河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学学科规范化练习（十四）（宏奥A）

**基本信息** 聚焦数列与圆锥曲线核心模块，通过递推数列证明、椭圆离心率范围等问题设计，实现知识综合与思维梯度融合，适配周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|数列通项公式、等差等比性质、圆锥曲线方程|如3题结合等比数列与充分必要条件，考查逻辑推理| |多选题|3/18|双曲线渐近线、等差数列前n项和|13题多角度辨析双曲线几何性质，培养批判性思维| |填空题|4/20|数列递推关系、椭圆离心率|19题结合三角形边角关系求离心率，体现数学应用| |解答题|4/52|数列证明与求和、椭圆与直线位置关系|23题综合椭圆方程、斜率运算及探究性问题，发展数学运算与创新意识|

2027届数学作业规范化练习（十四） (宏奥A卷) 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．16 3．已知等比数列的公比为q，则“”是“，，成等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 5.若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6.已知，是双角线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7.点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 8.若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9．已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．数列满足且，则（   ） A． B． C． D． 11．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（  ）  A． B． C． D． 12．已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（    ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.已知双曲线的方程为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 焦点到其渐近线的距离为 C. 若直线与没有公共点，则或 D. 若直线与仅有一个公共点，则 14.已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为 15．已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16．已知数列的前n项和为，，，则 ． 17．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ． 18.双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为__________. 19.已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为______. 四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 21.本小题分设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 22.本小题分已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 23.本小题分已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 2027届数学作业规范化练习（十四）答案 (宏奥A卷) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C C C B C 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B C D B A 16. 17. 18． 19．   8.【答案】C 【解析】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C 9．【答案】B 【详解】，令，则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，得，所以， ∴，由，解得. 故选：B 10．【答案】C 【详解】令，由题意可得， 所以，所以，又，所以 数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，即 所以，故选：C. 11．【答案】D 【详解】因为，设第三角形的斜边长为，面积为， 由题意可知：，，， 则，，可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以所作的所有三角形的面积和为. 故选：D. 12．【答案】B 【详解】因为，当时，，，. 当时，由及，即，所以， 所以数列是以为首项､1为公差的等差数列，因此，则， ， 又当时，， ， 对于， ， 即，.故选：B. 13.【答案】AC 【解析】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，联立消去得，， 若直线与没有公共点，则，解得或，故C正确； 对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，， 且，解得， 当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点， 综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误.故选：AC 14．【答案】ABD 【详解】对于A，设等差数列的首项和公差为， 所以，化简可得：， 又因为，则，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以数列的前n项和为， 故C错误； 对于D，令，所以数列的前n项和为：，故D正确. 故选：ABD. 15．【答案】BCD 【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即， 则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的； 由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的； 由可得：前项和，故选项C是正确的； 由 ，故选项D是正确的； 方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的；故选：BCD． 16．【答案】 【详解】因为,则,整理得, 又因为则,因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则,所以.故答案为：. 17．【答案】 【详解】因为，，所以， 当时，，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以，解得. 所以实数的取值范围为.故答案为： 18.【答案】 【解析】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P，所以 在中，由直线的斜率为，得，即 由的面积为8，根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，，即， 故，即所以，所以双曲线C的方程为 故答案为： 19.【答案】或 【解析】依题意，，设，则由，得， 因为中，，所以，计算得， 过点作，因为，所以， 所以，点在椭圆上可得， 所以，所以，所以. 故答案：. 20．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即，变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得，所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值，且． 21．【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即，所以，即， 当时，，当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知则 所以数列的前项和为. 22．【答案】(1) (2) 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得；当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以.所以的取值范围为. 23.【答案】（1） （2）①；②，， 【解析】（1）由，解得，所以椭圆E的标准方程为 （2）①设，则，因为，，所以，， 则； ②联立直线与椭圆E的方程，得，消去x，得， 设，，，，则， 因为直线OA，OB的斜率存在，所以，， 又因为点P不在x轴上，所以，，所以直线OA，OB的斜率之和 ， 同理，直线OC，OD的斜率之和， 所以， 因为直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，所以或 当时，结合，解得 联立，解得，所以点P的坐标为 当时，结合，解得或， 联立，解得，所以点P的坐标为 联立，解得所以点P的坐标为 综上，点P的坐标为，， 学科网（北京）股份有限公司 $