专题05比例线段暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题05比例线段暑假预习讲义 1. 理解两条线段的比、成比例线段的定义，牢记计算线段比必须统一长度单位，熟练掌握四条线段是否成比例的两种判定方法，分清比例外项、内项、第四比例项、比例中项的概念含义。 2. 熟记比例基本性质、合比性质、等比性质，能够灵活对比例式进行正向、逆向变形换算，依托性质完成代数式求值、线段长度基础计算，夯实相似三角形计算的代数基础。 3. 认识黄金分割的概念，熟记黄金分割点特征与黄金比近似值0.618，会进行线段黄金分割相关简单运算，感知黄金分割在生活、几何图形中的应用价值。 4. 初步了解平行线分线段成比例基本事实及其推论，看懂图形中平行线截取线段的比例关系，能够借助推论列出线段比例等式，为后续推导三角形相似判定定理做好铺垫。 5. 梳理本节高频易错点：线段比忘记统一单位、比例中项与第四比例项概念混淆、等比性质使用前提遗漏；搭建代数比例与几何线段的关联思维，完整开启相似形章节的学习体系。 预习必备 知识梳理 1.线段的比 2.成比例线段 3.比例的基本性质及衍生性质 4.黄金分割 5.平行线分线段成比例 6.相似多边形的定义 7.相似多边形的相似比 8.相似多边形的性质 9.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相似图形 2.相似多边形 3.相似多边形的性质 4.成比例线段 5.比例的性质 6.比例线段 7.黄金分割 8.由平行判断成比例线段 9.由平行截线求象线段的长或比值 强化题型 解答题6题 知识点 1 线段的比 1.定义 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 若线段a长度为m，线段b长度为n，则两条线段的比记作： a:b=m:n或= 2.重要要点 1 求线段的比时，两条线段必须统一长度单位； 2 线段的比是一个没有单位的正数； 3 a:b b:a（前后顺序不能随意颠倒）。 知识点 2 成比例线段（比例线段） 1.定义 四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 =那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 2.相关名称 = a、d：比例外项 b、c：比例内项 d：a,b,c 的第四比例项 3.比例中项 若 =（b 同时为内项），则称 b 是 a、c 的比例中项。 推导得到等积式：b2=ac。 ⚠️区分：线段的比例中项一定为正数；数的比例中项有正负两个。 知识点 3 比例的基本性质及衍生性质 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 4 黄金分割（本节重难点） 1.定义 把一条线段AB分成两条线段AP、PB(AP>PB)，使较长线段AP是整条线段AB与较短线段PB的比例中项，即： AP2=ABPB 就称点P把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。 2.黄金比 3.重要结论 ① 一条线段上有两个黄金分割点； ② 较长线段 = AB； 较短线段 =AB- AB=AB 【注】上图为黄金分割点尺规作图方法 知识点5:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点 6 相似多边形定义 两个边数相同的多边形，如果各对应角相等，各对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等； ② 所有对应边对应成比例。 书写规范：对应顶点按顺序书写， 例如： 四边形ABCD四边形A'B'C'D' 知识点 7相似多边形的相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 若四边形ABCD四边形A'B'C'D'，相似比为k； 则四边形A'B'C'D'四边形ABCD的相似比为。 知识点8：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点9高频易错点汇总 易错知识 典型错误 正确标准 比例线段顺序 随意调换四条线段顺序判定成比例 四条线段有序，，=不能随便写成= 单位问题 计算线段比不统一单位 求线段比前必须统一长度单位 比例中项混淆 线段比例中项求出负值 线段长度为正数，只取正根 等比性质条件 忽略分母之和≠0 直接使用等比性质 使用等比性质必须保证所有分母相加不为 0 黄金分割理解 分不清较长段、较短线段公式 黄金比≈0.618，是较长线段：整条线段 平行线分线段 线段不对应就列比例 严格找准被平行线截取的对应线段 题型1.相似图形 【典例】如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（    ） A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握：把形状相同的图形叫做相似图形，相似图形之间的互相变换称为相似变换．据此分析即可． 【详解】解：用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，属于图形的形状相同，大小不相同， ∴这种图形的变换是相似变换． 故选：A． 【跟踪专练1】下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案． 【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似， 故选C． 题型2.相似多边形 【典例】下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断． 【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误； （2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确； （3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确； （4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑． 【跟踪专练1】如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 【答案】 【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴， 则， ∴， ∴这些型号的复印纸的长宽之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【跟踪专练2】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 题型3.相似多边形的性质 【典例】如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【答案】60 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：设放大后的长为， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴放大后的长为， 放大后的矩形的面积． 【跟踪专练1】如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 【跟踪专练2】报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和， ∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似， ∴原矩形与新矩形的边比相等，， ， ， ∴， 即矩形较短边与长边的比应是， 故选：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为__________. 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 题型4.成比例线段 【典例】小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【答案】 25 【分析】本题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺是解题关键．设实际长度为厘米，根据比例列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设实际长度为厘米， ∴， ∴， 故实际长度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 【跟踪专练2】下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、， 长分别为，，，的四条线段是成比例线段，符合题意； B、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 题型5.比例的性质 【典例】若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 【跟踪专练1】若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，通过交叉相乘将比例方程转化为线性方程，再求解x与y的比值． 【详解】解：由已知， 交叉相乘得， 展开得， 移项得， 即， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简求值，由已知方程化简得到，然后代入所求表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选D． 题型6.比例线段 【典例】已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴． 【跟踪专练1】在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为______ ． 【答案】28 【分析】本题考查了比例线段，根据，得，结合四边形的周长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：28． 【跟踪专练2】如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么_____． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论． 【详解】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项， ∴， ∴根据黄金分割的定义可得出：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 【跟踪专练3】已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（    ） A． B． C．0.618 D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割比求出AP，PB计算即可； 【详解】∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 令， ∴， ， ∴； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键． 题型7.黄金分割 【典例】如图，一支打开的圆珠笔的长约为，若笔帽边沿上的点恰是这支笔的一个黄金分割点，则笔尖到笔帽边沿的距离的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 利用黄金分割点定义进行求解即可． 【详解】解：根据黄金分割点可得， ∵，， ∴， ∴的长是， 故选：A． 【跟踪专练1】地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，把代入计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，乐器板面上的一根弦，支撑点是的一个黄金分割点，则、之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，掌握相关知识是解题的关键．根据黄金分割的概念和黄金比值直接求即可． 【详解】解：点是的一个黄金分割点，， ， 故选：A． 题型8.由平行判断成比例线段 【典例】已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 题型9.由平行截线求象线段的长或比值 【典例】如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 【跟踪专练1】如图，已知直线，，分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且． （1）如果，，，则的长为________． （2）如果，，则的长为________． 【答案】 6 15 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键， （1）根据平行得出，计算求出即可； （2）根据平行得出，计算求出，进而求出结论即可． 【详解】解：（1）， ， ，，， ， ， 故答案为：6 （2）， ， ，， ， ， ， 故答案为：15． 【跟踪专练2】如图，，，，，当______时，． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，根据平行线分线段对应成比例可得，代入数据计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 解答题 1．如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵四边形∽四边形 ∴． 解得， ∴． 2．已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 3．已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 则． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则x的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 4．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 【答案】解：设，则， 设，即，， ∵为直角三角形， ∴，即，化简得， ∴，（舍去）， ∴ 即 ， ∴所以点为黄金分割点． 【分析】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，设，则，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】略 5．如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．在中，已知是的角平分线，求证：． 【答案】证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行线分线段成比例定理可证结论成立． 【详解】略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05比例线段暑假预习讲义 1. 理解两条线段的比、成比例线段的定义，牢记计算线段比必须统一长度单位，熟练掌握四条线段是否成比例的两种判定方法，分清比例外项、内项、第四比例项、比例中项的概念含义。 2. 熟记比例基本性质、合比性质、等比性质，能够灵活对比例式进行正向、逆向变形换算，依托性质完成代数式求值、线段长度基础计算，夯实相似三角形计算的代数基础。 3. 认识黄金分割的概念，熟记黄金分割点特征与黄金比近似值0.618，会进行线段黄金分割相关简单运算，感知黄金分割在生活、几何图形中的应用价值。 4. 初步了解平行线分线段成比例基本事实及其推论，看懂图形中平行线截取线段的比例关系，能够借助推论列出线段比例等式，为后续推导三角形相似判定定理做好铺垫。 5. 梳理本节高频易错点：线段比忘记统一单位、比例中项与第四比例项概念混淆、等比性质使用前提遗漏；搭建代数比例与几何线段的关联思维，完整开启相似形章节的学习体系。 预习必备 知识梳理 1.线段的比 2.成比例线段 3.比例的基本性质及衍生性质 4.黄金分割 5.平行线分线段成比例 6.相似多边形的定义 7.相似多边形的相似比 8.相似多边形的性质 9.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相似图形 2.相似多边形 3.相似多边形的性质 4.成比例线段 5.比例的性质 6.比例线段 7.黄金分割 8.由平行判断成比例线段 9.由平行截线求象线段的长或比值 强化题型 解答题6题 知识点 1 线段的比 1.定义 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 若线段a长度为m，线段b长度为n，则两条线段的比记作： a:b=m:n或= 2.重要要点 1 求线段的比时，两条线段必须统一长度单位； 2 线段的比是一个没有单位的正数； 3 a:b b:a（前后顺序不能随意颠倒）。 知识点 2 成比例线段（比例线段） 1.定义 四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 =那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 2.相关名称 = a、d：比例外项 b、c：比例内项 d：a,b,c 的第四比例项 3.比例中项 若 =（b 同时为内项），则称 b 是 a、c 的比例中项。 推导得到等积式：b2=ac。 ⚠️区分：线段的比例中项一定为正数；数的比例中项有正负两个。 知识点 3 比例的基本性质及衍生性质 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 4 黄金分割（本节重难点） 1.定义 把一条线段AB分成两条线段AP、PB(AP>PB)，使较长线段AP是整条线段AB与较短线段PB的比例中项，即： AP2=ABPB 就称点P把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。 2.黄金比 3.重要结论 ① 一条线段上有两个黄金分割点； ② 较长线段 = AB； 较短线段 =AB- AB=AB 【注】上图为黄金分割点尺规作图方法 知识点5:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点 6 相似多边形定义 两个边数相同的多边形，如果各对应角相等，各对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等； ② 所有对应边对应成比例。 书写规范：对应顶点按顺序书写， 例如： 四边形ABCD四边形A'B'C'D' 知识点 7相似多边形的相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 若四边形ABCD四边形A'B'C'D'，相似比为k； 则四边形A'B'C'D'四边形ABCD的相似比为。 知识点8：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点9高频易错点汇总 易错知识 典型错误 正确标准 比例线段顺序 随意调换四条线段顺序判定成比例 四条线段有序，，=不能随便写成= 单位问题 计算线段比不统一单位 求线段比前必须统一长度单位 比例中项混淆 线段比例中项求出负值 线段长度为正数，只取正根 等比性质条件 忽略分母之和≠0 直接使用等比性质 使用等比性质必须保证所有分母相加不为 0 黄金分割理解 分不清较长段、较短线段公式 黄金比≈0.618，是较长线段：整条线段 平行线分线段 线段不对应就列比例 严格找准被平行线截取的对应线段 题型1.相似图形 【典例】如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（    ） A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【跟踪专练1】下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【跟踪专练2】如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 题型2.相似多边形 【典例】下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练1】如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 【跟踪专练2】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【跟踪专练3】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 题型3.相似多边形的性质 【典例】如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【跟踪专练1】如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为__________. 题型4.成比例线段 【典例】小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【跟踪专练1】已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪专练3】书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 题型5.比例的性质 【典例】若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则的值是________ ． 【跟踪专练2】已知，则__________． 【跟踪专练3】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型6.比例线段 【典例】已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为______ ． 【跟踪专练2】如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么_____． 【跟踪专练3】已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（    ） A． B． C．0.618 D． 题型7.黄金分割 【典例】如图，一支打开的圆珠笔的长约为，若笔帽边沿上的点恰是这支笔的一个黄金分割点，则笔尖到笔帽边沿的距离的长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为________．（结果保留根号） 【跟踪专练3】如图，乐器板面上的一根弦，支撑点是的一个黄金分割点，则、之间的距离是（    ） A． B． C． D． 题型8.由平行判断成比例线段 【典例】已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【跟踪专练2】如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 题型9.由平行截线求象线段的长或比值 【典例】如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练1】如图，已知直线，，分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且． （1）如果，，，则的长为________． （2）如果，，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，，，，，当______时，． 【跟踪专练3】如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 解答题 1．如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 2．已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 3．已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 4．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 5．如图，在矩形中，若，求的长度． 6．在中，已知是的角平分线，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $