专题08锐角的三角函数暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题08锐角的三角函数暑假预习讲义 ① 熟记定义：理解正弦、余弦、正切的含义，在直角三角形中找准对边、邻边、斜边，规范书写三个三角函数表达式。 ② 牢记特殊值：背诵30°、45°、60°全部三角函数数值，可熟练完成求值、化简计算，依托数值判定三角形形状。 ③ 计算器运用：掌握两大操作：已知锐角求三角函数值、给出函数值反算锐角度数，熟悉按键使用步骤。 ④ 大小比较：掌握正弦、余弦、正切增减变化规律，可根据角度比较三角函数大小，依据函数值锁定锐角取值区间。 ⑤ 性质辨析：理清锐角增大时，sinα、tanα逐步变大，cosα逐步变小的变化特点，规避增减性记反的错误。 ⑥ 归纳易错点：直角三角形三边对应边找错、特殊角数值混淆、计算器角度模式切换失误，夯实解直角三角形的基础。 预习必备 知识梳理 1.锐角三角函数基本定义 2.正弦、余弦、正切定义 3.同一个锐角的三角函数关系 4.特殊角的三角函数值 5.核心应用类型 6.由三角函数值求锐角 常考题型 精讲精练 1.正弦的概念辨析 2.求角的正弦值 3.已知正弦值求边长 4.求角的余弦值 5.余弦的概念辨析 6.已知余弦求边长 7.求角的正切值 8.正切的概念辨析 9.已知正切值求边长 10.特殊三角形中的三角函数 11.特殊角三角函数值的混合运算 12特殊三角函数值判三角形形状 13.计算器求锐角三角函数值 14.由特殊角函数值求角度 15.计算器求对应锐角 16.由角度比较三角函数值大小 17.三角函数值判锐角取值范围 18.由同角三角函数关系求值 19.求证同角三角函数关系式 20.互余两角三角函数的关系 21.三角函数综合 强化题型 解答题10题 知识点01：锐角三角函数基本定义（核心必考） 在 Rt△ABC 中，∠C=90，对于锐角∠A： 对边、邻边、斜边定义： 对边：∠ A 对面的边 BC 邻边：∠ A旁边的直角边 AC 斜边：直角所对的边 AB 知识点02：正弦、余弦、正切定义 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 知识点03：同一个锐角的三角函数关系（高频推导） 1.同角三角函数关系 在同一个锐角 A 中： （1）平方关系 sin2A+cos2A=1 （2）商数关系 tanA= 2.互余两角三角函数关系（必考） 互余公式 若∠A+∠B=90，则： 口诀：正余互换、互余相等 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 记忆口诀：正弦：123、222、321 正切：三分之根三、一、根三 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点05:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 知识点06:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 知识点07：已知边长求三角函数、已知三角函数求边长 通用解题步骤 1.找准所求锐角； 2.分清对边、邻边、斜边； 3.套对应公式； 4.化简根式、约分。 题型固定模板 给直角三角形三边 → 求任意锐角的 sin、cos、tan 给一个三角函数值 + 一边长 → 勾股求第三边 → 求另外两个函数值 知识点08：高频易错点汇总 易错点 错误表现 正确标准 对边邻边看错 混淆对边、邻边，公式代错 紧盯所求角，不看直角、不看另一锐角 三角函数取值 认为sin、cos可以大于 1 锐角三角函数：sin、cos(0,1) 特殊角值记混 30°60° 正弦余弦颠倒 30° 正弦最小，60° 正弦最大 忘记互余关系 不会转化sin50=cos40 互余角正余互换恒成立 平方关系乱用 不会用sin2A=1-cos2A 同角平方和恒等于 1 题型1.正弦的概念辨析 【典例】在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ________． 【跟踪专练2】如图，在中，，若CD是斜边AB上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 题型2.求角的正弦值 【典例】在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格图中，点、、都在格点上，则____________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型3.已知正弦值求边长 【典例】电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【跟踪专练1】如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形中，．点是四边形ABCD四条边上的一个动点，若到的距离为4，则两点间距离是_____． 【跟踪专练3】如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 题型4.求角的余弦值 【典例】如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，于，，，则_________； 【跟踪专练2】在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题型5.余弦的概念辨析 【典例】在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则______． 题型6.已知余弦求边长 【典例】在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 题型7.求角的正切值 【典例】如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【跟踪专练2】如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型8.正切的概念辨析 【典例】如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在正方形中，点在上，，，连接，是的中点，点在上，且，则__． 题型9.已知正切值求边长 【典例】如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，、均垂直于，垂足分别为、，，测得，，，则滑轮与地面的距离的值为_________．（参考数据：，，） 【跟踪专练2】如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中，，，已知长为，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 题型10.特殊三角形的三角函数 【典例】若的余角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的长为_____________． 【跟踪专练2】如图所示，在边长为的等边中，是内任意一点，若满足，，，则下列为定值的是（    ） A． B．的大小 C． D．四边形的面积 题型11.特殊角三角函数值的混合运算 【典例】．的值等于（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：______． 【跟踪专练2】若规定，则（   ） A． B． C． D． 题型12由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例】在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【跟踪专练1】在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【跟踪专练2】中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 题型13.计算器求锐角三角函数值 【典例】求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【跟踪专练1】如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是___________． 【跟踪专练2】求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          题型14.由特殊角函数值求角度 【典例】．若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在锐角中，若满足，则______． 【跟踪专练2】在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型15.已知三角函数值.用计算器求锐角度数 【典例】在中，，，，用计算器计算得（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的度数（结果精确到）： （1），则______． （2），则______． （3），则______． 【跟踪专练2】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 题型16.由角度比较三角函数值大小 【典例】比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【跟踪专练1】若三个锐角满足，则由小到大的顺序为________________． 【跟踪专练2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 题型17.三角函数值判定锐角取值范围 【典例】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【跟踪专练2】如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 题型18.由同角三角函数关系求值 【典例】若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型19.求证同角三角函数关系式 【典例】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A．B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则_____． 题型20.互余两角三角函数的关系 【典例】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知α为锐角，，则____． 【跟踪专练2】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型21.三角函数综合 【典例】如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（   ）    A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡 C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【跟踪专练1】现给出如下定义：某一范围内任意都在范围内有唯一的值与之对应，则称这种对应关系为函数，则下面几个式子不可能为函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 解答题 1．计算: 2．如图，如果中是锐角，，．证明：． 3．如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 4．如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 5．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 6．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 7．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 8．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 9．如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 10．已知在中，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08锐角的三角函数暑假预习讲义 ① 熟记定义：理解正弦、余弦、正切的含义，在直角三角形中找准对边、邻边、斜边，规范书写三个三角函数表达式。 ② 牢记特殊值：背诵30°、45°、60°全部三角函数数值，可熟练完成求值、化简计算，依托数值判定三角形形状。 ③ 计算器运用：掌握两大操作：已知锐角求三角函数值、给出函数值反算锐角度数，熟悉按键使用步骤。 ④ 大小比较：掌握正弦、余弦、正切增减变化规律，可根据角度比较三角函数大小，依据函数值锁定锐角取值区间。 ⑤ 性质辨析：理清锐角增大时，sinα、tanα逐步变大，cosα逐步变小的变化特点，规避增减性记反的错误。 ⑥ 归纳易错点：直角三角形三边对应边找错、特殊角数值混淆、计算器角度模式切换失误，夯实解直角三角形的基础。 预习必备 知识梳理 1.锐角三角函数基本定义 2.正弦、余弦、正切定义 3.同一个锐角的三角函数关系 4.特殊角的三角函数值 5.核心应用类型 6.由三角函数值求锐角 常考题型 精讲精练 1.正弦的概念辨析 2.求角的正弦值 3.已知正弦值求边长 4.求角的余弦值 5.余弦的概念辨析 6.已知余弦求边长 7.求角的正切值 8.正切的概念辨析 9.已知正切值求边长 10.特殊三角形中的三角函数 11.特殊角三角函数值的混合运算 12特殊三角函数值判三角形形状 13.计算器求锐角三角函数值 14.由特殊角函数值求角度 15.计算器求对应锐角 16.由角度比较三角函数值大小 17.三角函数值判锐角取值范围 18.由同角三角函数关系求值 19.求证同角三角函数关系式 20.互余两角三角函数的关系 21.三角函数综合 强化题型 解答题10题 知识点01：锐角三角函数基本定义（核心必考） 在 Rt△ABC 中，∠C=90，对于锐角∠A： 对边、邻边、斜边定义： 对边：∠ A 对面的边 BC 邻边：∠ A旁边的直角边 AC 斜边：直角所对的边 AB 知识点02：正弦、余弦、正切定义 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 知识点03：同一个锐角的三角函数关系（高频推导） 1.同角三角函数关系 在同一个锐角 A 中： （1）平方关系 sin2A+cos2A=1 （2）商数关系 tanA= 2.互余两角三角函数关系（必考） 互余公式 若∠A+∠B=90，则： 口诀：正余互换、互余相等 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 记忆口诀：正弦：123、222、321 正切：三分之根三、一、根三 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点05:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 知识点06:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 知识点07：已知边长求三角函数、已知三角函数求边长 通用解题步骤 1.找准所求锐角； 2.分清对边、邻边、斜边； 3.套对应公式； 4.化简根式、约分。 题型固定模板 给直角三角形三边 → 求任意锐角的 sin、cos、tan 给一个三角函数值 + 一边长 → 勾股求第三边 → 求另外两个函数值 知识点08：高频易错点汇总 易错点 错误表现 正确标准 对边邻边看错 混淆对边、邻边，公式代错 紧盯所求角，不看直角、不看另一锐角 三角函数取值 认为sin、cos可以大于 1 锐角三角函数：sin、cos(0,1) 特殊角值记混 30°60° 正弦余弦颠倒 30° 正弦最小，60° 正弦最大 忘记互余关系 不会转化sin50=cos40 互余角正余互换恒成立 平方关系乱用 不会用sin2A=1-cos2A 同角平方和恒等于 1 题型1.正弦的概念辨析 【典例】在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数值是角的固有属性，与边长无关是解题关键． 【详解】解：∵在锐角中，各边长扩大为原来的2倍后，所得三角形与原三角形三边对应成比例， ∴所得三角形与原三角形相似， ∴的大小不变． 又∵锐角的正弦值由角的大小决定，与边的长度无关， ∴的正弦值不变． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，垂足为，交轴于点，，的面积是2，则的值是 ________． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键． 连接，作轴于，根据三角形中线平分面积求出的面积，再求证出是等边三角形，再利用反比例函数k的几何意义求出即可． 【详解】解：连接，作轴于， 的面积是2，， 的面积为1， ，， ， ， ， ， ∵， 为等边三角形， ， ， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ． 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，在中，，若CD是斜边AB上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据所给条件，结合正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：A、在中，，不符合题意； B、 ， ，不符合题意； C、在中，，不符合题意； D、在中， ，符合题意； 故选：D． 题型2.求角的正弦值 【典例】在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义，利用定义直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵在中，，是的对边，是斜边， 又，，根据锐角正弦的定义：， ． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格图中，点、、都在格点上，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义以及勾股定理．取格点，连接，易得，利用勾股定理求得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接，则， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：过P作于N，利用点P的坐标以及勾股定理可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过P作于N， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型3.已知正弦值求边长 【典例】电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：． 【跟踪专练1】如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，四边形中，．点是四边形ABCD四条边上的一个动点，若到的距离为4，则两点间距离是_____． 【答案】或或1 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理． 根据勾股定理得到，根据三角函数得到，，证明得到，即，分三种情况根据三角函数及勾股定理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 当P在上运动时，如图，作交于E， ∵到的距离为4， ∴， ∴， ∴， 当P在上运动时，如图，作交于F， ∵到的距离为4， ∴， ∴， 即此时P在C处，； 当P在上运动时，如图，作交于G， ∵到的距离为4， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或或1． 【跟踪专练3】如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正弦函数，掌握正弦的定义成为解题的关键. 先根据正弦的定义表示出，然后根据线段的和差即可解答. 【详解】解：在中，,则，即, 同理：， ∴. 故选A. 题型4.求角的余弦值 【典例】如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，于，，，则_________； 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后根据同角的余角相等求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，于，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意 ． 题型5.余弦的概念辨析 【典例】在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 【跟踪专练1】在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：，，，，故A选项错误； B选项：，，，，故B选项错误； C选项：，，，，故C选项正确； D选项：，，，，故D选项错误． 故选：C. 【跟踪专练2】如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则______． 【答案】 【分析】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是120，小正方形面积是20， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 题型6.已知余弦求边长 【典例】在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 题型7.求角的正切值 【典例】如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取格点M，连接，则， ∵A、B、C、D四个点均在格点上， ∴． 【跟踪专练1】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，利用网格得到线段的长度，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 根据图像可知：， ∴． 【跟踪专练2】如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，则，根据矩形的性质及折叠的性质得出，再由勾股定理确定，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 题型8.正切的概念辨析 【典例】如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】在正方形中，点在上，，，连接，是的中点，点在上，且，则__． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，过点作 于点，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，设，则，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作 于点， 在  中，，， ． ． ， ， ，． ， 设，则， ， ，， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型9.已知正切值求边长 【典例】如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，、均垂直于，垂足分别为、，，测得，，，则滑轮与地面的距离的值为_________．（参考数据：，，） 【答案】4.5 【分析】由题意可知，四边形是矩形，在直角三角形中，利用角的正切值求出，即可得解． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， ，， ，，， 在中，， ， ． 【跟踪专练2】如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中，，，已知长为，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的定义结合已知条件求得的长度，再用勾股定理求出的长度，由平行线的性质可得到，从而得到，同理利用正切的定义和勾股定理即可求得目标结果． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． 题型10.特殊三角形的三角函数 【典例】若的余角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义，特殊角的三角函数值．先依据余角的定义求出的度数，再结合特殊角的三角函数值计算的值． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得：为的角平分线，，再根据三角函数可得，再证明，进而可得． 【详解】解：根据题意可得：为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图所示，在边长为的等边中，是内任意一点，若满足，，，则下列为定值的是（    ） A． B．的大小 C． D．四边形的面积 【答案】A 【分析】将等边拆分为、、，通过面积和建立等式，进而推导出为定值． 【详解】解：等边的边长为， 边上的高为， ， ， ， 解得， 故为定值，故正确； 选项：点的位置改变，也会改变，错误； 选项：会随点的位置变化而变化，错误； 选项：四边形的面积会随点的位置变化而变化，错误； 题型11.特殊角三角函数值的混合运算 【典例】．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和特殊角的三角函数值，解题思路为先根据二次根式运算法则化简第一部分，再代入特殊角的三角函数值计算第二部分，最后作差即可求解． 【详解】解 ：原式 【跟踪专练2】若规定，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 题型12由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例】在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 【跟踪专练1】在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 【跟踪专练2】中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得，；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】∵、都是锐角，且， ∴， ∴ ∴的形状是锐角三角形 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 题型13.计算器求锐角三角函数值 【典例】求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据度分秒格式角度的输入按键规则，输入即可． 【详解】 解：首先按下功能键，激活正切计算模式，再输入度数值，按下度分秒转换键，确认的单位为度，最后输入数值，按下度分秒转换键，确认的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正确的是或． 【跟踪专练1】如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是___________． 【答案】①③ 【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可． 【详解】 解：①按键的结果为；故①正确，符合题意； ②按键的结果为；故②不正确，不符合题意； ③按键的结果为；故③正确，符合题意； ④按键的结果为；故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 【跟踪专练2】求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          【答案】B 【分析】根据度分秒格式角度的输入按键规则，输入即可． 【详解】解：首先按下功能键，激活正切计算模式，再输入度数值，按下度分秒转换键，确认的单位为度，最后输入数值，按下度分秒转换键，确认的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正确的是或． 题型14.由特殊角函数值求角度 【典例】．若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据余弦的定义以及特殊角三角函数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 【跟踪专练1】在锐角中，若满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，根据非负数的性质得到，，则，，据此得到． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∵为锐角三角形， ∴， ∴，， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．由题意知，，解得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型15.已知三角函数值.用计算器求锐角度数 【典例】在中，，，，用计算器计算得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了使用计算器解决三角函数问题，解题关键是正确使用计算器． 根据直角三角形中正弦函数的定义，，计算比值后使用计算器求的近似值，并转换为度分形式. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 使用计算器得， 将转换为度分：，故， 故选：D． 【跟踪专练1】已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的度数（结果精确到）： （1），则______． （2），则______． （3），则______． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）直接用计算器计算即可． 【详解】解：（1）， 则． （2）， 则． （3）， 则． 【点睛】本题主要考查了用计算器计算三角函数，解题的关键是掌握计算方法． 【跟踪专练2】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 题型16.由角度比较三角函数值大小 【典例】比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数，利用互余角的三角函数转换关系，将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小． 【详解】解：， ， 在范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又， ， 即． 【跟踪专练1】若三个锐角满足，则由小到大的顺序为________________． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的性质解答 ．　 【详解】解：根据锐角三角函数的性质可得： cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1， ∴cos48°<sin48°<1<tan48°， ∴β<α<γ， 故答案为β<α<γ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．　 【跟踪专练2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 题型17.三角函数值判定锐角取值范围 【典例】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 【跟踪专练1】已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 题型18.由同角三角函数关系求值 【典例】若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理. 先解得到，则可设，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图，在中，，， ∴可设， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型19.求证同角三角函数关系式 【典例】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键． 设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答． 【详解】 解：设，，则，，，， ∵在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴； 故答案为：． 题型20.互余两角三角函数的关系 【典例】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 【跟踪专练2】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 题型21.三角函数综合 【典例】如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（   ）    A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡 C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意； B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】现给出如下定义：某一范围内任意都在范围内有唯一的值与之对应，则称这种对应关系为函数，则下面几个式子不可能为函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，对于初中学生而言，只有D选项最熟悉，根据排除法求解即可． 【详解】解：对于，当时，，，不满足题干中的函数定义，即D选项符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 解答题 1．计算: 【答案】2 【分析】先将转化为，再代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 2．如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 3．如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据正切求出，即可求解； （2）将转化为即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∴． 4．如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 【答案】(1)证明：， ， ． ， ， ， 又，， ． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等得到，再结合，，由即可证明； （2）过点C作于点H，由勾股定理求出，再根据，即可求点C到的距离． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作于点H． ， ，， ， ， ， ， ∴点C到的距离为． 5．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 6．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知:，， ∴原式． 7．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 8．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ． 9．如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，，；，，； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； （2）解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 10．已知在中，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据，求出的长，连接，根据三角形三边关系求出的最大值． 【详解】解：过点作于点， 因为，根据等腰三角形三线合一性质，为中点， 在中，， 设，则， 由勾股定理：， ， ， ， 可得，， 所以， 连接， 因为是的中垂线， 则是的中点， 在中，根据三角形两边之差小于第三边，， 当且仅当、、三点共线时取等号， 又因为， 所以此时是的中位线， ， 因此的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $