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2026年上海中考数学
第24题
蓝天初中数学
在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是上一点，连接AB、CD交于点P，且AB=CD.
（1）如图 1，连接OP；
①求证：∠APO=∠CPO；
②如图 2，连接OB交弦CD于点H，若AQ=4，PB=1，PO=HO，求PH的长；
（2）如图 3，连接PQ、AC交于点E，线段AP上有一点F 使得PF=4AF，若PE=QE，∠PEA=∠PFQ，求的值。
图 2
图 1
图 3
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在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是上一点，连接AB、CD交于点P，且AB=CD.
（1）如图 1，连接OP；
①求证：∠APO=∠CPO；
图 1
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图 1
解：（1）① 连接AC，OC.
∵AB=CD，
∴=
∴=
∴∠1=∠2，
∴PA=PC.
又∵OA=OC，
∴PO是AC是垂直平分线，即PM⊥AC.
∴∠APO=∠CPO.
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②如图 2，连接OB交弦CD于点H，若AQ=4，PB=1，PO=HO，求PH的长；
图 2
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解：(1) ② 由①知，∠1=∠2，
∵PO=HO，∴∠2=∠5，∴∠1=∠5，
又∠6=∠5，∴∠1=∠6。
∵∠6=∠3+∠B，∠1=∠4+∠B，
∴∠3=∠4。
又∵∠B=∠B，∴△PBH∽△OBP，
∴ = = .
∵AQ=4，∴OB= AQ=2，设OP=OH=m，∴BH=2−m.
又PB=1，∴= =，解得m= ，PH= .
图 2
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（2）如图 3，连接PQ、AC交于点E，线段AP上有一点F 使得PF=4AF，若PE=QE，∠PEA=∠PFQ，求的值。
图 3
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解：(2) 连结PO，交AC于点K，由①的分析知道PO⊥AC.
∵ ∠1=∠2，∠FPQ=∠EPA，∴ △FPQ∽△EPA，∴ = .
∵ PF=4AF，PE=QE，
∴ 设AF=x，PE=y，则PF=4x，PQ=2y，
于是= ，∴ y2=10x2，y=x.
∵AO=QO, PE=QE，∴K是△APQ的重心，∴AK=2EK.
设EK=m，则AK=2m.
在Rt△APK和Rt△PEK中，由勾股定理，得
PA2−AK2=PK2=PE2−EK2，即(5x)2−(2m)2=y2−m2，得m=x，即EK= x，
∴AE=3m=3x
∴ = =.
图 3
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再 见
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$大家好，今天我们讲解2026年上海中考数学第24题，也就是最后的压轴题。这是题目请按暂停键认真读题分析，然后再做讲解。首先分析第一个大问题中的第一个小问题，我们用两种思路分析这个题。第一种思路看右面的图一考虑到点O是半圆的圆心，连接AC交PO1点M那么是不是可以证明PO是线段AC的垂直平分线呢？如果是，那么自然就可以证出角APO等于角CPO已知条件AB等于CD根据在同圆中相等的弦对的弧相等，那么弧AB等于弧CD2条弧都减去中间的湖BD所以湖AB等于弧BC又根据在同圆中相等的弧对的圆周角相等，所以就是一等于角0.21元等于角二等角对等边，所以PA等于PC所以点P在线段AC的垂直平分线上，再连接CO那么OA等于OC点O到线段AC两个端点的距离相等，所以点O也在线段AC的垂直平分线上，所以PO是线段AC的垂直平分线，pm垂直于ac三角形PAC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，角APO等于角CPO这是第一种思路，看下面的图。第二种思路，ABCD是两条相等的弦，O是圆心，自然会想到垂径定理过点O分别作ABCD的垂线段ONOM根据垂径定理得到AN等于BNDM等于CM如果能证出这两个直角三角形全等，就可以证出这两个角相等了。这两个直角三角形有一条公共的斜边了，证明直角边ON与直角边OM相等。ON在直角三角形OAN中不难想到连接OC那么OM就处在直角三角形OMC中了。OA等于OC，AN等于2分之1AB，CM等于2分之1CD，AB与CD相等，所以AN等于CM这两个直角三角形满足了斜边直角边全等的条件，全等以后ON等于OM那么这两个小直角三角形也满足了斜边直角边全等的条件，全等以后要证的两个角相等就证出来了，这是第一种方法的解答过程。分析第一个大问题中的第二个小问题，看右边的图，AQ等于4，所以OA等于2，OQ等于2，PB等于1，PO等于HO要求的是PH的长。我们看PH在三角形PBH中，并且PB的长等于一，知道另外就是半圆的半径，知道半圆的半径与三角形PBH的边如何建立联系呢？OB等于2，BH等于2减OH如果我们设OH是M那么OP是MBH就是2减M这时发现三角形OPB的三条边，OB是2，OP是MPB是一，而三角形PBAH的三条边PB是一，BH是2减M那么自然会想到这两个三角形是否相似呢？也就是三角形PBH与三角形OBP是否相似呢？他们有一个公共的角B了。为了便于叙述这几个角，我们用数字表示，这个角是角一，这个角是角二，这个角是角三，这个角是角四，这个角是角五，这个角是角六。由已知就是一等于角2. 而已知。条件OP等于OH所以角2又等于角0.55元和角6是对顶角，所以又等于角6。再看角一是三角形POB的外角角一等于角B加角0.46元是三角形BPH的一个外角。那么角六它等于角B加角3，所以角四等于。角3. 还有一个公共角角B等于角B所以这两个三角形就满足了相似的条件，相似以后得到比例式PH比上OP，OP是M等于PB比上OBPB是一，OB是2，又等于BH比BPBH是2减MBP是一。很容易求出M等于2分之3，那么PH等于2分之1，M就等于4分之3。好，求出了PH的长。这是第二个。小问题的解答过程分析第二个大问题看右边的图3，我们把已知条件标注一下，PF等于四倍的AFPE等于QE角PEA等于角PFQ。为了便于叙述，我们把角PFQ用角一表示，角PEA用角二表示。就是角一等于角二要求的是PE与EA的比，PE和EA在三角形PEA中，而角二就在三角形PEA中。又发现角一在三角形PEFQ中，三角形PEO与三角形PFQ有一个公共的角APQ。所以这两个三角形相似三角形PEA相似于三角形PFQ相似以后可以得到比例式，PE比上PF等于PA比上PQ当然还等于EA比上FQ。看右边的图，PE与PQ是2分之1关系，PF与PA是4比5的关系。为了更好的找到他们的关系，可以设FA等于X那么PF就是4X当然PA就是5X了。又可以设PE是Y那么EQ也是YPQ就是2Y了。带到这儿来就可以。得到。Y比上4X等于PA是5X比上PQ2Y进一步得到Y的平方等于10X平方，所有的线段都是正的，得到Y等于根号10X也就是pe等于根号10X分析到这里自然会想到我的EA如何用X表示呢？不要忘了前面我们推出了一个重要的结论，连接PO交AC于点KPO是AC的垂直平分线，这垂直并且AK等于CK仔细观察会发现PK把EA分在两个直角三角形中了。下面这个分析是解题的关键点，O是AQ的中点点，E是PQ的中点。所以点K是三角形PAQ的重心。重心有什么性质呢？三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍，也就是AK等于二倍的EK我们设EK是M那么AK就是2M我们找到M与X的关系，也就找到了EA与X的关系了。在直角三角形PAK中，根据勾股定理，PA的平方减去AK的平方等于PK的平方，也就是4X的平方减去2M的平方等于PK的平方。而在直角三角形PEK中，PK的平方又等于PE的平方减EK的平方，就是Y的平方减M的平方，Y的平方就等于10X的平方，所以等于10X的平方减M的平方可以得到M等于。根号。5X所以EA它是3M就. 等于。三倍的根号5X好了。所以PE比商EA就等于根号10X比上三倍的根号5X结果等于根号2比3。解答这个。问题。的关键有下面几点，一是发现两个三角形相似，二是能够想到设XY未知数，这样更容易找到线段之间的关系。三也是关键中的关键，就是发现K是三角形的重心，并且能够熟练掌握三角形重心的性质。这是第二个问题的解答过程。好，这道题就分析到这里，下次再见。