是可行的，则正方形的边长为，可知两个相同正方形的总长为． ， 乙木工采用的方式不能截出． 【分析】（1）根据正方形的面积，求出边长，得出矩形木板的长和宽，即可解答； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：根据甲木工采用的方式可知：小正方形的面积为，大正方形的面积为， 小正方形的边长为，大正方形的边长为． 矩形木板的长为，宽为． 矩形木板的面积为． （2）略 5．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分母有理化，即可求解； （2）先求得的值，进而可得，整体代入，降次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）， ， ， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次根式的加减暑假预习讲义 ① 辨别同类二次根式：会先将根式化为最简形式，准确判断同类二次根式，清楚只有同类二次根式才可以合并。 ② 掌握加减运算步骤：牢记二次根式加减流程：化简根式→寻找同类根式→合并同类根式，非同类根式不能合并。 ③ 熟练根式混合计算：能够结合之前乘除法则，完成二次根式四则混合运算，遵循整式运算顺序。 ④ 类比整式运算理解算理：对比整式合并同类项知识，弄懂二次根式合并本质，方便记忆解题规律。 ⑤ 规避常见易错问题：不经化简直接合并根式、胡乱合并非同类二次根式、化简不彻底；养成规范书写步骤的习惯。 ⑥ 提升综合运算能力：连贯运用二次根式全部性质，夯实根式整套计算基础。 预习必备 知识梳理 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算法则 3.二次根式的混合运算 4.同类项 vs 同类二次根式 5.二次根式四则运算规则汇总 6.分母有理化拓展 7.高频易错点汇总 8.标准解题流程 常考题型 精讲精练 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算 3.二次根式的混合运算 4.由字母的值,化简求值 5.已知条件式.化简求值 6.二次根式的大小比较 7.二次根式的应用 强化题型 解答题5题 知识点 01 同类二次根式 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 ⚠️关键步骤：必须先化为最简二次根式，再判断！ ✅举例： =2，=3，化简后被开方数都是 3，与是同类二次根式。 ❌误区：不能直接观察原式根号内数字，未经化简无法判定。 2.同类二次根式辨析要点 （1）只看化简后的被开方数，根号外系数不作判定依据； （2）同类二次根式可以合并；非同类二次根式不能直接合并。 知识点 2 二次根式的加减运算法则 运算步骤（三步法，必考） 1.化：把所有二次根式化成最简二次根式； 2.找：找出其中的同类二次根式； 3.合：合并同类二次根式（类似合并同类项，根号部分保留，只将根号外面的系数相加减）。 文字法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。 几何语言示范： ab=(a b)(m0) ⚠️重要提醒：非同类二次根式不能合并，保留原式。 例：+ 无法继续合并化简。 知识点 3 二次根式的混合运算 1. 运算顺序 与实数、整式运算顺序完全一致： 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内部。 2. 运算律适用 整式的加法交换律、结合律、乘法分配律在二次根式运算中依然成立。 3. 乘法公式直接使用（高频考点） 完全平方公式、平方差公式： 常用于含根式式子的化简计算。 知识点4：同类项 vs 同类二次根式 名称 判定条件 合并方法 同类项 所含字母相同，相同字母指数相同 系数相加减，字母部分不变 同类二次根式 化为最简根式后，被开方数相同 系数相加减，根式部分不变 知识点5：二次根式四则运算规则汇总 运算类型 核心规则 注意事项 加减运算 先化简，再合并同类二次根式 只能合并同类根式 乘除运算 注意被开方数取值范围 混合运算 遵循先乘方、再乘除、后加减；合理使用乘法公式 结果必须化为最简二次根式 知识点 6 分母有理化拓展（混合运算常用） 对于形如 的式子，利用平方差分母有理化： 知识点7高频易错点汇总表 易错知识点 典型错误 正确标准 同类二次根式判定 直接根据原始根式内数字判断 先化成最简二次根式再判断 强行合并非同类根式 += 只有同类二次根式能够合并，非同类直接保留 合并时错误改动被开方数 3+2=5 只对根号外系数加减，被开方数保持不变 运算不化简直接合并 原式未化成最简根式就寻找同类根式 第一步必须统一化为最简二次根式 混合运算乱用运算顺序 加减优先于乘除 遵循：乘方→乘除→加减，括号优先 计算结果不化简 最终答案含有非最简根式、分母带根号 计算结果必须是最简二次根式 知识点8标准解题流程（答题规范） 1.观察式子，把每一个二次根式化为最简； 2.识别同类二次根式； 3.去括号，重新分组同类根式； 4.系数相加减，合并同类根式； 5.检查：结果是否为最简二次根式、分母不含根号。 题型1.同类二次根式 【典例】最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【跟踪专练1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【跟踪专练3】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型2.二次根式的加减运算 【典例】化简________． 【跟踪专练1】下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： ____________________ ． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型3.二次根式的混合运算 【典例】计算：_____________． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【跟踪专练2】计算：_____． 【跟踪专练3】化简：结果是（   ） A．1 B． C． D． 题型4.由字母的值,化简求值 【典例】已知，，则代数式的值等于____________． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知：，，则的值为__________． 【跟踪专练3】已知，，那么的值是（     ） A．4 B．3 C． D． 题型5.已知条件式.化简求值 【典例】已知，则代数式的值为________． 【跟踪专练1】已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，则的值为_____． 【跟踪专练3】如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 题型6.二次根式的大小比较 【典例】下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【跟踪专练3】如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 题型7.二次根式的应用 【典例】正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 【跟踪专练1】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数，若球体积公式（为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数，若（为正整数，为非零整数且最小），则．用此方法计算的近似值为_____（结果保留两位小数）． 解答题 1．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．先化简，再求值：，其中． 4．现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如题图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)求矩形木板的面积； (2)乙木工想采用如题图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 5．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $