1.4.2充要条件（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦充要条件的定义、判断、证明及集合关系应用，通过命题真假表复习充分必要条件，结合生活“等价交换”类比引入，搭建新旧知识桥梁，用表格对比和集合图示作为学习支架。 其亮点在于以集合直观理解逻辑关系，用椭圆图示对应集合包含与条件关系，发展数学眼光中的几何直观。通过实例辨析（如三角形相似与三边成比例）和规范证明步骤（如直线与圆相切的充要条件证明），培养数学思维的推理严谨性。题型分层及技巧总结帮助学生提升逻辑推理能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件 1.4.2充要条件 学 习 目 标 1 2 3 理解充要条件的定义，能够准确判断条件与结论之间是否互为充要条件，掌握充要条件的证明思路，会结合集合关系分析充要问题，发展逻辑推理素养. 通过实例辨析充分、必要、充要条件的区别与联系，学会转化命题语言，借助集合直观理解逻辑关系，提升归纳辨析与转化分析能力. 感受数学逻辑语言严谨性，体会等价转化的数学思想，养成条理清晰、有理有据的推理习惯，感受逻辑知识在数学问题中的应用价值. 新课引入 新课引入 在生活中我们常说”等价交换”，在数学中有没有类似的”等价”关系呢？ 三角形是等边三角形 三角形是等角三角形 思考1：是的充分条件吗？必要条件？这两个说法等价吗？ 一个数是6的倍数 这个数既是2的倍数又是3的倍数 ，的充分条件 ，是的必要条件 下面我们就一起走近研究这种两者都成立，等价的关系。 探究一：充要条件 新知探究 序号 命题 命题 ① ② ③ ④ ⑤ 是6的倍数 是2的倍数且是3的倍数 ⑥ 四边形是正方形 四边形是菱形且是矩形 辨析1. 填空（填√或×）： √ √ √ √ √ √ √ × × × × × 思考2：，则是的充分必要条件，类似的，，但，称的？其他情况呢，你能类比一下吗？ 探究一：充要条件 新知探究 ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 一个数是6的倍数 这个数既是2的倍数又是3的倍数 探究一：充要条件 新知探究 推理关系 条件关系 是的 充分不必要条件 是的 必要不充分条件 是的 充要条件 是的 既不充分也不必要条件 注意：不难发现，“”和“”都具有传递性，即： 如果，，那么； 如果，，那么。 例如：：四边形的对角线相等；：四边形是正方形，则 ，且，所以是的必要不充分条件，是的充分不必要条件。 探究一：充要条件 新知探究 思考3：如果设，，你能从集合的角度如何理解充要条件吗？ 小集合是大集合的充分不必要，大集合是小集合的必要不充分 记法 关系 图示 结论 p是q的 充分不必要条件 p是q的 必要不充分条件 p，q互为 充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 典例精讲 例3：下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. 【分析】，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件 解： (2)， (4) 思考3：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 典例精讲 例4：已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件. 证明：设：直线与相切. (1)充分性()：如图，作于点，则 若则点在上.在直线上任取一点(易于点),连接 在中， 所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点. 所以直线与相切. (2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，. 由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件. 即时训练 题型1 判断充分必要条件 1、下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的互为充要条件？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若是空集，则与均是空集. 解： （1），（4） 判断充要条件的方法： 技巧点拨 （1）定义法：直接证明和是否都成立 （2）等价转化法：将命题转化为等价形式再判断 （3）集合关系法：通过集合的包含关系判断 （4）反例法：举反例说明不成立 即时训练 题型1 判断充分必要条件 2、已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). .为二次函数 . .四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 .或 【答案】 3、下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形； (3) 【答案】（1），（3） 即时训练 题型1 判断充分必要条件 4、设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】 5、使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【答案】 即时训练 题型2 条件关系的探求 1、【多选题】使不等式成立的一个充分不必要条件是(　) ．　　 　　 ． ． ． 2、设，则成立的一个必要不充分条件是(　　) ． ． ． ． 【答案】 【答案】A 即时训练 题型3 利用充要条件求参数 1、已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. • • 即时训练 题型3 利用充要条件求参数 1、已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时， ∴是的充分不必要条件. • • • • • 即时训练 题型3 利用充要条件求参数 1、已知 (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(3)∵是的必要不充分条件， ∴， ∴. ∴当时，是的必要不充分条件. • • • • • 利用充要条件求参数一般方法 技巧点拨 根据充要条件与集合对应关系，把题目的条件类型转化为相应的集合的包含关系，借助数轴解参。 即时训练 题型3 利用充要条件求参数 2、已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. • • • • • 即时训练 题型3 利用充要条件求参数 2、已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(2)若是的必要不充分条件， 即但，亦即是的充分不必要条件， ∴， ∴.∴当时， ∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件. • • • • • 即时训练 题型4 充要条件的证明 1、求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 证明：假设一元二次方程有一正根和一负根, 证明，即证明充分性： 若成立，则关于的方程的判别式 ，且两根之积， 所以关于的方程有一正根和一负根成立，即充分性成立. 证明，即证明充分性： 反之，若关于的方程有一正根和一负根成立，则两根之积， 所以成立，即必要性成立， 综上，“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 即时训练 题型4 充要条件的证明 2、求证：关于的方程有一个根是1的充要条件是. 证明：假设：方程有一个根是，：. 证明，即证明必要性： ∵是方程的根， ∴，即. 再证明，即证明充分性： 由，得. ∵，∴，即. 故. ∴是方程的一个根． 故方程有一个根是的充要条件是. 课堂小结 感谢聆听! $