第5节 力的分解（讲义）物理粤教版必修第一册

本讲义聚焦“力的分解”核心知识点，系统梳理其作为力的合成逆运算遵循平行四边形定则的原理，从定义、多解性条件到按实际效果分解（斜面、尖劈等模型）及正交分解法，构建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于结合斜面上重力分解、尖劈模型等实际情境培养相互作用观念，通过“随学随练”分层练习提升科学思维中的模型建构与推理能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，体现科学探究与问题解决能力的培养。

第三章 相互作用 第5节 力的分解 课标要点 1.知道力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则。 2.理解同一个力可以分解为无数组分力，知道必须给定限制条件才有确定的解。 3.会按力的实际作用效果分解力，掌握斜面上重力的分解及其计算。 4.理解正交分解法，会建立坐标系把矢量运算转化为代数运算，并能解决实际问题。 学习重难点 重点：按实际作用效果分解力；斜面上重力的分解；正交分解法。 难点：力的分解的多解性与解的个数讨论；根据情境判断力的实际作用效果。 知识点一　力的分解及其多解性 1.定义：求一个已知力的分力叫作力的分解。力的分解是力的合成的逆运算。 2.遵循的规律：力的分解同样遵循平行四边形定则——以已知力为平行四边形的对角线，求出两个相邻的边即为两个分力。 3.多解性：从几何关系看，同一条对角线可以作出无数个平行四边形。因此如果没有限制，一个力可以分解为无数组大小和方向都不同的分力。 4.有确定解的常见条件 （1）已知两个分力的方向：有唯一解；（2）已知一个分力的大小和方向：有唯一解；（3）已知一个分力的方向和另一个分力的大小：可能有一解、两解或无解。 5.实际分解的依据：在实际问题中，要根据力产生的实际作用效果来确定两个分力的方向。 特别提醒 1.力的分解不是随意的：脱离实际效果或限制条件谈分解，答案不唯一，没有意义。 2.分力可以比合力大——这与“合力一定大于分力”的直觉相反，是本节最常考的判断。 3.已知一个分力的方向与另一个分力的大小时，要用“以合力末端为圆心、以已知分力大小为半径画圆”的方法数解的个数。 随学随练 1.把一个力分解为两个力时，下列说法正确的是（    ） A．一个分力大小变化，另一个分力大小也一定变化 B．一个分力方向变化，另一个分力方向也一定变化 C．无论如何变化，两个分力不能同时小于这个力的一半 D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力两倍 答案　C 解析　AB．根据三角形定则，如图所示 由图可知，分力大小变化，另一个分力大小可以不变；分力方向变化，另一个分力方向可以不变；故AB错误； C．若两个分力同时小于这个力的一半，当这两个分力方向相同时，合力最大，则有 说明无论如何变化，两个分力不能同时小于这个力的一半，故C正确； D．当两个分力之间夹角接近时，两个分力可以同时都很大，同时大于这个力两倍，故D错误。 故选C。 2.(多选)已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中正确的是(　　) A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的 B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的 C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的 D．此合力可以分解成两个与合力等大的分力 答案　ABD 【分析】合力与分力是等效替代关系，它们之间符合平行四边形定则或三角形定则，从而即可求解． 解析　A、B、根据平行四边形定则可知，如果力的分解唯一的，则以合力F为邻边的平行四边形只有一个，或只能画出一个力三角形，根据以上分析可知，已知一个力的大小和方向或已知两个力的方向，力F的分解是唯一的，故A正确，B正确； C、若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分力可能有两个解，故C错误； D、合力有可能分解成两个与合力等大的分力，此时两个分力夹角为120°，或者合力与两个分力构成等边三角形，故D正确； 故选ABD． 【点睛】在涉及力的分解问题特别是求极值的问题时，用三角形定则比用平行四边形定则更方便灵活． 3.(多选)力的合成和分解在生产和生活中有着重要的作用，下列说法中正确的是（　　） A．高大的桥要建很长的引桥，减小斜面倾角，是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面的分力，有利于汽车爬坡 B．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了外形美观，跟使用功能无关 C．运动员做引体向上（缓慢上升） 动作时，双臂张开很大的角度时要比双臂平行时费力（即需要更大的力） D．将车与树用水平张紧的钢索相连，在钢索中点垂直汽车与树连线方向，必须施加一个大于钢索拉力的力才可能把陷入泥沼的车拉出 答案　AC 解析　A．高大的桥要建很长的引桥，减小斜面倾角，是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面的分力，有利于汽车爬坡，故A正确； B．如果刀刃越薄，更容易切开食物，所以前部和后部厚薄不匀，跟使用功能有关，故B错误； C．双臂张开很大的角度时与双臂竖直平行时比较，合力不变，随着夹角越大，其分力越大，所以双臂张开很大的角度时要比双臂平行时费力，故C正确； D．将车与树用水平张紧的钢索相连，在钢索中点垂直汽车与树连线方向施加一个力，此时有 当较大时，cos较小，F小于F1，即施加的作用力小于钢索拉力，故D错误。 故选AC。 4.关于下列四幅图片的说法，不正确的是（　　） A．甲图中足球对球网的作用力是足球发生形变产生的 B．乙图中重力的分力就是物块对斜面的压力 C．丙图中桌面对书的支持力与书对桌子的压力是一对作用力与反作用力 D．丁图中轮胎上的花纹是为了增大接触面的粗糙程度 答案　B 解析　A．甲图中足球对球网的作用力是足球发生形变产生的，故A正确； B．乙图中重力的分力大小等于物块对斜面的压力，但不是压力，性质不同，故B错误； C．丙图中桌面对书的支持力与书对桌子的压力是一对作用力与反作用力，故C正确； D．丁图中轮胎上的花纹是为了增大接触面的粗糙程度，故D正确。 本题选不正确的，故选B。 知识点二　按实际作用效果分解 1.基本思路：先分析这个力在实际情境中产生了哪两个方向的效果，再沿这两个方向作平行四边形，求出两个分力。 2.斜面上物体的重力：产生两个效果——使物体沿斜面下滑、使物体压紧斜面。设斜面倾角为 α，则沿斜面向下的分力F1＝Gsinα，垂直斜面向下的分力F2＝Gcosα。 3.劈（尖劈）模型：斧头、木楔、凿子、菜刀等，顶角越小，两侧的分力越大——这是“用较小的力产生较大的效果”的道理。 4.三角支架与人字形架：竖直向下的重力沿两杆（或两板）方向分解，夹角越大，两分力越大。 5.用较小的合力产生两个较大的分力：把陷入泥坑的卡车与木桩用钢索拴紧，在钢索中部施加一个较小的垂直于钢索的力，就能在钢索方向产生很大的分力。 特别提醒 1.判断作用效果时，要问自己“这个力使物体在哪两个方向上产生了变化”，而不是凭空选方向。 2.斜面上重力的两个分力都不是物体受到的新的力，它们只是重力的等效替代，受力分析时不能重复计入。 3.尖劈、三角支架、绳索类问题中，“夹角越大分力越大”是同一个几何规律的不同外衣。 随学随练 1.(多选)如图所示，倾角为的斜面上放着重力为的物体，、分别是重力沿着斜面和垂直于斜面的两个分力，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 答案　AD 解析　斜面上物体的重力沿着斜面和垂直于斜面的两个方向分解，根据数学知识可知，。 故选AD。 2.(多选)如图所示，将光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是（　　） A．物体受到重力mg、FN、F1、F2四个力的作用 B．物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用 C．F2是物体对斜面的压力 D．FN、F1、F2三个力的作用效果与力mg、FN两个力的作用效果相同 答案　BD 解析　AB．物体只受重力和支持力两个力，故A错误，B正确； C．物体对斜面的压力的受力物体是斜面，不是物体，而F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，作用在物体上，故C错误； D．F1和F2是重力mg的分力，所以FN、F1和F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果相同，故D正确。 故选BD。 3.马扎属于中国传统手工工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，便于携带。如图所示，马扎放在水平地面上，书包放在两支撑腿等长的马扎上，若之间的夹角减小，则（　　） A．马扎对地面的压力增大，支撑腿受到的压力增大 B．马扎对地面的压力减小，支撑腿受到的压力不变 C．马扎对地面的压力不变，支撑腿受到的压力增大 D．马扎对地面的压力不变，支撑腿受到的压力减小 答案　D 解析　无论马扎两边支撑腿之间的角度如何变化，马扎对地面的压力始终等于书包与马扎的总重力，故马扎对地面的压力不变；由于书包对马扎的压力大小不随马扎两边支撑腿之间的角度变化，设支撑腿受到的压力大小为F，根据力的分解有 可得 可知F随着的减小而减小。 故选D。 4.将完全相同的原木按图（ a ）所示堆放。设原木半径为R，重力为G。若不考虑原木之间的摩擦，最上面三根原木可视作图（ b ）一样的“品”字形。最上面这根原木对其下面两根原木的作用力大小是（　　） A． B． C． D．G 答案　B 解析　最上面这根原木由于重力作用，对其下面两根原木有垂直于接触面的压力，如图所示 由平行四边形定则可得，最上面这根原木对其下面两根原木的作用力大小为 知识点三　力的正交分解 1.定义：把一个力分解为两个相互垂直的分力，这种方法叫作正交分解法。 2.分力的计算：设力F与x轴的夹角为 θ，则Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ。 3.建系原则：一般以物体的运动方向（或将来要研究的方向）为x轴，使尽量多的力落在坐标轴上，需要分解的力尽量少。 4.求合力的步骤：①建立直角坐标系；②把各力分别沿两轴分解；③分别求出x、y方向的合力；④再用勾股定理合成总合力，并由tanθ 定方向。 5.意义：正交分解把矢量运算转化为代数运算，尤其适用于物体受多个力的情况，是处理力学问题最常用的方法。 特别提醒 1.建系时坐标轴的方向可以任选，但选得好能少分解几个力——斜面问题常沿斜面与垂直斜面建系。 2.某个力被分解之后，它本身就不再参与求和，否则会重复计算。 3.θ 是力与坐标轴的夹角，代入sin还是cos取决于它与哪根轴成 θ 角，不要死记公式。 随学随练 1.如图所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，则推力在水平方向的分力为（　　） A．Fsinα B．Fcosα C． D． 答案　B 解析　 画出力的分解图，从图中几何关系可以看出：推力在水平方向的分力 故选B。 2.将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为（　　） A．Fsinθ B．Fcosθ C． D． 答案　A 解析　将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为Fsinθ。 故选A。 3.如图所示，静置于水平面上的长方体木箱，受到与水平面成的拉力F的作用，现将该拉力分解为水平分力和竖直分力，则以下关系正确的是（　　） A． B． C． D． 答案　D 解析　根据平行四边形定则和几何关系可得 所以 故选D。 4.如图所示，一物体受到两个力作用，其中，，与x轴正方向夹角分别为45°，沿y轴负方向，则这两个力的合力大小与方向分别为（    ）    A．20N  方向沿x轴正方向 B．20N  方向沿y轴正方向 C．  方向与x轴正方向夹角为45° D．  方向与x轴负方向夹角为45° 答案　C 解析　正交分解，x轴两个力的合力为 y轴两个力的合力为 沿y轴负方向。故这两个力的合力大小 方向与x轴正方向夹角为45°。 故选C。 知识点四　分解中解的个数的讨论 1.已知合力F和两个分力的方向：以F为对角线沿两方向作平行四边形，有且只有一组解。 2.已知合力F和一个分力F1 的大小与方向：连接F与F1 的末端即得另一个分力，有唯一解。 3.已知合力F、一个分力F1 的方向和另一个分力F2 的大小（设F与F1 方向的夹角为 θ） （1）F2＜Fsinθ 时无解；（2）F2＝Fsinθ 时有一组解（此时F2 垂直于F1，是F2 的最小值）；（3）Fsinθ＜F2＜F时有两组解；（4）F2≥F时有一组解。 4.分力的最小值：当一个分力的方向确定时，另一个分力垂直于它时最小，最小值为F2min＝Fsinθ。 特别提醒 1.讨论解的个数，最直观的做法是画图：以合力末端为圆心、以已知分力大小为半径画圆，看它与已知方向直线的交点个数。 2.“分力最小”这一类问题的答案总是“垂直”，记住这个几何结论能省很多推导。 3.注意区分“分力的最小值”与“合力的最小值”，二者的几何模型完全不同。 随学随练 1.如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F=10N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能的是（ ） （sin37°=0.6，cos37°=0.8） A．4N B．6N C．10N D．100N 答案　A 解析　画出力F的分解图：如图所示：可以看出F2有最小值，最小值为： F2=Fsin37°=10×0.6N=6N 没有最大值，不可能是4N．所以F2的取值范围为：6N到∞． 故选A． 2.将一个已知力F分解为两个力，按下列条件可以得到唯一结果的有（   ） A．已知两个分力的方向（并且不在同一直线上） B．已知两个分力的大小 C．已知一个分力的大小 D．已知一个分力的大小，另一个分力的方向 答案　A 解析　已知两个分力的方向（并且不在同一直线上）可以得到唯一解，A对 已知两个分力的大小（已知一个分力的大小，另一个分力的方向）可能是一个解，两个解或者无解．BD错，已知一个分力的大小可以得到无数组解，C错 3.已知两个共点力的合力F为10 N，分力F1的大小为5 N．则另一个分力F2 A．F2的大小是唯一的 B．F2的大小可以是任意值 C．F2的方向与合力F的方向一定成30角 D．F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30角 答案　D 解析　有两个共点力的合力大小为10N，若其中一个分为大小为5N，另一个分力的大小应在5N≤F≤15N范围，    由图可得F2的方向与合力F的方向的最大夹角为，，即F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30角，故D正确，ABC错误。 故选D。 题型01　按效果分解的常见模型 1.尖劈类（斧头、木楔、凿子、菜刀、针尖）：沿垂直于两侧面的方向分解，顶角 θ 越小，侧向分力越大，公式常写成与sin(θ/2)有关的形式。 2.支架类（三角支架、人字形架、马扎）：把竖直向下的重力沿两杆方向分解，两杆夹角越大，杆中的力越大。 3.绳索类（拉车出泥坑、晾衣绳、斜拉桥）：绳越接近水平（夹角越大），绳中张力越大，这是“小合力产生大分力”的典型应用。 4.解题步骤：读情境找效果 → 沿效果方向作平行四边形 → 用几何关系（直角三角形、等腰三角形）列式求解。 活学活用 1.(多选)图甲为斧头劈开树桩的实例，此过程可简化成图乙中力学模型，斧头截面为等腰三角形，斧锋夹角为θ，斧头受到竖直向下的力F，并处于平衡状态，下列说法正确的有（　　） A．斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大 B．斧锋夹角越大，斧头对木桩的侧向压力越大 C．力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大 D．力F越小，斧头对木桩的侧向压力越大 答案　AC 解析　将力F分解为垂直截面的两个分力，则有 解得 则斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大；施加的力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大。 故选AC。 2.如图所示是千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是（　　） A．此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为2.0×105 N C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大 D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力不变 答案　A 解析　B．由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，故B错误； A．对汽车受力分析，由平衡条件 可得两臂对汽车的支持力均为 由牛顿第三定律可得此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，故A正确； CD．若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力将减小，故CD错误。 故选A。 3.小熊想推动家里的衣橱，但使出了全力也推不动。他便想了如图所示的办法，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站。下列说法中正确的是（　　） A．这是不可能的，因为小熊根本没有用力去推衣橱 B．这有可能的，A板对衣橱的推力有可能大于小熊的重力 C．如果没有推动衣橱，可以把A、B板的夹角适当减小 D．这是不可能的，A板对衣橱的推力不可能大于小熊的重力 答案　B 解析　ABD．开始推不动衣橱，说明推力小于最大静摩擦力；站在人字形架时，重力产生两个效果，分别向左右两侧推墙壁和衣橱，如图所示 重力可以分解成沿A、B两个方向的力，由于底角较小，所以A、B方向的力会很大，A对衣橱的力可分解成水平方向和竖直方向的力，而水平方向的力会远大于小明的重力，可能大于最大静摩擦力，故AD错误，B正确； C．根据力的平行四边形定则，可知重力一定的情况下，A、B夹角越大，沿A、B方向的力会很大，A对衣橱水平方向的分力越大，越容易推动衣橱，所以如果没有推动衣橱，可以把A、B板的夹角适当增大，故C错误。 故选B。 题型02　斜面上重力的分解与计算 1.两个分力：沿斜面向下F1＝Gsinα，垂直斜面向下F2＝Gcosα（α 为斜面倾角）。 2.规律：倾角 α 越大，下滑分力越大、压紧分力越小——盘山公路、大桥引桥修得长而缓，就是为了减小下滑分力。 3.与摩擦联用：物体在斜面上匀速下滑时，Gsinα＝f＝μGcosα，可得 μ＝tanα，这是求动摩擦因数的常用结论。 4.易错警示：把F2 当成物体对斜面的压力（二者大小相等但性质、受力物体不同）；混淆sinα 与cosα。 活学活用 1.如图所示，重力为G的物体静止在倾角为的斜面上．将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，则（  ） A．F1就是物体对斜面的压力 B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为 C．F2就是斜面对物体的弹力 D．物体对斜面的压力是因为斜面发生了形变 答案　B 解析　A．不是物体对斜面的压力，而使物体紧压斜面的力，因为物体对斜面的压力受力物体是斜面，而的受力体是物体，故A错误； B．物体对斜面的压力方向与的方向相同，根据几何知识得到大小为，故B正确； C．是重力沿斜面的一个分效果，不是斜面对物体的弹力，故C错误； D．物体对斜面的压力是因为物体发生了形变，从而对于其接触的物体产生弹力作用，故D错误。 故选B。 【点睛】本题考查受力分析的基本方法以及力的分解的问题，要注意压力与物体紧压斜面的分力尽管方向相同，大小相等，但施力物体与受力物体都不同，分析受力时，只分析物体实际受到的力，分力或合力不单独分析。 2.(多选)如图所示，一个质量为m=2.0kg的物体，放在倾角为=30°的斜面上静止不动，若用竖直向上的力F=5.0N提物体，物体仍静止（g=10m/s2），下述结论正确的是（   ） A．物体受到的合外力减小5.0N B．物体受到的摩擦力减小2.5N C．斜面受到的压力减小5.0N D．物体对斜面的作用力减小5.0N 答案　BD 解析　A．物体受到竖直向上的力等效为物体的重力减小了5N，因此物体依旧能够保持静止，合外力依旧为零，因此A错误； D．物体之前受到重力和斜面的作用力，等效重力减少5N，斜面对物体的作用力减少5N，根据牛顿第三定律得物体对斜面的作用力减小5.0N ，D正确； BC．物体的重力减小5N，沿斜面的分力减小了2.5N，物体受到的摩擦力减小2.5N，垂直斜面的分力减小了，斜面受到的压力减小，因此B正确C错误。 故选BD。 3.如图，为了行车方便和安全，跨江大桥都要造专门长的引桥来减小桥面的坡度，减小坡度的目的是 （　　） A．减小汽车与桥面之间的压力 B．增大汽车沿桥面方向的下滑力 C．减小汽车重力沿桥面方向的分力 D．增大汽车重力沿桥面方向的分力 答案　C 解析　A．设桥面的倾角为，汽车在桥面上运行时对桥面的压力 倾角越小，压力越大，A错误； B．汽车沿桥面方向的下滑力 倾角越小，下滑力越小，B错误； CD．汽车重力沿桥面方向的分力 倾角越小，重力沿桥面方向的分力越小，C正确，D错误。 故选C。 题型03　正交分解法的应用 1.适用场景：物体受三个及以上的力，或力的方向零散不便直接合成时。 2.标准流程：建系（尽量让多个力落在轴上）→ 逐个分解 → 列x、y方向的方程 → 联立求解。 3.水平面上斜拉/斜推的常用结论：斜向上拉时FN＝mg－Fsinθ，斜向下压时FN＝mg＋Fsinθ，水平方向Fcosθ 与摩擦力平衡。 4.易错警示：分解后仍把原力计入求和；θ 角的位置判断错误导致sin、cos互换；忘记压力变化会引起摩擦力变化。 活学活用 1.如图所示，水平地面上质量为2kg的木块向右运动，推力F = 10N，方向与水平方向夹角为37°斜向下。已知sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，木块与地面间的动摩擦因数为0.5，木块受到的摩擦力为（g = 10m/s2）（   ） A．10N B．7N C．6N D．13N 答案　D 解析　由题知木块在推力F = 10N的作用下向右运动，则木块受到的摩擦力为滑动摩擦，则有 f = μFN FN = mg＋Fsin37° 联立解得 f = 13N 故选D。 2.如图所示，小孩与冰车静止在冰面上，大人用F=20N的恒定拉力，使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°，小孩与冰车的总质量m=20kg，冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小孩与冰车所受的支持力； （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力。 答案　（1）188N，方向竖直向上；（2）6.6N，方向水平向右。 解析　（1）小孩与冰车竖直方向合外力为0，小车竖直方向受重力、支持力FN；列出竖直方向力学方程为 FN+Fsin37°-mg=0 代入数据解得支持力为 FN=188N 方向竖直向上。 （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力 方向水平向右。 3.如图所示，一物体受四个力的作用：重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力； (2)物体所受到的合力大小及方向。 答案　(1)竖直方向上，水平方向上；(2)合力大小，方向水平向右。 解析　(1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力 (2)竖直方向上 水平方向上 物体所受到的合力大小 方向水平向右。 题型04　分解中解的个数与分力的最值 1.画圆法：已知合力F与一个分力的方向，另一个分力大小为F2 时，以F的末端为圆心、F2 为半径画圆，圆与已知方向直线的交点个数即解的个数。 2.四种结果：F2＜Fsinθ 无解；F2＝Fsinθ 一解（垂直，最小）；Fsinθ＜F2＜F两解；F2≥F一解。 3.分力最小值：方向确定的那个分力不变时，另一分力垂直于它时最小，Fmin＝Fsinθ。 4.易错警示：漏掉“两解”的情形；把分力最小值当成F与已知方向的夹角的余弦；忽略F2≥F时只有一解。 活学活用 1.(多选)将一个大小为F = 10N有确定方向的力，要把它分解成两个分力，其中已知一个分力与力F成30°角且有确定的方向，则在分解时，另一个分力的大小可能是（   ） A．4.0N B．5.0N C．6.0N D．10.0N 答案　BCD 解析　作出力的分解示意图如图所示 已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为 Fsin30° = 5N 故另一个分力的大小只要大于或等于5N都是可能的。 故选BCD。 2.(多选)现将一个沿水平方向、大小的力分解成两个分力，已知其中一个分力的方向与F的方向成30°角（有确定的方向），下列说法中正确的是（　　） A．另一分力的大小为40N时，有唯一解 B．另一分力的大小为50N时，有唯一解 C．另一分力的大小为60N时，无解 D．另一分力的大小为80N时，有两组解 答案　BD 解析　AB．设方向已知的分力为，如图所示，和能构成矢量三角形，的最小值为 则另一分力的大小为40N时，无解，另一分力的大小为50N时，有唯一解，故A错误，B正确； CD．若，和可构成如图所示的两个矢量三角形，此时有两组解，故C错误，D正确。 故选BD。    3.(多选)已知力F的一个分力F1跟F成角，大小未知，，则另一个分力F2的大小可能是（  ） A． B． C． D． 答案　BCD 解析　已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，F=100N，由平行四边形定则可知，当F2垂直于F1 时候，另一个分力F2最小， ，所以F2一定大于等于50N，即BCD都是可能的． 综上所述本题答案是：BCD 基础通关 1.生活中经常用刀来劈开物体，如图是刀刃的横截面，F是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为，则刀劈物体时对物体侧向推力的大小（　　） A． B． C． D． 答案　C 解析　将力F根据平行四边形定则分解如图 侧向推力，故选C。 2.如图甲是使用菜刀切肉的场景，图乙显示了菜刀刀刃的横截面，是一个顶角很小的等腰三角形。则下列说法错误的是（    ） A．刀把上刻有条纹，目的是增大粗糙程度 B．用磨刀石来使刀刃锋利，是为了增大刀刃对物体的侧向压力 C．若刀背受到向下的力F，则刀刃两侧面的侧向压力大小为 D．骨头卡在刀上，只要提刀（带骨头）用力往刀板上砍，骨头就断了，这里利用了惯性 答案　C 解析　A．刀把上刻条纹目的是增大粗糙程度，增大手与刀把间的摩擦，防止打滑。 故A正确； BC．根据力的作用效果，可把分解如图所示 两侧对被切物体的侧向压力为 显然，磨刀的主要目的是减小刀刃的厚度（或减小顶角），从而在相同压力下增大刀刃对物体的侧向压力，故B正确，C错误； D．刀和骨头一起向下运动，当骨头突然停止，刀因惯性继续运动，导致断裂，故D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 3.如图甲所示是斧子砍进木桩时的示意图，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，若施加竖直向下的力与斧子的重力合计为F，则（　　） A．侧向分力F1、F2大小为 B．F越小，斧头对木桩的侧向压力越大 C．相同的力F，θ越大的斧子，越容易劈开木桩 D．相同的力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩 答案　D 解析　AB．如图所示，将力F进行分解，由几何关系可知 解得 可知，力F越小，侧向分力F1、F2越小，则斧头对木桩的侧向压力越小，故AB错误； CD．由AB选项可知 则施加相同的力F，θ越小，斧头对木桩的侧向压力越大，越容易劈开木桩，故C错误，D正确。 故选D。 4.(多选)一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1面的弹力大小记为F₁，凿子作用于木板2面的力为，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．F₁的大小为 B．F₁和F₂的比值为tanθ C．力F不变，减小θ，可以同时增大F₁和F₂ D．增大力F，F₁和F₂均增大，且F₁和F₂比值也增大 答案　AC 解析　A．将力在木板1、2面分解如图 可得 选项A正确； BC．由图可知 可得F₁和F₂的比值为 力F不变，减小θ，可以同时增大F₁和F₂，选项B错误，C正确； 选项B错误； D．由以上分析可知，增大力F，F₁和F₂均增大，且F₁和F₂比值不变，选项D错误。 故选AC。 5.(多选)图中木楔为等腰三角形，木楔的顶角60°，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则（　　） A．若F=100N时，FN=100N B．若F=100N时，FN100N C．θ一定，若F增大，FN也随之增大 D．若F大小一定，要使FN增大，应该增大θ 答案　AC 解析　AB． F是合力，将F沿垂直两个侧面的方向进行分解，得到两个分力，这两个分力的大小就等于木楔两侧产生的推力，如图所示 由图可知，推力 若F=100N，代入上式，得 故A正确，B错误； C．在θ一定的前提下，由 可知，F越大，FN越大，故C正确； D．由 可知，在F一定的前提下，θ越小，FN越大，故D错误。 故选AC。 6.为确保公共安全，市民遛狗时应牵绳。如图所示，一市民遛狗时匀速前行，已知绳中拉力大小为F、方向与水平面的夹角为θ。则绳中拉力在水平方向的分力大小为（　　） A．Fcosθ B．Fsinθ C． D． 答案　A 解析　根据平行四边形定则，将绳中拉力沿水平方向和竖直方向正交分解，绳中拉力在水平方向的分力大小为 故选A。 7.如图所示，名将汪顺游泳时，某时刻手掌对水的作用力大小为80N，若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力，则水平方向的分力大小为（　　） A． B．40N C． D．80N 答案　A 解析　把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力，则水平方向的分力大小为。 故选A。 8.两位身高相近的同学提着同一桶水从教学楼一楼提到四楼．下图的四种提水的方式，相对而言最省力的是(     ) A． B． C． D． 答案　D 【分析】分析水桶的受力情况，分析平衡条件求解两位同学的手臂受到的拉力大小．由于两人手臂均与竖直方向成θ角，根据对称性可知，两人对水桶的拉力大小相等． 解析　设手臂对水桶的拉力大小为F，设手臂均与竖直方向成θ角，根据对称性可知，两人对水桶的拉力大小相等，则根据平衡条件是：2Fcosθ=G，得，当θ=0°时，F最小，最省力，故D正确，ABC错误． 【点睛】本题要根据对称性得出两人对水桶的拉力大小相等，再由竖直方向力平衡即可求出豆豆的手臂受到的拉力大小． 9.为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是（ ） A．减小上山车辆受到的摩擦力 B．减小上山车辆的重力 C．减小上山车辆对路面的压力 D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力 答案　D 解析　如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压紧斜面的分力F2 则F1＝Gsin θ，F2＝Gcos θ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，同一座山，高度一定，把公路修成盘山公路时，使长度增加，则路面的倾角减小，即减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力，可使行车安全，故D正确，ABC错误． 故选D。 10.如图所示用四种方法悬挂相同的镜框，绳中所受拉力最小的图是（　　） A． B． C． D． 答案　A 解析　镜框受重力和两根绳子的拉力处于平衡，合力等于0，可知两根绳子拉力的合力等于重力，绳子的夹角越小，绳子拉力越小。 故选A。 素养提升 11.如图甲所示为古代榨油场景，图乙是简化原理图，快速撞击木楔便可将油榨出。若木楔可看作顶角为的等腰三角形，撞击木楔的力为，忽略木楔与木块间的摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．木楔挤压木块过程中，撞击木楔的力和木楔的重力是一对平衡力 B．为了提高榨油的效率，通常设计得较小 C．木楔对单侧木块的压力大小为 D．木楔对各个油饼的压力大小相等 答案　B 解析　A．平衡力是作用在同一物体上、大小相等、方向相反、在同一直线上的两个力。撞击木楔的力F和木楔的重力G方向都竖直向下，方向相同，不可能平衡。此外，木楔还受到两侧木块的支持力，因此F和G不是一对平衡力，故A错误； B．对木楔进行受力分析，它受到竖直向下的撞击力F（为简化分析，暂不考虑重力）、两侧木块垂直于接触面的支持力N。由对称性可知，两侧的支持力大小相等。将支持力N分解为竖直方向和水平方向；设木楔顶角为θ，则支持力N与竖直方向的夹角为，与水平方向的夹角为。根据竖直方向的平衡条件有 木楔对单侧木块的水平挤压力 联立解得 要提高榨油效率，即用较小的力F获得较大的挤压力，就需要 的比值大。从上式可知，当顶角θ越小时，越小，就越大。因此为了提高榨油效率，θ通常设计得较小，故B正确； C．根据B项的分析，木楔对单侧木块的压力大小为（忽略重力时），故C错误； D．木楔通过木块挤压油饼，力从木块传递到第一个油饼，再依次向后传递。由于油饼之间以及油饼与榨床之间存在摩擦力，力在传递过程中会因克服摩擦力而逐渐减小。因此，离木块越远的油饼受到的压力越小，各个油饼受到的压力大小不相等，故D错误。 故选B。 12.榫卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为榫眼的凿削操作，图乙为截面图，凿子尖端夹角为θ，在凿子顶部施加竖直向下的力F时，其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2。不计凿子的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．夹角越大，凿子越容易凿入木头 答案　B 解析　ABC．作出力F分解的关系图，如图所示 由几何知识可得，，故AC错误，B正确； D．力F一定时，夹角越大，和均变大，因此和均变小，凿子越不容易凿进木头，故D错误。 故选B。 13.(多选)唐代《耒耜经》记载曲辕犁是一种起土省力的先进耕犁。耕地过程中，牛通过两根耕索拉曲辕犁，如图所示，忽略耕索质量。则（　　） A．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力 B．曲辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力等于犁对耕索的拉力 C．其他条件相同，曲辕犁匀速前进，当两根耕索之间的夹角较大时，牛较省力 D．其他条件相同，曲辕犁匀速前进，当两根耕索之间的夹角较小时，耕索上的力比较小 答案　BD 解析　AB．耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对相互作用力，根据牛顿第三定律可知，无论犁匀速运动还是加速运动，这两个力都是等大反向，故A错误，B正确； CD．两个分力一定时，夹角越小，合力越大，所以其他条件相同，曲辕犁匀速前进，当两根耕索之间的夹角较小时，牛较省力，耕索上的力也比较小，故C错误，D正确。 故选BD。 14.在药物使用时应用到很多物理知识。如图甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角θ很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力，现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力，则（    ） A．针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的 B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小 C．若F一定，增大θ，直侧面推力减小 D．针尖在倾斜侧面对瓶塞的推力 答案　C 解析　AB．将力F分解在垂直于针尖两个侧面的方向上，如图所示 可知针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面对瓶塞的推力大，故AB错误； CD．根据平衡条件结合图中几何关系可得， 若F一定，增大，直侧面推力减小，故C正确，D错误。 故选C。 15.港珠澳大桥是目前全球最长的跨海大桥，风帆造型的九洲航道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每对钢索等长。每一条钢索与塔柱成角，底部穿过桥面固定在桥面下，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小均为F，下列说法正确的是（　　） A．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为 B．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为 C．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力变大 D．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力不变 答案　A 解析　AB．每一条钢索与塔柱成α角，则塔柱两侧每一对钢索对塔柱拉力的合力都沿竖直方向向下，所以8对钢索对塔柱的合力大小等于16条钢索沿竖直向下的分力的和，故 故A正确，B错误； CD．合力一定，分力间的夹角越小，则分力越小，若仅升高塔柱的高度，钢索与塔柱夹角变小，钢索承受的拉力变小，故C错误，D错误。 故选A。 16.汕头海湾大桥跟汕头相伴20多年了，它是典型的单面索斜拉桥（所有钢索均处在同一竖直面内），其索塔与钢索如图所示（　　） A．增加钢索的数量可增大钢索承受的拉力 B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度 C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下 D．钢索很坚固，因此钢索对索塔的拉力大于索塔对钢索的拉力 答案　C 解析　A.钢索对桥身的拉力的合力与桥身重力大小相等、方向相反，由于桥身重力一定，所以增加钢索的数量可减小每根钢索承受的拉力，故A错误； B.合力一定，分力间的夹角越小，则分力越小。为了减小钢索承受的拉力，应该增大索塔的高度，达到减小钢索间夹角的目的，故B错误； C.根据对称性可知，索塔两侧钢索对称分布，拉力大小相等时，水平分力抵消，钢索对索塔的合力竖直向下，故C正确； D. 钢索对索塔的拉力与索塔对钢索的拉力是一对相互作用力，大小相等，故D错误。 故选C。 迁移创新 17.一根绳子能承受的最大拉力是G，现把一重力为G的物体拴在绳的中点，两手靠拢分别握绳的两端，然后慢慢地向左右分开，当绳断时两段绳间夹角应稍大于（     ） A．30 B．60 C．90 D．120° 答案　D 解析　如图对物体进行受力分析知：    根据共点力平衡条件可得，则，当绳要断时的临界状态是，即，由此得，即，所以，D正确． 【点睛】注意特殊角度力的合成，两个等大的两个力互成120°角时，合力与分力的大小相等．记住这个特殊角度力的合成可以将一些问题简化． 18.甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉绳子，方向如图所示，则乙的拉力最小值为（　　） A．500N B．500N C．1000N D．400N 答案　B 解析　要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向，如下图所示 作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为 F=F甲sin 30°=1000×N=500 N 故选B。 19.如图所示，力F作用于物体的O点．现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为(　　)    A．F1＝Fsinα B．F1＝Ftanα C．F1＝F D．F1＜Fsinα 答案　A 解析　由F做的垂线，此时的就是最小值，再由三角形的知识可以求得最小值为，所以A正确，BCD错误．    点睛：本题考查了分力与合力的关系，应用三角形定则可以较简便的解决这一类的问题． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 相互作用 第5节 力的分解 课标要点 1.知道力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则。 2.理解同一个力可以分解为无数组分力，知道必须给定限制条件才有确定的解。 3.会按力的实际作用效果分解力，掌握斜面上重力的分解及其计算。 4.理解正交分解法，会建立坐标系把矢量运算转化为代数运算，并能解决实际问题。 学习重难点 重点：按实际作用效果分解力；斜面上重力的分解；正交分解法。 难点：力的分解的多解性与解的个数讨论；根据情境判断力的实际作用效果。 知识点一　力的分解及其多解性 1.定义：求一个已知力的分力叫作力的分解。力的分解是力的合成的逆运算。 2.遵循的规律：力的分解同样遵循平行四边形定则——以已知力为平行四边形的对角线，求出两个相邻的边即为两个分力。 3.多解性：从几何关系看，同一条对角线可以作出无数个平行四边形。因此如果没有限制，一个力可以分解为无数组大小和方向都不同的分力。 4.有确定解的常见条件 （1）已知两个分力的方向：有唯一解；（2）已知一个分力的大小和方向：有唯一解；（3）已知一个分力的方向和另一个分力的大小：可能有一解、两解或无解。 5.实际分解的依据：在实际问题中，要根据力产生的实际作用效果来确定两个分力的方向。 特别提醒 1.力的分解不是随意的：脱离实际效果或限制条件谈分解，答案不唯一，没有意义。 2.分力可以比合力大——这与“合力一定大于分力”的直觉相反，是本节最常考的判断。 3.已知一个分力的方向与另一个分力的大小时，要用“以合力末端为圆心、以已知分力大小为半径画圆”的方法数解的个数。 随学随练 1.把一个力分解为两个力时，下列说法正确的是（    ） A．一个分力大小变化，另一个分力大小也一定变化 B．一个分力方向变化，另一个分力方向也一定变化 C．无论如何变化，两个分力不能同时小于这个力的一半 D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力两倍 2.(多选)已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中正确的是(　　) A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的 B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的 C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的 D．此合力可以分解成两个与合力等大的分力 3.(多选)力的合成和分解在生产和生活中有着重要的作用，下列说法中正确的是（　　） A．高大的桥要建很长的引桥，减小斜面倾角，是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面的分力，有利于汽车爬坡 B．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了外形美观，跟使用功能无关 C．运动员做引体向上（缓慢上升） 动作时，双臂张开很大的角度时要比双臂平行时费力（即需要更大的力） D．将车与树用水平张紧的钢索相连，在钢索中点垂直汽车与树连线方向，必须施加一个大于钢索拉力的力才可能把陷入泥沼的车拉出 4.关于下列四幅图片的说法，不正确的是（　　） A．甲图中足球对球网的作用力是足球发生形变产生的 B．乙图中重力的分力就是物块对斜面的压力 C．丙图中桌面对书的支持力与书对桌子的压力是一对作用力与反作用力 D．丁图中轮胎上的花纹是为了增大接触面的粗糙程度 知识点二　按实际作用效果分解 1.基本思路：先分析这个力在实际情境中产生了哪两个方向的效果，再沿这两个方向作平行四边形，求出两个分力。 2.斜面上物体的重力：产生两个效果——使物体沿斜面下滑、使物体压紧斜面。设斜面倾角为 α，则沿斜面向下的分力F1＝Gsinα，垂直斜面向下的分力F2＝Gcosα。 3.劈（尖劈）模型：斧头、木楔、凿子、菜刀等，顶角越小，两侧的分力越大——这是“用较小的力产生较大的效果”的道理。 4.三角支架与人字形架：竖直向下的重力沿两杆（或两板）方向分解，夹角越大，两分力越大。 5.用较小的合力产生两个较大的分力：把陷入泥坑的卡车与木桩用钢索拴紧，在钢索中部施加一个较小的垂直于钢索的力，就能在钢索方向产生很大的分力。 特别提醒 1.判断作用效果时，要问自己“这个力使物体在哪两个方向上产生了变化”，而不是凭空选方向。 2.斜面上重力的两个分力都不是物体受到的新的力，它们只是重力的等效替代，受力分析时不能重复计入。 3.尖劈、三角支架、绳索类问题中，“夹角越大分力越大”是同一个几何规律的不同外衣。 随学随练 1.(多选)如图所示，倾角为的斜面上放着重力为的物体，、分别是重力沿着斜面和垂直于斜面的两个分力，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2.(多选)如图所示，将光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是（　　） A．物体受到重力mg、FN、F1、F2四个力的作用 B．物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用 C．F2是物体对斜面的压力 D．FN、F1、F2三个力的作用效果与力mg、FN两个力的作用效果相同 3.马扎属于中国传统手工工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，便于携带。如图所示，马扎放在水平地面上，书包放在两支撑腿等长的马扎上，若之间的夹角减小，则（　　） A．马扎对地面的压力增大，支撑腿受到的压力增大 B．马扎对地面的压力减小，支撑腿受到的压力不变 C．马扎对地面的压力不变，支撑腿受到的压力增大 D．马扎对地面的压力不变，支撑腿受到的压力减小 4.将完全相同的原木按图（ a ）所示堆放。设原木半径为R，重力为G。若不考虑原木之间的摩擦，最上面三根原木可视作图（ b ）一样的“品”字形。最上面这根原木对其下面两根原木的作用力大小是（　　） A． B． C． D．G 知识点三　力的正交分解 1.定义：把一个力分解为两个相互垂直的分力，这种方法叫作正交分解法。 2.分力的计算：设力F与x轴的夹角为 θ，则Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ。 3.建系原则：一般以物体的运动方向（或将来要研究的方向）为x轴，使尽量多的力落在坐标轴上，需要分解的力尽量少。 4.求合力的步骤：①建立直角坐标系；②把各力分别沿两轴分解；③分别求出x、y方向的合力；④再用勾股定理合成总合力，并由tanθ 定方向。 5.意义：正交分解把矢量运算转化为代数运算，尤其适用于物体受多个力的情况，是处理力学问题最常用的方法。 特别提醒 1.建系时坐标轴的方向可以任选，但选得好能少分解几个力——斜面问题常沿斜面与垂直斜面建系。 2.某个力被分解之后，它本身就不再参与求和，否则会重复计算。 3.θ 是力与坐标轴的夹角，代入sin还是cos取决于它与哪根轴成 θ 角，不要死记公式。 随学随练 1.如图所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，则推力在水平方向的分力为（　　） A．Fsinα B．Fcosα C． D． 2.将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为（　　） A．Fsinθ B．Fcosθ C． D． 3.如图所示，静置于水平面上的长方体木箱，受到与水平面成的拉力F的作用，现将该拉力分解为水平分力和竖直分力，则以下关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4.如图所示，一物体受到两个力作用，其中，，与x轴正方向夹角分别为45°，沿y轴负方向，则这两个力的合力大小与方向分别为（    ）    A．20N  方向沿x轴正方向 B．20N  方向沿y轴正方向 C．  方向与x轴正方向夹角为45° D．  方向与x轴负方向夹角为45° 知识点四　分解中解的个数的讨论 1.已知合力F和两个分力的方向：以F为对角线沿两方向作平行四边形，有且只有一组解。 2.已知合力F和一个分力F1 的大小与方向：连接F与F1 的末端即得另一个分力，有唯一解。 3.已知合力F、一个分力F1 的方向和另一个分力F2 的大小（设F与F1 方向的夹角为 θ） （1）F2＜Fsinθ 时无解；（2）F2＝Fsinθ 时有一组解（此时F2 垂直于F1，是F2 的最小值）；（3）Fsinθ＜F2＜F时有两组解；（4）F2≥F时有一组解。 4.分力的最小值：当一个分力的方向确定时，另一个分力垂直于它时最小，最小值为F2min＝Fsinθ。 特别提醒 1.讨论解的个数，最直观的做法是画图：以合力末端为圆心、以已知分力大小为半径画圆，看它与已知方向直线的交点个数。 2.“分力最小”这一类问题的答案总是“垂直”，记住这个几何结论能省很多推导。 3.注意区分“分力的最小值”与“合力的最小值”，二者的几何模型完全不同。 随学随练 1.如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F=10N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能的是（ ） （sin37°=0.6，cos37°=0.8） A．4N B．6N C．10N D．100N 2.将一个已知力F分解为两个力，按下列条件可以得到唯一结果的有（   ） A．已知两个分力的方向（并且不在同一直线上） B．已知两个分力的大小 C．已知一个分力的大小 D．已知一个分力的大小，另一个分力的方向 3.已知两个共点力的合力F为10 N，分力F1的大小为5 N．则另一个分力F2 A．F2的大小是唯一的 B．F2的大小可以是任意值 C．F2的方向与合力F的方向一定成30角 D．F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30角 题型01　按效果分解的常见模型 1.尖劈类（斧头、木楔、凿子、菜刀、针尖）：沿垂直于两侧面的方向分解，顶角 θ 越小，侧向分力越大，公式常写成与sin(θ/2)有关的形式。 2.支架类（三角支架、人字形架、马扎）：把竖直向下的重力沿两杆方向分解，两杆夹角越大，杆中的力越大。 3.绳索类（拉车出泥坑、晾衣绳、斜拉桥）：绳越接近水平（夹角越大），绳中张力越大，这是“小合力产生大分力”的典型应用。 4.解题步骤：读情境找效果 → 沿效果方向作平行四边形 → 用几何关系（直角三角形、等腰三角形）列式求解。 活学活用 1.(多选)图甲为斧头劈开树桩的实例，此过程可简化成图乙中力学模型，斧头截面为等腰三角形，斧锋夹角为θ，斧头受到竖直向下的力F，并处于平衡状态，下列说法正确的有（　　） A．斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大 B．斧锋夹角越大，斧头对木桩的侧向压力越大 C．力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大 D．力F越小，斧头对木桩的侧向压力越大 2.如图所示是千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是（　　） A．此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为2.0×105 N C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大 D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力不变 3.小熊想推动家里的衣橱，但使出了全力也推不动。他便想了如图所示的办法，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站。下列说法中正确的是（　　） A．这是不可能的，因为小熊根本没有用力去推衣橱 B．这有可能的，A板对衣橱的推力有可能大于小熊的重力 C．如果没有推动衣橱，可以把A、B板的夹角适当减小 D．这是不可能的，A板对衣橱的推力不可能大于小熊的重力 题型02　斜面上重力的分解与计算 1.两个分力：沿斜面向下F1＝Gsinα，垂直斜面向下F2＝Gcosα（α 为斜面倾角）。 2.规律：倾角 α 越大，下滑分力越大、压紧分力越小——盘山公路、大桥引桥修得长而缓，就是为了减小下滑分力。 3.与摩擦联用：物体在斜面上匀速下滑时，Gsinα＝f＝μGcosα，可得 μ＝tanα，这是求动摩擦因数的常用结论。 4.易错警示：把F2 当成物体对斜面的压力（二者大小相等但性质、受力物体不同）；混淆sinα 与cosα。 活学活用 1.如图所示，重力为G的物体静止在倾角为的斜面上．将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，则（  ） A．F1就是物体对斜面的压力 B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为 C．F2就是斜面对物体的弹力 D．物体对斜面的压力是因为斜面发生了形变 2.(多选)如图所示，一个质量为m=2.0kg的物体，放在倾角为=30°的斜面上静止不动，若用竖直向上的力F=5.0N提物体，物体仍静止（g=10m/s2），下述结论正确的是（   ） A．物体受到的合外力减小5.0N B．物体受到的摩擦力减小2.5N C．斜面受到的压力减小5.0N D．物体对斜面的作用力减小5.0N 3.如图，为了行车方便和安全，跨江大桥都要造专门长的引桥来减小桥面的坡度，减小坡度的目的是 （　　） A．减小汽车与桥面之间的压力 B．增大汽车沿桥面方向的下滑力 C．减小汽车重力沿桥面方向的分力 D．增大汽车重力沿桥面方向的分力 题型03　正交分解法的应用 1.适用场景：物体受三个及以上的力，或力的方向零散不便直接合成时。 2.标准流程：建系（尽量让多个力落在轴上）→ 逐个分解 → 列x、y方向的方程 → 联立求解。 3.水平面上斜拉/斜推的常用结论：斜向上拉时FN＝mg－Fsinθ，斜向下压时FN＝mg＋Fsinθ，水平方向Fcosθ 与摩擦力平衡。 4.易错警示：分解后仍把原力计入求和；θ 角的位置判断错误导致sin、cos互换；忘记压力变化会引起摩擦力变化。 活学活用 1.如图所示，水平地面上质量为2kg的木块向右运动，推力F = 10N，方向与水平方向夹角为37°斜向下。已知sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，木块与地面间的动摩擦因数为0.5，木块受到的摩擦力为（g = 10m/s2）（   ） A．10N B．7N C．6N D．13N 2.如图所示，小孩与冰车静止在冰面上，大人用F=20N的恒定拉力，使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°，小孩与冰车的总质量m=20kg，冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小孩与冰车所受的支持力； （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力。 3.如图所示，一物体受四个力的作用：重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力； (2)物体所受到的合力大小及方向。 题型04　分解中解的个数与分力的最值 1.画圆法：已知合力F与一个分力的方向，另一个分力大小为F2 时，以F的末端为圆心、F2 为半径画圆，圆与已知方向直线的交点个数即解的个数。 2.四种结果：F2＜Fsinθ 无解；F2＝Fsinθ 一解（垂直，最小）；Fsinθ＜F2＜F两解；F2≥F一解。 3.分力最小值：方向确定的那个分力不变时，另一分力垂直于它时最小，Fmin＝Fsinθ。 4.易错警示：漏掉“两解”的情形；把分力最小值当成F与已知方向的夹角的余弦；忽略F2≥F时只有一解。 活学活用 1.(多选)将一个大小为F = 10N有确定方向的力，要把它分解成两个分力，其中已知一个分力与力F成30°角且有确定的方向，则在分解时，另一个分力的大小可能是（   ） A．4.0N B．5.0N C．6.0N D．10.0N 2.(多选)现将一个沿水平方向、大小的力分解成两个分力，已知其中一个分力的方向与F的方向成30°角（有确定的方向），下列说法中正确的是（　　） A．另一分力的大小为40N时，有唯一解 B．另一分力的大小为50N时，有唯一解 C．另一分力的大小为60N时，无解 D．另一分力的大小为80N时，有两组解 3.(多选)已知力F的一个分力F1跟F成角，大小未知，，则另一个分力F2的大小可能是（  ） A． B． C． D． 基础通关 1.生活中经常用刀来劈开物体，如图是刀刃的横截面，F是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为，则刀劈物体时对物体侧向推力的大小（　　） A． B． C． D． 2.如图甲是使用菜刀切肉的场景，图乙显示了菜刀刀刃的横截面，是一个顶角很小的等腰三角形。则下列说法错误的是（    ） A．刀把上刻有条纹，目的是增大粗糙程度 B．用磨刀石来使刀刃锋利，是为了增大刀刃对物体的侧向压力 C．若刀背受到向下的力F，则刀刃两侧面的侧向压力大小为 D．骨头卡在刀上，只要提刀（带骨头）用力往刀板上砍，骨头就断了，这里利用了惯性 3.如图甲所示是斧子砍进木桩时的示意图，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，若施加竖直向下的力与斧子的重力合计为F，则（　　） A．侧向分力F1、F2大小为 B．F越小，斧头对木桩的侧向压力越大 C．相同的力F，θ越大的斧子，越容易劈开木桩 D．相同的力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩 4.(多选)一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1面的弹力大小记为F₁，凿子作用于木板2面的力为，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．F₁的大小为 B．F₁和F₂的比值为tanθ C．力F不变，减小θ，可以同时增大F₁和F₂ D．增大力F，F₁和F₂均增大，且F₁和F₂比值也增大 5.(多选)图中木楔为等腰三角形，木楔的顶角60°，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则（　　） A．若F=100N时，FN=100N B．若F=100N时，FN100N C．θ一定，若F增大，FN也随之增大 D．若F大小一定，要使FN增大，应该增大θ 6.为确保公共安全，市民遛狗时应牵绳。如图所示，一市民遛狗时匀速前行，已知绳中拉力大小为F、方向与水平面的夹角为θ。则绳中拉力在水平方向的分力大小为（　　） A．Fcosθ B．Fsinθ C． D． 7.如图所示，名将汪顺游泳时，某时刻手掌对水的作用力大小为80N，若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力，则水平方向的分力大小为（　　） A． B．40N C． D．80N 8.两位身高相近的同学提着同一桶水从教学楼一楼提到四楼．下图的四种提水的方式，相对而言最省力的是(     ) A． B． C． D． 9.为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是（ ） A．减小上山车辆受到的摩擦力 B．减小上山车辆的重力 C．减小上山车辆对路面的压力 D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力 10.如图所示用四种方法悬挂相同的镜框，绳中所受拉力最小的图是（　　） A． B． C． D． 素养提升 11.如图甲所示为古代榨油场景，图乙是简化原理图，快速撞击木楔便可将油榨出。若木楔可看作顶角为的等腰三角形，撞击木楔的力为，忽略木楔与木块间的摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．木楔挤压木块过程中，撞击木楔的力和木楔的重力是一对平衡力 B．为了提高榨油的效率，通常设计得较小 C．木楔对单侧木块的压力大小为 D．木楔对各个油饼的压力大小相等 12.榫卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为榫眼的凿削操作，图乙为截面图，凿子尖端夹角为θ，在凿子顶部施加竖直向下的力F时，其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2。不计凿子的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．夹角越大，凿子越容易凿入木头 13.(多选)唐代《耒耜经》记载曲辕犁是一种起土省力的先进耕犁。耕地过程中，牛通过两根耕索拉曲辕犁，如图所示，忽略耕索质量。则（　　） A．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力 B．曲辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力等于犁对耕索的拉力 C．其他条件相同，曲辕犁匀速前进，当两根耕索之间的夹角较大时，牛较省力 D．其他条件相同，曲辕犁匀速前进，当两根耕索之间的夹角较小时，耕索上的力比较小 14.在药物使用时应用到很多物理知识。如图甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角θ很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力，现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力，则（    ） A．针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的 B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小 C．若F一定，增大θ，直侧面推力减小 D．针尖在倾斜侧面对瓶塞的推力 15.港珠澳大桥是目前全球最长的跨海大桥，风帆造型的九洲航道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每对钢索等长。每一条钢索与塔柱成角，底部穿过桥面固定在桥面下，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小均为F，下列说法正确的是（　　） A．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为 B．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为 C．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力变大 D．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力不变 16.汕头海湾大桥跟汕头相伴20多年了，它是典型的单面索斜拉桥（所有钢索均处在同一竖直面内），其索塔与钢索如图所示（　　） A．增加钢索的数量可增大钢索承受的拉力 B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度 C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下 D．钢索很坚固，因此钢索对索塔的拉力大于索塔对钢索的拉力 迁移创新 17.一根绳子能承受的最大拉力是G，现把一重力为G的物体拴在绳的中点，两手靠拢分别握绳的两端，然后慢慢地向左右分开，当绳断时两段绳间夹角应稍大于（     ） A．30 B．60 C．90 D．120° 18.甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉绳子，方向如图所示，则乙的拉力最小值为（　　） A．500N B．500N C．1000N D．400N 19.如图所示，力F作用于物体的O点．现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为(　　)    A．F1＝Fsinα B．F1＝Ftanα C．F1＝F D．F1＜Fsinα 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $