专题06相似三角形的判定与性质暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题06相似三角形的判定与性质暑假预习讲义 1. 牢记三角形相似全部判定定理，清晰区分平行线判定、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例各自适用条件，做题时可依据图形已知条件灵活选取定理，规范书写证明过程，严格保证相似三角形顶点书写顺序一一对应。 2. 熟练掌握相似三角形全套核心性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比值等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，能够依托性质完成线段长度、周长、面积各类几何计算。 3. 能够识别A字型、8字型等基础经典相似几何模型，快速从复杂图形中找出相似三角形，搭建线段比例等量关系式，提升识图推理能力。 4. 可完成网格背景下三角形相似判定与作图习题，学会借助方格计算边长比值，判断三角形是否相似，掌握网格构造相似三角形的解题技巧。 5. 归纳梳理本节高频易错问题：判定定理混用、相似顶点顺序写错、面积计算忘记对相似比平方；建立数形结合几何思维，为相似三角形实际应用、压轴综合题型打好基础。 预习必备 知识梳理 1.平行线判定相似 2.三大相似判定 3.直角三角形判定相似 4.相似判定与全等判定类比表 5.相似三角形的性质 6.相似三角形应用 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用平行判定相似 2.两角对应相等判定相似 3.两边成比例且夹角相等证相似 4.三边对应成比例判定相似 5.相似三角形的判定综合 6.补充条件使两个三角形相似 7.由相似三角形的性质求解 8.证明三角形对应线段成比例 9.利用相似求坐标 10.网格中构造相似三角形 11.相似三角形动点问题 12.相似三角形判定与性质综合 13.相似三角形的实际应用 强化题型 解答题8题 知识点 01 相似三角形预备定理（平行线判定相似） 文字表述：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 两大基础模型 A 型（正 A 模型）：直线截取三角形两条边上； X 型（8 字型）：直线截取两条边的延长线。 说明：该定理是推导后面三大判定定理的理论基础。 知识点 02 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 文字：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言： ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ✅说明：只需两组对应角相等，第三组角自然相等；考试使用频率最高。 常见图形：公共角模型、对顶角模型、同角（等角）的余角 / 补角模型、母子相似模型。 知识点 03 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（SAS） 文字：如果两个三角形两组对应边的比相等，且夹角对应相等，那么两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ⚠️高频易错：相等的角必须是两组对应边的夹角；非夹角相等，不能判定相似。 知识点 04 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 文字：如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 知识点 05 直角三角形相似特殊判定 通用方法：AA、SAS、SSS 均可直接使用； 斜边直角边判定：两个直角三角形，斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点 06 相似判定与全等判定类比表 全等判定 相似判定 核心区别 SSS SSS（三边对应成比例） 全等：边长相等；相似：边长比值相等 SAS SAS（两边成比例 + 夹角相等） 全等：边长相等；相似：边长成比例 ASA、AAS AA（两角对应相等） 相似无需边条件 HL（Rt△） 斜边、直角边对应成比例（Rt△） 全等：长度相等；相似：长度成比例 知识点07：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点 08：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 1． 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 2． 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 3． 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 知识点09：高频易错点汇总 易错知识 典型错误 正确标准 相似书写规范 顶点不按对应顺序书写 △ABC△DEF，顶点一一对应，快速找准对应边角 SAS 相似判定 两边成比例 + 非夹角相等直接判定相似 夹角必须是两组对应边中间的角 面积比运算 把面积比直接当作相似比；忘记平方 已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开算术平方根 线段混淆 随便选取非对应高、中线列式计算 只有对应线段的比值等于相似比 预备定理滥用 无平行线强行套用 A 型、8 字型相似 必须满足DEBC才能直接使用预备定理 题型1.利用平行判定相似 【典例】如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 题型 2.两角对应相等判定相似 【典例】已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可. 【详解】解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 【跟踪专练2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 题型3.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 【跟踪专练1】如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 【跟踪专练2】如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 题型4.三边对应成比例判定相似 【典例】一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 【跟踪专练1】如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 题型5.相似三角形的判定综合 【典例】如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和相似，共6个． 故答案为：6． 【跟踪专练2】已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（    ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P作直线与另一边平行或垂直，或即可． 【详解】解：如图，过点P作直线与另一边平行（两条）或垂直（一条），或（一条），共4条直线． 题型6.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由题意得， A、若添加，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； B、若添加，则，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； C、若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； D、若添加，不能判定与相似，符合题意 故选：D． 【跟踪专练1】直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是_____． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 【跟踪专练2】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 题型7.由相似三角形的性质求解 【典例】若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 【跟踪专练1】如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 【跟踪专练2】如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 题型8.证明三角形对应线段成比例 【典例】如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ________． 【答案】 【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 题型9.利用相似求坐标 【典例】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【跟踪专练2】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型10.网格中构造相似三角形 【典例】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【跟踪专练1】如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 【跟踪专练2】如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可． 【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为， 观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键． 题型11.相似三角形动点问题 【典例】如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【答案】A 【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    综上：的值是2或， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 【跟踪专练2】如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 题型12.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 【跟踪专练1】如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 【详解】解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13.相似三角形的实际应用 【典例】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 【跟踪专练1】如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 【跟踪专练2】中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 解答题 1．已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】 证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】略 2．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴． （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 4．如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】(1)， 证明：， ， ， ∵， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图①，在梯形中，，且是的中点，是边上的动点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若是的中点，，求的长； (3)如图②，若其他条件不变，且平分是线段上的动点，则是否存在点，使得？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】通过证明四边形为平行四边形，再利用即可得出结论； 利用得到，结合是的中点证明即可求解； 先通过平行线与角平分线得到结合得到进一步得到从而得到是等边三角形即可求解． 【详解】（1）证明：是的中点， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又， ． （2）由（1）知，， 是的中点， ， ． ． （3）存在．理由如下： ． 平分， ． ， ， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定综合求值与证明，平行四边形的判定，掌握相似三角形性质与判定是解题的关键． 6．如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，由，得到，即可解答． （2）由勾股定理求出，分类讨论：① ②，根据相似三角形的性质，逐项求解即可． 【详解】（1）解：∵动点M从A向B以运动，运动时间为t， ∴； ∵动点N从C向A以运动， ∴； ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）在中，，，由勾股定理，得． ∵与有公共角， ∴相似需满足“两边对应成比例且夹角相等”，分以下两种情况： ①时 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴或． 7．如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【详解】略 8．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【分析】解题时先结合题图获取伞高、伞面宽度、原有阴影长度、人的身高这些已知数值，依托平行投影光线平行的几何特征证明两个直角三角形相似，代入边长比例式计算出人头顶影子最远点到伞脚的距离，结合原有阴影下限，划定出不受光照的距离范围． 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似三角形的判定与性质暑假预习讲义 1. 牢记三角形相似全部判定定理，清晰区分平行线判定、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例各自适用条件，做题时可依据图形已知条件灵活选取定理，规范书写证明过程，严格保证相似三角形顶点书写顺序一一对应。 2. 熟练掌握相似三角形全套核心性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比值等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，能够依托性质完成线段长度、周长、面积各类几何计算。 3. 能够识别A字型、8字型等基础经典相似几何模型，快速从复杂图形中找出相似三角形，搭建线段比例等量关系式，提升识图推理能力。 4. 可完成网格背景下三角形相似判定与作图习题，学会借助方格计算边长比值，判断三角形是否相似，掌握网格构造相似三角形的解题技巧。 5. 归纳梳理本节高频易错问题：判定定理混用、相似顶点顺序写错、面积计算忘记对相似比平方；建立数形结合几何思维，为相似三角形实际应用、压轴综合题型打好基础。 预习必备 知识梳理 1.平行线判定相似 2.三大相似判定 3.直角三角形判定相似 4.相似判定与全等判定类比表 5.相似三角形的性质 6.相似三角形应用 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用平行判定相似 2.两角对应相等判定相似 3.两边成比例且夹角相等证相似 4.三边对应成比例判定相似 5.相似三角形的判定综合 6.补充条件使两个三角形相似 7.由相似三角形的性质求解 8.证明三角形对应线段成比例 9.利用相似求坐标 10.网格中构造相似三角形 11.相似三角形动点问题 12.相似三角形判定与性质综合 13.相似三角形的实际应用 强化题型 解答题8题 知识点 01 相似三角形预备定理（平行线判定相似） 文字表述：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 两大基础模型 A 型（正 A 模型）：直线截取三角形两条边上； X 型（8 字型）：直线截取两条边的延长线。 说明：该定理是推导后面三大判定定理的理论基础。 知识点 02 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 文字：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言： ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ✅说明：只需两组对应角相等，第三组角自然相等；考试使用频率最高。 常见图形：公共角模型、对顶角模型、同角（等角）的余角 / 补角模型、母子相似模型。 知识点 03 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（SAS） 文字：如果两个三角形两组对应边的比相等，且夹角对应相等，那么两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ⚠️高频易错：相等的角必须是两组对应边的夹角；非夹角相等，不能判定相似。 知识点 04 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 文字：如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 知识点 05 直角三角形相似特殊判定 通用方法：AA、SAS、SSS 均可直接使用； 斜边直角边判定：两个直角三角形，斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点 06 相似判定与全等判定类比表 全等判定 相似判定 核心区别 SSS SSS（三边对应成比例） 全等：边长相等；相似：边长比值相等 SAS SAS（两边成比例 + 夹角相等） 全等：边长相等；相似：边长成比例 ASA、AAS AA（两角对应相等） 相似无需边条件 HL（Rt△） 斜边、直角边对应成比例（Rt△） 全等：长度相等；相似：长度成比例 知识点07：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点 08：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 1． 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 2． 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 3． 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 知识点09：高频易错点汇总 易错知识 典型错误 正确标准 相似书写规范 顶点不按对应顺序书写 △ABC△DEF，顶点一一对应，快速找准对应边角 SAS 相似判定 两边成比例 + 非夹角相等直接判定相似 夹角必须是两组对应边中间的角 面积比运算 把面积比直接当作相似比；忘记平方 已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开算术平方根 线段混淆 随便选取非对应高、中线列式计算 只有对应线段的比值等于相似比 预备定理滥用 无平行线强行套用 A 型、8 字型相似 必须满足DEBC才能直接使用预备定理 题型1.利用平行判定相似 【典例】如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，则的值为______． 【跟踪专练2】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 题型 2.两角对应相等判定相似 【典例】已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【跟踪专练2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 题型3.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【跟踪专练1】如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 题型4.三边对应成比例判定相似 【典例】一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【跟踪专练1】如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 题型5.相似三角形的判定综合 【典例】如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【跟踪专练2】已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（    ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 题型6.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是_____． 【跟踪专练2】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 题型7.由相似三角形的性质求解 【典例】若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，，则的长为_______． 【跟踪专练2】如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型8.证明三角形对应线段成比例 【典例】如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ________． 【跟踪专练2】如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 题型9.利用相似求坐标 【典例】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【跟踪专练2】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型10.网格中构造相似三角形 【典例】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【跟踪专练2】如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型11.相似三角形动点问题 【典例】如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【跟踪专练1】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【跟踪专练2】如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 题型12.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【跟踪专练1】如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【跟踪专练2】如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 题型13.相似三角形的实际应用 【典例】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【跟踪专练1】如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【跟踪专练2】中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 解答题 1．已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 2．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 3．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 4．如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 5．如图①，在梯形中，，且是的中点，是边上的动点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若是的中点，，求的长； (3)如图②，若其他条件不变，且平分是线段上的动点，则是否存在点，使得？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 6．如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 7．如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 8．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $