专题二 第10讲 幂函数与二次函数课件—2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数与二次函数”专题，依据高考评价体系梳理了幂函数概念及图象性质、二次函数解析式与闭区间最值等核心考点，通过课标要求对接考查维度，归纳出幂函数解析式求法、二次函数图象与系数关系判断等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧提炼+素养培养”，含2024山东一模等模拟题，如二次函数最值问题中总结“轴动区间动分类讨论”法，培养数学思维的推理能力。规律技巧模块助学生掌握“指大图低”等答题策略，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

专题2　 函数与基本初等函数 1 第10讲　幂函数与二次函数 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> y＝xα 返回目录 返回目录 ax2＋bx＋c(a≠0) a(x－k)2＋h a(x－x1)(x－x2) 返回目录 返回目录 (－∞，－] (－∞，－] [－,+∞) [－,+∞) 返回目录 偶函数 非奇非偶函数 开口方向 － 返回目录 单调性 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 夯基固本 夯基固本 热身练习 >> B 2 3 4 5 1 返回目录 夯基固本 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 f(x)＝－2x2＋x－1 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 函数的奇偶性判定与应用 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 α越大函数增长越快(答案不唯一) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 (－∞，1] 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 BC 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2 二次函数的图象与性质 f(x)＝x2－2x－1 [2，5) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 AC 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 AC 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3　二次函数的最值问题 f(x)＝x2－x+1 (－∞，) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 BC 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 f(x)＝x2－6x－4 [3，6] 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 2 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ eq \f(1,x)，y＝x eq \s\up20(\f(1,2))的图象和性质解决有关问题. 2.了解指数幂的含义、掌握幂的运算. 3.掌握二次函数的定义、解析式、图象与性质. 4.会求二次函数在闭区间上的最值． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数___________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 解析式 定义域 值域 奇偶性 y＝x R R 奇 y＝x2 R [0，＋∞) 偶 y＝x3 R R 奇 y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 y＝x-1 {x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 奇 2.二次函数的三种表达式 (1)一般式：f(x)＝______________________． (2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝______________________． (3)零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则其解析式为f(x)＝__________________． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 [ eq \f(4ac－b2,4a)，＋∞) (－∞， eq \f(4ac－b2,4a)] 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 增减性 在x∈__________上单调递减，在x∈_______上单调递增 在x∈__________上单调递减，在x∈_________上单调递增 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 奇偶性 b＝0时为___________，b≠0时为____________ 对称性 图象关于直线x＝_________成轴对称图形 a，b，c的作用 a决定图象的_________，a与b决定对称轴的位置，c决定图象与y轴交点的位置，a，b，c决定图象的顶点 4.二次函数在闭区间上的最值 可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的______________进行分析求解． 1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0； 当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0. 2．对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论： ①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}． ②若k∉[m，n]， 当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增， ymin＝f(m)，ymax＝f(n)； 当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减， ymin＝f(n)，ymax＝f(m). 1．(教材母题必修3.3练习T1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2， eq \r(2))，则f( eq \f(1,4))＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C．± eq \f(1,2) D． eq \f(\r(2),2) 解析：设f(x)＝xα，所以2α＝ eq \r(2)，α＝ eq \f(1,2)， 所以f(x)＝x eq \s\up15(\f(1,2))，f( eq \f(1,4))＝( eq \f(1,4)) eq \s\up15(\f(1,2))＝ eq \f(1,2).故选B. 2．(2025·江苏徐州一模)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 解析：由函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm为幂函数， 可得m2＋2m－2＝1， 即m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1. 当m＝－3时，函数f(x)＝x-3在(0，＋∞)上单调递减， 符合题意； 当m＝1时，函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增， 不符合题意．故选A. 3．已知一元二次函数y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为(　　) A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5 C．最小值为1，无最大值 D．无最值 解析：由已知函数图象对称轴是x＝1， 函数在(0，1]上是减函数，在[1，3)上是增函数， 因此x＝1时，函数取得最小值为1，但无最大值， 故选C. 4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0， 令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0， 即函数图象过点(1，0)， 又由a>b>c，可得a>0，c<0， 所以抛物线的开口向上，可排除B、D， 令x＝0，可得y＝c<0，可排除C.故选A. 5．(2024·全国模拟)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－4x－1，且f(0)＝－1.则f(x)的解析式是_____________． 解析：由f(0)＝－1， 设f(x)＝ax2＋bx－1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝－4x－1， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)－1－(ax2＋bx－1)＝－4x－1， 整理得2ax＋(a＋b)＝－4x－1， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝－4，,a＋b＝－1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，)) 所以f(x)＝－2x2＋x－1. 【例1】(1)(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．y＝x eq \s\up15(\f(1,2)) B．y＝x- eq \s\up15-(\f(1,2)) C．y＝x3 D．y＝x eq \s\up15(\f(1,3)) 解析：对于A，函数y＝x eq \s\up20(\f(1,2))＝ eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)， 显然不符合题意，A错误； 对于B，函数y＝x- eq \s\up20(\f(1,2))＝ eq \f(1,\r(x))的定义域为(0，＋∞)， 显然不符合题意，B错误； 对于C，函数y＝x3的定义域为R， 又y＝x3为奇函数， 但是y＝x3在(0，＋∞)上函数是下凸递增， 故不符合题意，C错误； 对于D，y＝x eq \s\up20(\f(1,3))＝ eq \r(3,x)的定义域为R， 又y＝x eq \s\up20(\f(1,3))为奇函数， 且y＝x eq \s\up20(\f(1,3))在(0，＋∞)上函数是上凸递增，D正确． 故选D. 【例1】(2)如图是幂函数y＝xαi(αi＞0，i＝1，2，3，4，5)在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，α4＝ eq \f(1,2)，α5＝ eq \f(1,3)，已知它们具有以下性质： ①都经过点(0，0)和(1，1)； ②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：_____________________________. 解析：(2)从幂函数的图象可知，它们在(0，＋∞)上的性质为①α越大函数增长越快．②图象从下往上α越来越大．③函数值都大于1.④α越大越远离x轴．⑤当α＞1时，图象下凸．⑥图象无最大值．⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称．⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．从上面任取一个即可． (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 1．已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是____________. 解析：设f(x)＝xα， 则(－8)α＝－2，即α＝ eq \f(1,3)，所以f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,3))， 则f(x)在R上单调递增，且为奇函数， 所以f(a＋1)≤－f(a－3)＝f(3－a) ⇒a＋1≤3－a⇒a≤1. 2．(多选)已知函数f(x)＝xα(α∈R)，则(　　) A．函数f(x)的图象过点(1，－1) B．若函数f(x)的图象过点(－1，1)，则函数f(x)为偶函数 C．若函数f(x)的图象过点(－1，－1)，则函数f(x)为奇函数 D．当α>0时，∃x∈R，使得函数f( eq \r(2))<f(1) 解析：f(x)＝xα(α∈R)，则f(1)＝1α＝1，A错误； 函数f(x)的图象过点(－1，1)，则f(－1)＝(－1)α＝1， f(－x)＝(－x)α＝(－1)α·xα＝xα＝f(x)， 即函数f(x)为偶函数，B正确； 若f(x)的图象过点(－1，－1)， 则f(－1)＝(－1)α＝－1， f(－x)＝(－x)α＝(－1)α·xα＝－xα＝－f(x)， 即函数f(x)为奇函数，C正确； 当α>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f( eq \r(2))>f(1)，D错误．故选BC. 【例2】(1)(2024·山东一模)已知二次函数f(x)满足f(0)＝－1，顶点为(1，－2)，则函数f(x)的解析式为____________________；若函数f(x)在区间[a－1，4]上单调递增，则实数a的取值范围是____________． 解析：(1)设f(x)＝a(x－1)2－2， 则由f(0)＝－1得a－2＝－1， 所以a＝1，所以f(x)＝(x－1)2－2＝x2－2x－1. 由于f(x)＝x2－2x－1，其图象的开口向上， 对称轴为x＝1， 则若函数f(x)在区间[a－1，4]上单调递增， 需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1<4，,a－1≥1，))所以2≤a<5， 所以实数a的取值范围为[2，5). 【例2】(2)(多选)(2024·河北邯郸阶段练习)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3< eq \f(b,a)<－2.下面的选项中所有序号结论全正确的是(　　) A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 解析：(2)由图可知f(1)＝a＋b＋c>0，故结论①正确； 由图可知f(－1)＝a－b＋c<0，故结论②正确； 由图可知二次函数图象开口向下， 所以a<0，且f(0)＝c>0，对称轴x＝－ eq \f(b,2a)>1>0 ⇒b>0，所以abc<0，故结论③不正确； 由图可知二次函数图象与x轴有两个交点， 所以Δ＝b2－4ac>0⇒b2>4ac，故结论④正确； 由图可知对称轴1<－ eq \f(b,2a)< eq \f(3,2)⇒－3< eq \f(b,a)<－2， 故结论⑤正确． 综上所述，所有序号结论正确的有①②④⑤. 故选AC. 二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义域的关系． 3．若函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在[－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)]上单调，则实数m的取值范围为(　　) A．[ eq \f(1,2)，1]∪[3， eq \f(9,2)] B．[ eq \f(1,2)，2]∪[3， eq \f(9,2)] C．[－ eq \f(1,2)，1]∪[3， eq \f(9,2)] D．[－ eq \f(1,2)，2]∪[3， eq \f(9,2)] 解析：令g(x)＝x2－(m－2)x＋1， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m－2,2)≥\f(1,2)，,g(\f(1,2))≥0，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m－2,2)≥\f(1,2)，,g(－\f(1,2))≤0，)) 或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m－2,2)≤－\f(1,2)，,g(－\f(1,2))≥0，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m－2,2)≤－\f(1,2)，,g(\f(1,2))≤0，)) 解得3≤m≤ eq \f(9,2)或－ eq \f(1,2)≤m≤1， 即实数m的取值范围为[－ eq \f(1,2)，1]∪[3， eq \f(9,2)].故选C. 4．(多选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)与(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0 C．－1≤a≤－ eq \f(2,3) D．3a＋b>0 解析：依题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)， 所以函数与x轴的另一交点为(3，0)， 所以当x>3时，y<0，A正确； 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，B错误； 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)， 且a<0，所以a－b＋c＝0， 因为b＝－2a，所以a＋2a＋c＝0， 所以3a＋c＝0，则c＝－3a， 因为2≤c≤3，所以2≤－3a≤3， 所以－1≤a≤－ eq \f(2,3)，C正确； 3a＋b＝3a－2a＝a<0，D错误．故选AC. 【例3】(1)(2024·河南南阳模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的解析式为____________________；若在区间[－1，1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝m的上方，则实数m的取值范围为____________． 解析：(1)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1得c＝1， 由f(x＋1)－f(x)＝2x 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x恒成立， 故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，)) 故f(x)＝x2－x＋1. 由题意在区间[－1，1]上， 函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝m的上方， 即x2－x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立， 由于f(x)＝x2－x＋1＝(x－ eq \f(1,2))2＋ eq \f(3,4)， 当x∈[－1， eq \f(1,2)]时，f(x)单调递减； 当x∈[ eq \f(1,2)，1]时，f(x)单调递增． 故当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f( eq \f(1,2))＝ eq \f(3,4)，故m< eq \f(3,4). 【例3】(2)函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的 最小值为g(t)，则g(t)的表达式为__________________，g(t)的最小值为__________. g(t)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,(t－1)2＋1，t>1)) 解析：f(x)＝(x－1)2＋1， 当t<0时，x＝1∉[t，t＋1]且在区间[t，t＋1]的右边， 所以f(x)在[t，t＋1]上单调递减， 所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1，如图1； 当0≤t≤1时，x＝1∈[t，t＋1]， 所以g(t)＝f(1)＝1，如图2； 当t>1时，x＝1∉[t，t＋1]且在区间[t，t＋1]的左边， f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以g(t)＝(t－1)2＋1，如图3. 综上所述，g(t)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,(t－1)2＋1，t>1.))故g(t)min＝1. (1)二次函数求最值时，求解的关键有两点：其一是二元函数化为一元函数；其二是确定x的取值范围． (2)一般地，对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论： ①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}． ②若k∉[m，n]，当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，ymin＝f(m)，ymax＝f(n)； 当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax＝f(m). (3)对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问题，要注意抓住对称轴是否属于所给区间及二次函数的单调性进行分类讨论． 5．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示． 因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]， 结合图象可得2<a≤4，结合a是正整数， 所以B、C正确．故选BC. 6．已知二次函数f(x)满足f(1)＝－9，且不等式f(x)＋3x<0的解集为(－1，4)，则f(x)的解析式为____________；若函数f(x)在x∈[0，t]时的值域为[－13，－4]，则实数t的取值范围为____________． 解析：因为f(x)为二次函数， 所以f(x)＋3x<0为一元二次不等式， 故可设f(x)＋3x＝a(x＋1)(x－4)， 所以f(x)＝ax2－3(a＋1)x－4a， 由f(1)＝－9，得－6a－3＝－9，所以a＝1， 所以f(x)＝x2－6x－4. 因为f(x)＝x2－6x－4＝(x－3)2－13， 所以当x＝3时，f(x)取最小值－13， 又由f(x)＝－4，得x＝0或x＝6， 所以结合f(x)的对称性，可知3∈[0，t]，且t≤6， 所以3≤t≤6， 所以实数t的取值范围为[3，6]. 7．(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M的最小值为________． 解析：f(x)＝|x2－4x＋(a＋4)x＋b| ＝|x2－4x－[－(a＋4)x－b]|， 上述函数可理解为当横坐标相同时， 函数g(x)＝x2－4x，x∈[0，4]与函数h(x)＝－(a＋4)x－b，x∈[0，4]图象上点的纵向距离， 则M即为函数g(x)＝x2－4x与函数h(x)＝－(a＋4)x－b图象上点的纵向距离的最大值， 作出函数g(x)，h(x)图象，如图． 由图易知，M的最小值为2. $