专题02二次根式的乘除暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题02二次根式的乘除暑假预习讲义 ① 牢记两大运算法则：熟练掌握积的算术平方根、商的算术平方根公式，分清公式成立的取值前提，能够正向、逆向灵活变形。 ② 掌握根式乘法运算：会套用法则计算二次根式相乘，计算后及时将结果化为最简二次根式。 ③ 掌握根式除法运算：熟练完成二次根式除法计算，学会分母有理化基础方法，去掉分母中的根号。 ④ 规范根式化简步骤：依托乘除性质化简各类数字、含字母二次根式，找准被开方数里的完全平方因数。 ⑤ 区分易混要点：牢记负数不能直接拆分开方，严格遵守被开方数非负要求；杜绝运算顺序颠倒、化简不彻底问题。 ⑥ 夯实计算功底：通过基础练习提升运算准确率，为后续二次根式加减混合运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.二次根式的乘法法则 2.二次根式的除法法则 3.最简二次根式 4.分母有理化 5.乘除法则公式汇总 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.二次根式的乘法 2.积的算术平方根 3.二次根式的除法 4.二次根式的乘除混合运算 5.最简二次根式的判断 6.化为最简二次根式 7.已知最简二次根式求参数 8.分母有理化 强化题型 解答题5题 知识点 1 二次根式的乘法法则 1.乘法法则  (a≥0,b≥0) 文字叙述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 2.乘法法则逆用（积的算术平方根性质，用于化简） (a≥0,b≥0)。 作用：将被开方数中的完全平方因式开方移出根号。 ⚠️重要限制：a0,b0 不可省略，负数不能直接使用该公式。 例：6，式子本身无意义。 拓展推广： = (a≥0,b≥0,c≥0)。 知识点 2 二次根式的除法法则 1.除法法则 （a≥0,b>0） 文字叙述：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 2.除法法则逆用（商的算术平方根性质） =（a≥0，b>0） 作用：化简被开方数为分数形式的二次根式。 ⚠️限制区分：(b>0\)，分母不能等于 0。 知识点 3 最简二次根式（本节核心判定标准） 满足两个条件，缺一不可： 1.被开方数不含分母；（分母不能藏在根号里面） 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ✅举例： 最简：、 非最简：（含开得尽方因数 4）、（根号内含分母） 知识点4:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 1.常见类型及方法 2.化简二次根式通用步骤 1.处理带分数：先化为假分数； 2.利用乘除法则合并根号； 3.分解被开方数，分离完全平方数； 4.将平方因式开方移出根号； 5.分母有理化，最终化为最简二次根式。 知识点5乘除法则公式汇总对比表 运算类型 公式 取值范围 核心用途 乘法运算 (a≥0,b≥0) 根式相乘，合并被开方数 积的算术平方根 (a≥0,b≥0) 拆分根号，化简根式 除法运算 (a≥0,b>0) 根式相除，合并被开方数 商的算术平方根 = (a≥0,b>0) 拆分分式根号，化简 知识点6高频易错点汇总表 易错知识点 典型错误 正确标准 忽略取值范围 =6 被开方数负数时，不能使用乘除公式，式子无意义 化简不彻底 化简结果仍然含有可开方因数 最终结果必须化为最简二次根式 根号内保留分母 化简完毕根号里还有分数 必须分母有理化，根号内不能存在分母 除法范围混淆 使时允许(b=0) 分母b必须大于 0，不能取 0 带分数直接开方 先转化假分数：再化简 题型1.二次根式的乘法 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【跟踪专练2】如果成立，则x的取值范围是____________； 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型2.积的算术平方根 【典例】计算：____________． 【跟踪专练1】下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简的结果为___________． 【跟踪专练3】要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型3.二次根式的除法 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：= __________． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型4.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：2×÷=___________． 【跟踪专练1】计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【跟踪专练2】计算：___________（其中）． 【跟踪专练3】已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 题型5.最简二次根式的判断 【典例】下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式中是最简二次根式的有______个． 【跟踪专练2】下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型6.化为最简二次根式 【典例】当时，化简：_______． 【跟踪专练1】将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型7.已知最简二次根式求参数 【典例】若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【跟踪专练1】若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【跟踪专练2】当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【跟踪专练3】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型8.分母有理化 【典例】已知，则=________． 【跟踪专练1】将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【跟踪专练2】把化去分母中的根号后得______． 【跟踪专练3】下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： 2．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： 4．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 5．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次根式的乘除暑假预习讲义 ① 牢记两大运算法则：熟练掌握积的算术平方根、商的算术平方根公式，分清公式成立的取值前提，能够正向、逆向灵活变形。 ② 掌握根式乘法运算：会套用法则计算二次根式相乘，计算后及时将结果化为最简二次根式。 ③ 掌握根式除法运算：熟练完成二次根式除法计算，学会分母有理化基础方法，去掉分母中的根号。 ④ 规范根式化简步骤：依托乘除性质化简各类数字、含字母二次根式，找准被开方数里的完全平方因数。 ⑤ 区分易混要点：牢记负数不能直接拆分开方，严格遵守被开方数非负要求；杜绝运算顺序颠倒、化简不彻底问题。 ⑥ 夯实计算功底：通过基础练习提升运算准确率，为后续二次根式加减混合运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.二次根式的乘法法则 2.二次根式的除法法则 3.最简二次根式 4.分母有理化 5.乘除法则公式汇总 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.二次根式的乘法 2.积的算术平方根 3.二次根式的除法 4.二次根式的乘除混合运算 5.最简二次根式的判断 6.化为最简二次根式 7.已知最简二次根式求参数 8.分母有理化 强化题型 解答题5题 知识点 1 二次根式的乘法法则 1.乘法法则  (a≥0,b≥0) 文字叙述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 2.乘法法则逆用（积的算术平方根性质，用于化简） (a≥0,b≥0)。 作用：将被开方数中的完全平方因式开方移出根号。 ⚠️重要限制：a0,b0 不可省略，负数不能直接使用该公式。 例：6，式子本身无意义。 拓展推广： = (a≥0,b≥0,c≥0)。 知识点 2 二次根式的除法法则 1.除法法则 （a≥0,b>0） 文字叙述：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 2.除法法则逆用（商的算术平方根性质） =（a≥0，b>0） 作用：化简被开方数为分数形式的二次根式。 ⚠️限制区分：(b>0\)，分母不能等于 0。 知识点 3 最简二次根式（本节核心判定标准） 满足两个条件，缺一不可： 1.被开方数不含分母；（分母不能藏在根号里面） 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ✅举例： 最简：、 非最简：（含开得尽方因数 4）、（根号内含分母） 知识点4:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 1.常见类型及方法 2.化简二次根式通用步骤 1.处理带分数：先化为假分数； 2.利用乘除法则合并根号； 3.分解被开方数，分离完全平方数； 4.将平方因式开方移出根号； 5.分母有理化，最终化为最简二次根式。 知识点5乘除法则公式汇总对比表 运算类型 公式 取值范围 核心用途 乘法运算 (a≥0,b≥0) 根式相乘，合并被开方数 积的算术平方根 (a≥0,b≥0) 拆分根号，化简根式 除法运算 (a≥0,b>0) 根式相除，合并被开方数 商的算术平方根 = (a≥0,b>0) 拆分分式根号，化简 知识点6高频易错点汇总表 易错知识点 典型错误 正确标准 忽略取值范围 =6 被开方数负数时，不能使用乘除公式，式子无意义 化简不彻底 化简结果仍然含有可开方因数 最终结果必须化为最简二次根式 根号内保留分母 化简完毕根号里还有分数 必须分母有理化，根号内不能存在分母 除法范围混淆 使时允许(b=0) 分母b必须大于 0，不能取 0 带分数直接开方 先转化假分数：再化简 题型1.二次根式的乘法 【典例】计算：________． 【答案】 【详解】解： 【跟踪专练1】若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求出计算结果为，则为整数，即是完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 【跟踪专练2】如果成立，则x的取值范围是____________； 【答案】 【分析】结合题意，根据二次根式乘法公式逆运算满足的条件，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】∵成立， ∴， ∴ ∴． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 题型2.积的算术平方根 【典例】计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件逐一判断即可； 【详解】解：A，∵，，∴A错误； B，∵成立的条件是，若或等式不成立，∴B错误； C，∵，，左右两边相等，∴C正确； D，∵在实数范围内负数没有平方根，和无意义，∴D错误． 【跟踪专练2】化简的结果为___________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内，化简后得到结果． 【详解】解：由题意得， ， ∴，即， ∴ ． 【跟踪专练3】要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 题型3.二次根式的除法 【典例】计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和不是同类二次根式，判断A；再根据，计算判断B；然后根据二次根式乘法法则计算判断C；最后根据二次根式除法法则计算判断D即可． 【详解】因为和不是同类二次根式，不能计算，所以A不正确，不符合题意； 因为，所以B正确，符合题意； 因为，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】计算：= __________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法法则以及相关运算逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 题型4.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：2×÷=___________． 【答案】1 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 【跟踪专练1】计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 【跟踪专练2】计算：___________（其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 【跟踪专练3】已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 题型5.最简二次根式的判断 【典例】下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，被开方数含能开得尽方的因数，∴ A不是最简二次根式； ，被开方数含能开得尽方的因数，∴ B不是最简二次根式； 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，∴ C是最简二次根式； 的被开方数含分母，∴ D不是最简二次根式． 【跟踪专练1】下列各式中是最简二次根式的有______个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 【跟踪专练2】下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 题型6.化为最简二次根式 【典例】当时，化简：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合的正负化简二次根式． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 又∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果． 【详解】． 【跟踪专练2】若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 【跟踪专练3】下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 题型7.已知最简二次根式求参数 【典例】若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 【跟踪专练1】若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 【跟踪专练2】当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 【跟踪专练3】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型8.分母有理化 【典例】已知，则=________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练1】将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简和分母有理化，先将进行分母有理化求出a、b，即可求解． 【详解】 ∴ ∴ 故选：A ． 【跟踪专练2】把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 【跟踪专练3】下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质及运算法则，逐一化简各选项判断正误． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、， ∵， ∴，正确，故选项符合题意． 解答题 1．计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先化简二次根式，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2）解：当时，． 5．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $