暑假专题：综合训练（勾股定理、证明）2026年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理与证明为核心，通过概念辨析、定理应用及综合实践，系统构建“概念-推理-建模”三层解题体系，培养抽象能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-5题|命题真假判断、全等判定条件辨析|从命题定义到全等判定，构建逻辑推理基础| |定理应用|单选6-9、填空13-16|勾股数识别、圆柱展开最短路径、赵爽弦图面积关系|勾股定理从数到形的应用，体现几何直观| |综合实践|解答17-24|网格作图与无理数表示、实际问题建模（台风/梯子）|结合实际情境综合运用，发展应用意识与创新意识|

暑假专题：综合训练（勾股定理、证明）-2025-2026学年八年级数学上册北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．周长相等的两个三角形全等 B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 2．如图，在音符中，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列语句是命题的是（　  　） A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角 4．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 5．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．面积相等的两个三角形全等 C．同旁内角互补 D．作线段 6．下列各组数中是勾股数的一组是（   ） A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．，， 7．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 11．如图，四边形中，，平分，，且．下列判断错误的是（    ）    A． B． C．若，则 D．若，则 12．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 13．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要_______米． 14．如图，如果，那么，其依据是_______．    15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 16．如图，一支的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅笔的粗细不计，笔筒内部底面直径为，内壁高，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是______． 三、解答题 17．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 18．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19．如图，四边形和四边形都是正方形，请在图中再画出一个正方形，使它的面积等于已知的两个正方形的面积之和． 20．教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为： (1)发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； (2)如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______； (3)如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上． 21．如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 22．如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米．如果保持梯子底端位置（点）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 23．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 24．如图，已知于点于点．试说明：．    解：（已知）， （__________）． 同理，． （__________）， 即． （已知） _______（___________）． ∴__________（____________）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题：综合训练（勾股定理、证明）-2025-2026学年八年级数学上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B D B A B A D 题号 11 12 答案 D D 1．B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】A.周长相等的两个三角形不一定全等，周长相等不代表每条边对应相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B.斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，符合题意； C.两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，一角没有说明是夹角还是其它角，故本选项命题是假命题，不符合题意； D.两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，这里三角形的边是否相等不清楚，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．D 【分析】判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误； B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误； C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误； D、 相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确； 故选：D 【点睛】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键． 4．B 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 5．D 【分析】此题考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句，分析各选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题； B、面积相等的两个三角形全等，是命题； C、同旁内角互补，是命题； D、作线段，不是命题． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，即满足 的三个正整数a、b、c称为勾股数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：，因此2，5，6不是一组勾股数，A选项不符合题意； ，因此3、4、5是一组勾股数，B选项符合题意； 0.6和0.8不都是正整数，因此0.6、0.8、1不是一组勾股数，C选项不符合题意； ，因此、、不是一组勾股数，D选项不符合题意； 故选B． 7．A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：A． 当时，满足，但不满足，符合题意；     B． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     C． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     D． ，不满足，，不符合题意． 故选A． 8．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 9．A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 11．D 【分析】此题考查了角平分线，平行线的判定与性质，根据平行线的判定及性质即可解得．解题的关键是利用已知条件求得直线平行． 【详解】∵，， ∴， ∴AB∥CD， ∴A项正确；    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴B项正确； ∵， ∴， ∴， ∴C项正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 而，则与不平行， ∴D项不正确， 故选：D． 12．D 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 13． 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 14．同位角相等，两直线平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行进行推理论证即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 15． 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，当铅笔贴着内壁并垂直于底面放置时，最大，为；当铅笔倾斜放置并与内壁相交时，如图1，，，，此时最小，由勾股定理可求，则，进而可得的范围． 【详解】解：由题意知，当铅笔贴着内壁并垂直于底面放置时，最大，为； 当铅笔倾斜放置并与内壁相交时，如图1，，，，此时最小， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 17．1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 18．(1) (2)风眼离海港最近的距离是 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积公式和勾股定理解决距离及时间问题． （1）通过计算与是否相等，利用勾股定理逆定理判断的度数； （2）过点C作，利用直角三角形面积公式，结合、、的长度求出的长，即风眼离海港C最近的距离； （3）在上找到到C距离为的两点E、，利用勾股定理求出和的长，进而得到的长，再结合台风速度求出影响持续时间． 【详解】（1）因为，所以， 所以是直角三角形，． （2）如图，过点作于点． 因为是直角三角形， 所以， 所以， 所以． 故风眼离海港最近的距离是． （3）如图，为上两点，且． 在中，由勾股定理，得，所以． 同理可得， 所以， 故台风影响该海港持续的时间为． 19．作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理可得，以为边长作正方形，此时，四边形即为所求作的正方形． 【详解】解：如图所示，连接，以为边长作正方形，则四边形即为所求作的正方形． 20．(1) (2) (3) 作图如下： 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数等知识点，利用勾股定理表示出无理数是解题的关键． （）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）由小正方形对角线长为可得，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数； （）根据大正方形的面积为，作边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长， ∴小方格对角线长等于， 故答案为：； （2）解：如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵大正方形的面积是， ∴小长方形的对角线长为， 阴影部分即为面积是的正方形． 21． 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 22． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，分别在两个直角三角形中利用勾股定理分别计算，即可得到答案． 【详解】解：由题得，， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 23．(1)见解析 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． 24．垂直的定义，等量代换，，等量代换，，，内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义得到，推出，得到，由此证得． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 同理，． （等量代换）， 即． （已知） （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $