26.3.2 二次函数与一元二次方程（第2课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程近似根（二分法）及不等式解集，通过表格复习旧知（抛物线与x轴交点和方程根的关系），快速判断题巩固，搭建从精确到近似、等量到不等量的认知支架。 资料以数形结合为核心，动态演示二分法培养几何直观，分类讨论a的正负发展推理能力，分层检测题提升应用意识。帮助学生内化方法，教师易操作，有效提升课堂效率与学生数学素养。

26.3.2 二次函数与一元二次方程（第2课时）教学设计 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生：能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想在解决问题中的价值；能借助函数图象理解一元二次不等式的解集，发展几何直观和推理能力。 二、教材分析 第1课时学生已经建立了二次函数图象与一元二次方程根之间的对应关系（ 决定交点个数，交点横坐标就是方程的根）。本节课在此基础上向前推进两步：一是利用函数图象求方程的近似根（二分法），二是从函数图象出发理解一元二次不等式的解集。 本节设计逻辑是“方程→近似根→不等式”，体现了从精确到近似、从等量关系 到 不等量关系的认知进阶。其中“利用图象求近似根”是函数应用的基本技能，而“函数与不等式的关系”则是数形结合思想的又一重要载体，为后续学习二次不等式的解法奠定基础。 三、学情分析 学生在第1课时已经掌握了“抛物线与 轴的交点横坐标就是方程的根”这一核心结论，具备了从图象上读取信息的基本能力。但学生的困难在于：一是从“读交点”到“读不等式解集”的思维跨越——需要理解“抛物线在 轴上方”与“”与“”三者之间的等价关系；二是二分法的操作过程对学生来说比较陌生，需要借助动态演示来建立直观感受。 因此，教学中应通过大量的图象观察练习，让学生在“看图→判断→写解集”的反复操练中内化方法，同时用二分法的动态演示降低理解门槛。 四、教学目标 1. 掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似根的方法（图象法和二分法），能根据图象确定方程根的大致范围并逐步逼近精确值。 1. 理解二次函数 的图象与一元二次不等式 （或 ）的解集之间的对应关系，能根据函数图象直接写出一元二次不等式的解集。 1. 经历“画图—观察位置—判断正负—写出解集”的探究过程，进一步发展数形结合思想和几何直观能力。 1. 在探究二次函数与不等式的关系时，体会“等与不等”的辩证关系，感受数学知识之间的内在联系。 五、教学重点与难点 教学重点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；理解二次函数图象与一元二次不等式解集的关系。 教学难点：从函数图象上“看出”不等式的解集，特别是当 时需要先转化为 的情况再求解。 六、教具准备 多媒体课件（含二分法动态演示）、直尺、坐标纸、学生课堂练习单。 七、教学过程 环节一：复习引入 【教师活动】 课件出示复习回顾表格，引导学生填写： 二次函数 的图象与 轴交点 一元二次方程 的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 追问：如果告诉你 ，你能从图象上读出什么信息？ 学生回答后，课件出示快速判断题： 下列抛物线中，与 轴有两个交点的是（ ） A. B. C. D. 引导学生快速计算判别式： A. ，有两个交点 ✓ B. ，无交点 C. ，一个交点 D. ，无交点 答案：A 【学生活动】 学生回忆第1课时的核心结论，填写表格。计算各选项的判别式，快速判断交点个数。 【设计意图】 通过表格复习和第1课时的核心结论，激活旧知。快速判断题既检验学生对 与交点关系的掌握程度，也为后续“从图象看方程和不等式”做铺垫。 环节二：探究新知·近似根 【教师活动】 课件出示问题：利用函数图象求一元二次方程的近似根。 以方程 为例，课件展示二次函数 的图象。 图1：利用图象求方程近似根 提问：从图象上看，抛物线与 轴有两个交点，但交点的横坐标不是整数，怎么求？ 引导学生观察：两个交点分别在哪个整数之间？ 学生观察图象后回答：一个交点在 和 之间，另一个交点在 和 之间。 教师追问：由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的。为了得到更精确的近似根，你还能想到什么办法？ 课件演示二分法： 以 （ 和 之间的根）为例： 第1步：取 ，计算 ，说明根在 和 之间。 第2步：取 ，计算 ，说明根在 和 之间。 第3步：不断缩小范围，直到达到要求的精确度。 课件动态演示二分法的逼近过程，让学生直观感受“不断缩小范围”的思想。 总结利用函数图象求一元二次方程近似根的步骤： （1）画出相应二次函数的图象，确定方程根的大致范围。 （2）用二分法不断缩小根所在的范围，直到达到要求的精确度。 （3）写出方程的近似根。 【学生活动】 学生观察课件上的函数图象，找出两个根的大致范围（，）。 跟随教师的二分法演示，理解“取中点—计算函数值—判断根在哪一侧—继续缩小”的过程。 在坐标纸上画出 的简图，标出两个根的近似位置。 课堂练习 课件出示教材P49练习第3题： 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1） （2） 课件展示两个函数的图象，引导学生观察交点位置： （1）， （2）， 【设计意图】 二分法是连接“粗略观察”和“精确求解”的桥梁。通过动态演示，学生能直观理解“不断逼近”的思想，体会函数图象在求解方程中的实际应用价值。这道练习让学生从“看懂”到“会做”，巩固图象法求近似根的技能。 环节三：探究新知·二次函数与不等式 【教师活动】 课件出示问题： 如图是函数 的图象，根据图象回答问题： （1）方程 的根是多少？ （2） 取什么值时，函数值大于 ？ （3） 取什么值时，函数值小于 ？ 课件展示抛物线 的图象，标注与 轴的交点 和 。 图2：二次函数与不等式的关系 引导学生逐一回答： （1）方程的根就是交点的横坐标：，。 （2）函数值大于 ，意味着 ，也就是抛物线在 轴上方。从图象上看，当 或 时，抛物线在 轴上方。 （3）函数值小于 ，意味着 ，也就是抛物线在 轴下方。从图象上看，当 时，抛物线在 轴下方。 教师板书关键等式： （抛物线在 轴上方） （抛物线在 轴下方） 追问：那么，不等式 的解集是什么？ 学生回答： 或 。 教师总结： 抛物线 在 轴上方的点对应的 的所有值是不等式 的解集； 抛物线 在 轴下方的点对应的 的所有值是不等式 的解集。 【学生活动】 学生观察课件上的函数图象，回答三个问题： （1）从图象上读出交点横坐标：，。 （2）观察图象，找出抛物线在 轴上方的部分对应的 范围：当 或 时，函数值大于 。 （3）观察图象，找出抛物线在 轴下方的部分对应的 范围：当 时，函数值小于 。 学生理解并记录关键等式：，。 探究·分类讨论 课件出示两张表格，分别讨论 和 两种情况： 当 时（抛物线开口向上） 的取值 抛物线与 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 当 时（抛物线开口向下） 的取值 抛物线与 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 不等式 的解集 或 全体实数 教师强调：当 时，不等式的解集与 时正好相反。实际操作中，可以先将不等式两边同乘以 （注意变号），转化为 的情况再求解。 【设计意图】 这是本节课的核心环节。从“方程的根”到“不等式的解集”，学生需要完成一次思维跨越：从“点”（交点）到“区间”（解集）。通过具体的函数图象，学生能直观看到“抛物线在 轴上方”与“”与“ 的解集”三者之间的等价关系。两张表格的分类讨论帮助学生建立完整的认知框架，理解 的正负如何影响解集的形式。 环节四：归纳总结 【教师活动】 课件出示本节课知识结构图： 二次函数与一元二次方程/不等式 ┌─────────────┴─────────────┐ 数的角度 形的角度 方程 ax²+bx+c=0 抛物线 y=ax²+bx+c 不等式 ax²+bx+c>0(<0) 图象在x轴上方/下方 │ │ 根/解集 ←———— 交点/位置 ————→ 解集/根 │ │ Δ>0 → 两个根 ↔ 两个交点 Δ=0 → 一个根 ↔ 一个交点 Δ<0 → 无根 ↔ 无交点 不等式解集：看抛物线在x轴的哪一侧 教师总结： （1）利用函数图象求方程近似根：画图→确定范围→二分法逼近。 （2）利用函数图象解不等式：画图→看抛物线在 轴上方/下方的部分→写出对应的 范围。 （3）核心思想：数形结合——用“形”（图象位置）来理解“数”（方程的根、不等式的解集）。 【学生活动】 学生对照知识结构图，用自己的话复述“如何从图象上看方程的根”和“如何从图象上看出不等式的解集”。 【设计意图】 结构图将第2课时的两个核心内容（近似根和不等式）与第1课时的结论串联起来，形成完整的知识体系。最后的开放性问题检验学生能否在数与形之间自由切换。 环节五：当堂检测 【A层·基础巩固】 1. 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴的一个交点为 ，则关于 的不等式 的解集为 ______。 （提示：由对称轴 和一个交点 ，可得另一个交点为 。不等式 对应抛物线在 轴下方或在 轴上的部分，即 。） 【B层·能力提升】 1. 二次函数 的图象如图所示，请根据图象信息回答问题： （1）写出方程 的两根； （2）写出不等式 的解集； （3）写出方程 的两根。 （答案：（1），；（2） 或 ；（3），） 【C层·拓展挑战】 1. 若二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的一个解为 ，另一个解为 ______，不等式 的解集为 ______。 （提示：由对称性， 关于对称轴 的对称点为 。不等式 对应抛物线在 轴下方的部分，即 或 。） 1. 如图，抛物线 与坐标轴交于 ， 两点，直线 与抛物线交于 ， 两点，已知点 的坐标为 。 （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求出点 的坐标，并结合图象直接写出不等式 的解集。 （答案：（1）抛物线 ，直线 ；（2），不等式解集为 ） 【教师活动】 学生独立完成练习单，教师巡视，重点关注第1题（是否能利用对称性找到另一个交点）和第4题（是否能将不等式转化为“抛物线与直线的位置关系”来理解）。 【学生活动】 学生独立完成检测题，完成后同桌互批。 【设计意图】 A层考查利用对称性求不等式解集的基本技能。B层综合性较强，需要同时处理方程、不等式和“令 ” 的变式。C层第3题利用对称性求另一个根和解集，第4题是压轴题，涉及抛物线与直线的交点、不等式解集的综合应用，考查学生能否将“不等式”转化为“两条曲线的位置关系”来理解。三层递进，兼顾不同水平的学生。 环节六：课堂小结（5分钟） 【教师活动】 课件出示本节课核心要点： （1）利用函数图象求方程近似根的步骤：画图→确定范围→二分法逼近→写出近似根。 （2）利用函数图象解不等式的步骤：画图→看抛物线在 轴上方/下方的部分→写出对应的 范围。 （3）当 时，可先转化为 的情况再求解。 （4）核心思想：数形结合——用“形”（图象位置）来理解“数”（方程的根、不等式的解集）。 追问：通过这两节课的学习，你觉得二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间是什么关系？ 学生思考后回答：它们说的是同一件事，只是从不同的角度看。方程看“交点”，不等式看“图象在 轴的哪一侧”，本质上都是“数”与“形”的对应。 【学生活动】 学生回顾本节课内容，思考教师提出的综合性问题，用自己的话表述三者的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $