26.3.2 二次函数与一元二次方程（第2课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3.2 二次函数与一元二次方程（第2课时）教学设计

一、课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生：能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想在解决问题中的价值；能借助函数图象理解一元二次不等式的解集，发展几何直观和推理能力。

二、教材分析

第1课时学生已经建立了二次函数图象与一元二次方程根之间的对应关系（ 决定交点个数，交点横坐标就是方程的根）。本节课在此基础上向前推进两步：一是利用函数图象求方程的近似根（二分法），二是从函数图象出发理解一元二次不等式的解集。

本节设计逻辑是“方程→近似根→不等式”，体现了从精确到近似、从等量关系 到 不等量关系的认知进阶。其中“利用图象求近似根”是函数应用的基本技能，而“函数与不等式的关系”则是数形结合思想的又一重要载体，为后续学习二次不等式的解法奠定基础。

三、学情分析

学生在第1课时已经掌握了“抛物线与 轴的交点横坐标就是方程的根”这一核心结论，具备了从图象上读取信息的基本能力。但学生的困难在于：一是从“读交点”到“读不等式解集”的思维跨越——需要理解“抛物线在 轴上方”与“”与“”三者之间的等价关系；二是二分法的操作过程对学生来说比较陌生，需要借助动态演示来建立直观感受。

因此，教学中应通过大量的图象观察练习，让学生在“看图→判断→写解集”的反复操练中内化方法，同时用二分法的动态演示降低理解门槛。

四、教学目标

1. 掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似根的方法（图象法和二分法），能根据图象确定方程根的大致范围并逐步逼近精确值。
2. 理解二次函数 的图象与一元二次不等式 （或 ）的解集之间的对应关系，能根据函数图象直接写出一元二次不等式的解集。
3. 经历“画图—观察位置—判断正负—写出解集”的探究过程，进一步发展数形结合思想和几何直观能力。
4. 在探究二次函数与不等式的关系时，体会“等与不等”的辩证关系，感受数学知识之间的内在联系。

五、教学重点与难点

教学重点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；理解二次函数图象与一元二次不等式解集的关系。

教学难点：从函数图象上“看出”不等式的解集，特别是当 时需要先转化为 的情况再求解。

六、教具准备

多媒体课件（含二分法动态演示）、直尺、坐标纸、学生课堂练习单。

七、教学过程

环节一：复习引入

【教师活动】

课件出示复习回顾表格，引导学生填写：

二次函数 的图象与 轴交点	一元二次方程 的根
有两个交点	有两个不相等的实数根
有一个交点	有两个相等的实数根
没有交点	没有实数根

追问：如果告诉你 ，你能从图象上读出什么信息？

学生回答后，课件出示快速判断题：

下列抛物线中，与 轴有两个交点的是（ ）

1. B.

 C. D.

引导学生快速计算判别式：

A. ，有两个交点 ✓

B. ，无交点

C. ，一个交点

D. ，无交点

答案：A

【学生活动】

学生回忆第1课时的核心结论，填写表格。计算各选项的判别式，快速判断交点个数。

【设计意图】

通过表格复习和第1课时的核心结论，激活旧知。快速判断题既检验学生对 与交点关系的掌握程度，也为后续“从图象看方程和不等式”做铺垫。

环节二：探究新知·近似根

【教师活动】

课件出示问题：利用函数图象求一元二次方程的近似根。

以方程 为例，课件展示二次函数 的图象。

 

 

 

 

 

图1：利用图象求方程近似根 

提问：从图象上看，抛物线与 轴有两个交点，但交点的横坐标不是整数，怎么求？

引导学生观察：两个交点分别在哪个整数之间？

学生观察图象后回答：一个交点在 和 之间，另一个交点在 和 之间。

教师追问：由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的。为了得到更精确的近似根，你还能想到什么办法？

课件演示二分法：

以 （ 和 之间的根）为例：

第1步：取 ，计算 ，说明根在 和 之间。