课时规范练59　分类加法计数原理与分步乘法计数原理专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以分类加法与分步乘法计数原理为核心，通过三级递进训练，系统培养从直接应用到复杂情境分类分步，再到实际问题迁移的数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固组|9题|直接应用两原理，如真分数构成（分类加法）、饮食选择（分步乘法）|从原理概念到简单应用，构建计数基础逻辑| |综合提升组|5题|分类讨论+特殊限制，如三位偶数（个位分类）、区域染色（相邻限制）|原理结合限制条件，形成复杂问题拆解能力| |创新应用组|2题|实际情境建模，如RNA碱基排列（分步乘法）、传球问题（分类分步结合）|原理迁移至跨学科与生活场景，发展应用意识|

课时规范练59　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固组 1.用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中任意一个数作分母,可构成真分数的个数为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 2.(2025广州模拟)某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有(　　) A.48种 B.36种 C.24种 D.12种 3.如图,小明从街道的E处出发,到F处的老年公寓参加志愿者活动,若中途共转向3次,则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是(　　) A.8 B.12 C.16 D.24 4.(2025深圳质检)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种,其相互关系是“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.将五种不同属性的物质任意排成一列,则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为(　　) A.8 B.10 C.15 D.20 5.“回文联”是对联中的一种,既可顺读,也可倒读.比如,一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联:雾锁山头山锁雾,天连水尾水连天.由此定义“回文数”,n为自然数,且n的各位数字反向排列所得自然数n'与n相等,这样的n称为“回文数”,如:1 221,2 413 142.则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有(　　) A.648个 B.720个 C.810个 D.891个 6.由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有(　　) A.20个 B.32个 C.40个 D.52个 7.某学校有东、南、西、北四个校门,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和4名学生要进入校园(不分先后顺序),则他们进入校园的不同方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.48种 D.64种 8.《九章算术》《数书九章》《周髀算经》是中国古代数学著作,甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读,若三人选择的书不全相同,则不同的选法有　　　　种.  9.从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,则不同的挂法种数为　　　　　.(用数字作答)  综合提升组 10.已知甲的车牌尾数为9,他的四位同事的车牌尾数分别为0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为(　　) A.64 B.80 C.96 D.120 11.(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团,则下列说法正确的是(　　) A.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有34种 B.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有43种 C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有24种 D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有33种 12.(2025山西太原质检)如图所示的五个区域中,现有4种颜色可供选择,要求每一个区域只涂1种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法有(　　) A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 13.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.现将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为 (　　) A.180 B.240 C.420 D.480 14.某班一天上午有4节课,每节都需要安排一名教师去上课,现从A,B,C,D,E,F6名教师中安排4人分别上一节课,第一节课只能从A,B两人中安排一人,第四节课只能从A,C两人中安排一人,则不同的安排方案共有　　　　　种.(用数字作答)  创新应用组 15.核糖核酸(缩写为RNA),存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体,RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子,长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据,RNA的碱基主要有4种,分别用A,C,G,U表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,假设某一RNA分子由100个碱基组成,则不同的RNA分子的种数为(　　) A.1004 B.4100 C.2100 D.410 16.足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动,某次传球训练中,教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练,从甲开始传球,等可能地传给另外3人中的1人,接球者再等可能地传给另外3人中的1人,如此一直进行.假设每个球都能被接住,若第4次传球后,球又恰好回到甲脚下,则不同的传球方法为(　　) A.18种 B.21种 C.27种 D.45种 参考答案 1.D　解析当分子为1时,满足条件,共4个;当分子为3时,满足条件,共3个;当分子为5时,满足条件,共2个;当分子为7时,满足条件,共2个.由分类加法计数原理,知构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D. 2.B　解析 由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法; 第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法; 第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法. 根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36种不同的选取方法.故选B. 3.D　解析 由中途共3次转向可以分为两类:第一类,第一次向右转,有3种走法,第二次向上转,有4种走法,第三次向右转,此时有3×4=12种方法;第二类,第一次向上转,有4种走法,第二次向右转,有3种走法,第三次向上转,此时有4×3=12种方法.故总的方法有24种.故选D. 4.B　解析 由题意知,可看作在五个位置排列五个元素,第一个位置有5种排列方法,不妨假设是金,则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放,有2种选择,不妨假设排的是水,则第三个位置只能排木,第四个位置只能排火,第五个位置只能排土,因此,总的排列方法种数为5×2×1×1×1=10.故选B. 5.D　解析根据“回文数”的特点,只需确定前3位即可,最高位即万位有9种排法,千位和百位各有10种排法,根据分步乘法计数原理,共有9×10×10=900种排法,其中各位数字完全相同的共有9种,则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900-9=891种. 6.D　解析按偶数数字在个位分类.个位是2或4时,0不能在百位,十位从余下4个数字中选择,所以没有重复数字的三位偶数的个数有2×4×4=32;个位是0时,百位、十位没有限制,从余下5个数字中选择2个,所以没有重复数字的三位偶数的个数有5×4=20.由分类加法计数原理,知没有重复数字的三位偶数的个数有32+20=52.故选D. 7.D　解析因为学生只能从东门或西门进入校园,所以4名学生进入校园的方式共有24=16种.教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4种.由分步乘法计数原理,他们进入校园的不同方式共有16×4=64(种).故选D. 8.24　解析 若三人选书没有要求,则有33=27种不同的方法. 若三人选择的书完全相同,则有3种不同的方法. 所以三人选择的书不全相同,不同的选法有27-3=24(种). 故答案为24. 9.12　解析第一步,先从4幅画中选1幅放在左边墙上,共有4种挂法;在剩下的3幅画里面选1幅挂右边,共有3种挂法.由分步乘法计数原理,不同的挂法种数为4×3=12. 10.B　解析由题意,从5日至9日,有3天奇数日,2天偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4种不同的选择;第二步,安排奇数日出行,可分为两类:选1天安排甲的车,共有3×2×2=12种不同的选择;不安排甲的车,每天都有2种选择,共有2×2×2=8种不同的选择.由分类加法计数原理,知奇数日出行不同的选择种数为12+8=20.由分步乘法计数原理,不同的用车方案种数为4×20=80.故选B. 11.AC　解析每位同学限报其中一个社团,则第1位同学有3种报法,第2位同学有3种报法,后面的2位同学也有3种报法,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有34种,故A正确,B错误;每个社团限报一个人,则第1个社团有4种选择,第2个社团有3种选择,第3个社团有2种选择,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有4×3×2=24种,故C正确,D错误.故选AC. 12.C　解析 分两种情况: ①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D各有1种,有4×3×2×1=24(种); ②A,C同色,先涂A,C,各有4种,再涂E有3种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48(种). 故不同的涂色方法有24+48=72(种).故选C. 13.C　解析分两步,先将四棱锥一侧面三个顶点染色,然后再分类考虑另外两个顶点的染色数,用分步乘法计数原理可求解.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法;当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法,即当S,A,B染好时,C,D还有7种染法.故不同的染色方法有60×7=420种. 14.36　解析不同的安排方案有两类. 第一类,第一节课安排A,则第四节课只能安排C,第二节课从剩余4人中任选1人,第三节课从剩余3人中任选1人,共有4×3=12种排法; 第二类,第一节课安排B,则第四节课可安排A或C,第二节课从剩余4人中任选1人,第三节课从剩余3人中任选1人,共有2×4×3=24种排法. 由分类加法计数原理,知不同的安排方案有12+24=36种. 15.B　解析由100个碱基组成的长链共有100个位置,从A,C,G,U中任选1个依次填入这100个位置中,每个位置都有4种填充方法.根据分步乘法计数原理,可得不同的RNA分子的种数为4100.故选B. 16.B　解析 根据题意,分为两种情况讨论: ①第一次甲将球传给其余三人,有=3种情况,第二次将球传给甲,第三次甲再传给其余三人,有=3种情况,第四次再将球传给甲,此时共有3×3=9种情况; ②第一次甲将球传给其余三人,有=3种情况, 第二次将球传给甲之外的2人,有=2种情况, 第三次依然将球传给除甲之外的2人,有=2种情况, 第四次再将球传给甲,有1种情况,此时共有3×2×2=12种情况. 由分类加法计数原理,共有9+12=21种不同的传球方式.故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $