河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学学科规范化练习（十三）（宏奥B）

**基本信息** 聚焦数列与圆锥曲线核心内容，通过古代文化情境（如9层塔挂灯）、经典问题（斐波那契数列）及综合应用（轨迹方程与面积计算），考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配周测分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|等差数列、椭圆、抛物线、双曲线|第2题以古代塔灯问题考查等差数列求和，体现文化传承| |多选题|3/18|等差数列性质、斐波那契数列、抛物线几何性质|第14题结合斐波那契数列递推关系，培养创新意识| |填空题|4/20|数列前n项和、椭圆与抛物线综合、距离最值|第17题跨椭圆与抛物线焦点问题，考查数学眼光| |解答题|4/52|等差数列通项与求和、轨迹方程、直线与椭圆综合|21题结合圆与椭圆定义求轨迹及面积，发展推理能力|

2027届数学作业规范化练习（十三） (宏奥B卷) 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．52 C．45 D．72 2．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 3．设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．已知数列中，，则（    ） A． B． C．2 D．3 5．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 6．记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13．等差数列的前项和记为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．前15项和最大 D．从第32项开始， 14．列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 15．设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D．以线段为直径的圆与轴相切 D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16．记为数列的前项和，已知，则 ． 17．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 18．已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 . 19．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为 .       四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20．（本小题12分）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 21．（本小题13分）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M    (1)过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程； (2)求动点M的轨迹方程； (3)设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积． 22．（本小题13分）在直角坐标系中，，，曲线：，过点的直线与交于，两点． (1)求的左顶点坐标； (2)证明：； (3)已知为的焦点，若，求． 23．（本小题14分）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 2027届数学作业规范化练习（十三）答案 (宏奥B卷) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C A C B B 题号 11 12 13 14 15 答案 D A ABC ABD BD 16. 或 17. 18. 2 19． 3．C【详解】由，得，又，所以，等差数列的公差， 即是递减数列，由，得，所以时，， 由，得，所以当时，的最小值为30. 5．A【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得，所以，又，所以， 6．C【详解】由题意，所以当时，，累加得当时，，又当时，也满足，所以，所以. 7．B【详解】由得.设的中点为，连接，， 则，所以，所以，因为，，从而，在直角中，因为直线的斜率为，所以，所以，则，故椭圆的离心率为. 8．B【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即.不妨取，又， 则直线的斜率为，所以直线为， 联立，消去整理得：，解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 9．B【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 10．D【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，又因为，所以，所以四边形为矩形，设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，，又因为为直角三角形，所以，所以，解得，所以， 又因为为直角三角形，，所以，即， 所以，即. 11．D【详解】由题设，则线段的中点为， 由三角形的重心性质可知，，即，解得， 即，将该点代入直线，得，即， 又为线段的中点，则，则， 又为椭圆上的点，， 以上两式相减，得 ，即， ，化简得，即离心率为， 12．A【详解】如图，设，，由双曲线定义可知：，， ，，即；在直角中，，即，解得：，则，；在直角中，，即，即，所以. 13．ABC【详解】依题意等差数列满足，所以 ，所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和最大，所以ABC选项正确． 14．ABD【详解】由题意知： ，故A正确； 对于B，，故B正确；对于C，=  ，故C错误；对于D，由，则 ，故D正确； 15．BD【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A错， 如下图示，其中准线于，则，故， 当且仅当，，共线时，取到最小值，此时为点到准线距离4，故B对；由题意知，抛物线的焦点坐标为，当斜率存在时，设直线的方程为，由.设交点，，则，.依据抛物线的定义得：， .当斜率不存在时，.则的最小值是4.故C错； 由，则中点坐标为，而，故， 所以，以线段为直径的圆与轴相切，故D对. 16．或【详解】由，当时，可得，即， 当时，可得，即：，，所以为首项是1，公差为1的等差数列，所以，所以，当时，所以， 当时，所以，故答案为：或 17．【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即，代入椭圆方程解得，所以，即，所以,.故答案为： 18．2【详解】由题意可得：抛物线的焦点，准线，   设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为，则，可得，当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，故动点到直线和直线的距离之和的最小值是2.故答案为：2 19．【详解】设直线的倾斜角为，其中，由抛物线的性质，可得，，，所以， 则， 因为，所以， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：. 20．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； （2）由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据圆的方程得出圆心和半径，利用已知弦长得出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求出直线方程； （2）根据已知条件，利用椭圆的定义求出动点的方程； （3）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出距离，进而利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长为，设圆心到直线的距离为， 则，而直线过点， 当直线斜率不存在时，直线为，圆心到直线距离， 弦长，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，即， 圆心到直线距离，化简得，无解， 直线的方程为． （2）由垂直平分线的性质可知，， ，， ，， 由椭圆的定义可知，动点M是以为长轴，以为焦距的椭圆， 即， 动点M的方程为：． （3）如图，作出符合题意的图形，    联立直线与曲线方程，得， 设，由韦达定理得， ， 点到直线的距离为， ． 22．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程直接计算即可； （2）分类讨论直线斜率是否为0，根据韦达定理与两点斜率公式化简计算斜率和即可证明； （3）先求得椭圆方程，根据垂直关系确定P点轨迹，联立圆与椭圆方程计算P点横坐标，再由两点距离公式计算得出，结合二倍角公式与诱导公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以可得左顶点坐标为． （2）显然斜率为0时符合题意，下面考虑其不为0时． 记：，，，联立， 得， 于是，， 记斜率为，斜率为， ， 由，在轴异侧可得． （3）此时，：， 取中点，由直角三角形性质可知，在上． 联立，即， 得， 由得，于是， 则， 记，， 于是. 23．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【详解】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $