1.1.3 集合之间的关系（课件）-人教版2021版《数学 上册》《上好课》

该中职数学课件聚焦集合之间的关系，系统讲解子集、真子集、集合相等的定义及符号⊆、⫋、=、⊈的规范使用，通过问题导入如平行四边形与四边形的包含关系、集合G和H的元素对比，衔接集合概念，搭建学习支架帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于运用维恩图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），通过例题推导子集个数公式发展推理能力（数学思维），强调符号与语言规范提升表达能力（数学语言）。如例1有序枚举子集、例2判断集合关系，师生互动辨析符号使用，助力学生扎实掌握概念，教师可依托结构化流程提升教学效率。

1.1.3 集合之间的 关系 第一章 集合 ·人教版2021版 上册· 学习目标 1、理解子集、真子集、集合相等的定义，能规范书写符号⊆、⫋、=、⊈，分清∈（元素与集合）、⊆（集合与集合）使用场景； 2、掌握有序枚举有限集合全部子集、真子集的方法； 3、会用维恩图直观表示集合间的包含与相等关系，能将图形语言转化为符号语言。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 新课导入 1.1.3 集合之间的关系 问题导入 提问：任意一个平行四边形是否都属于四边形？是否存在四边形不属于平行四边形？ 答：所有平行四边形都是四边形；梯形、不规则普通四边形属于四边形，但不属于平行四边形。 观察以下两组集合 第一组 E={x∣x是平行四边形}， F={x∣x是四边形} 第二组 G={1,2,3}，H={x∣(x−1)(x−2)(x−3)=0} 问题导入 提问：求解集合G的元素，对比集合G和H，两者元素有什么联系？ 答：解方程(x−1)(x−2)(x−3)=0，解得x=1、2、3，G与H包含完全相同的元素。 观察以下两组集合 第一组 E={x∣x是平行四边形}， F={x∣x是四边形} 第二组 G={1,2,3}，H={x∣(x−1)(x−2)(x−3)=0} 问题导入 总结：两组集合呈现了两种不同的关系，第一组中E的全部元素都属于集合F，第二组中两个集合的元素完全相同，今天我们将学习如何用数学语言表示这两类关系。 探索新知 1.1.3 集合之间的关系 子集 定义：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B，读作“A包含于B”（或记作B⊇A，读作“B包含A”）。 说明：若存在元素属于A但不属于B，记作A⊈B，读作“A不包含于B”（或记作B⊉A，读作“B不包含A”）。 子集 思考：对于任意集合A是否有A⊆A？ 答：集合A内部所有元素一定属于自身，符合子集定义，因此任何集合都是自身的子集。 提问：对于平行四边形集合E、四边形集合F，如何用子集符号表示二者关系？ 答：E⊆F。 子集 空集第一条规定：空集⌀是任意集合A的子集，写作⌀⊆A。 思考：为什么数学规定空集是所有集合的子集？ 答：空集内部不存在任何元素，不存在元素不属于集合A的反例，逻辑上满足子集判定条件。 真子集 定义：若A⊆B，并且集合B中至少存在一个元素不属于集合A，则称A是B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”（或记作B⫌A，读作“B真包含A”）。 真子集 提问：平行四边形集合E与四边形集合F是否为真子集关系？理由是什么？ 答：是真子集；因为E⊆F，而梯形属于F但不属于E，满足真子集判定条件，所以E⫋F。 真子集 空集第二条规定：空集是任意非空集合的真子集，写作⌀⫋A (A≠⌀)。 提问辨析：⌀⫋{0}、⌀⫋⌀两个式子是否正确？ 答：⌀⫋{0}正确，{0}是非空集合；⌀⫋⌀错误，空集不存在不属于自身的元素，不满足真子集条件。 真子集 维恩图：如图，两个封闭圆圈，小圆圈（集合A）完全置于大圆圈（集合B）内部代表A⫋B。 A B 真子集 子集传递性质 ①子集传递：A⊆B，B⊆C 则 A⊆C ②真子集传递：A⫋B，B⫋C 则 A⫋C 提问：正方形、菱形、平行四边形满足怎样传递关系？ 答：{正方形}⫋{菱形}⫋{平行四边形} 集合相等 集合相等：集合A与集合B包含的所有元素完全一致，则称两个集合相等，记作A=B。 说明：由相等的定义可得，如果A⊆B且B⊆A 那么A=B；反之，如果 A=B那么A⊆B且B⊆A。 A (B) 集合相等 提问：G={1,2,3}、H={x∣(x−1)(x−2)(x−3)=0}，请用子集语言说明G=H的原因。 答：G全部元素都在H内，满足G⊆H；H全部元素都在G内，满足H⊆G，同时双向成立，因此G=H。 集合相等 辨析：a∈{a,b}与{a}⊆{a,b}书写逻辑有什么区别，能否混用？ 答：不能混用；∈用于描述单个元素与集合的关系；⊆用于描述两个集合之间的包含关系；小写字母是元素，带大括号整体是集合。 例题讲解 解析：步骤1：空集是所有集合的子集，优先书写⌀； 步骤2：只含1个元素的子集，依次单独列出：{1},{2},{3}； 步骤3：2个元素两两组合，不重复搭配：{1,2},{1,3},{2,3}； 步骤4：包含全部3个元素，即集合本身{1,2,3}； 真子集判定规则：所有子集剔除集合自身，剩余全部为真子集。 答案：全部子集：⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} 全部真子集：⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} 例1 写出集合A={1,2,3}全部子集、全部真子集。 探索研究 提问：拥有n个元素的集合，子集总个数通用公式是什么？ 答：子集总个数为2n。 提问：真子集总个数公式是什么？ 答：剔除集合自身，真子集个数为2n−1。 1个元素{a}：子集⌀、{a}，共2=21个 2个元素{a,b}：子集⌀,{a},{b},{a,b}，共4个，4=22 3个元素{a,b,c}：子集8个（例1结论），8=23 4个元素{a,b,c,d}：子集16个（自行推导），16=24 探索研究 提问：空集有0个元素，代入公式计算子集个数是多少？ 答：20=1，空集唯一的子集就是自身⌀。 1个元素{a}：子集⌀、{a}，共2=21个 2个元素{a,b}：子集⌀,{a},{b},{a,b}，共4个，4=22 3个元素{a,b,c}：子集8个（例1结论），8=23 4个元素{a,b,c,d}：子集16个（自行推导），16=24 例题讲解 （1）解析：B所有元素2、5均在A内部，A存在4、7不属于B，满足真子集条件 答案：B⫋A （2）解析：解方程x2=1得x=±1，化简E={−1,1}，E、F元素完全相同 答案：E=F 例2判断三组集合关系 (1)A={2,4,5,7},B={2,5} (2)E={x∣x2=1},F={−1,1} (3)G={x∣x是菱形}, H={x∣x是平行四边形} 例题讲解 （3）解析：全部菱形都属于平行四边形，普通平行四边形不是菱形，满足真子集条件 答案：G⫋H 例2判断三组集合关系 (1)A={2,4,5,7},B={2,5} (2)E={x∣x2=1},F={−1,1} (3)G={x∣x是菱形}, H={x∣x是平行四边形} 知识记忆 1.1.3 集合之间的关系 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 1. 子集定义：若集合A所有元素都属于B，称A是B的_________，符号______ ；A不是B子集记作______。 2. 真子集：A⊆B且B存在元素不属于A，符号______；空集是任意______集合的真子集。　 3. 集合相等：______且______，记作A=B。 子集 A⊆B A⊈B A⫋B 非空 A⊆B B⊆A 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 知识记忆 4. 两条空集规定：①⌀是_____________的子集；②⌀⫋A成立的前提是________________。　　　　 5. n个元素集合：子集总个数______；真子集总个数________。 6. 符号区分：描述元素与集合用______；描述集合与集合包含关系用___________。 7. 五大数集包含链条：N+⫋______⫋______⫋______⫋R 任意集合 A是非空集合 −1 ∈ ⊆、⫋ N Z Q 师生互动 1.1.3 集合之间的关系 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、随机提问 提问1：判断书写正误：2⊆{1,2,3}，说明理由 答：错误，数字2是独立元素，元素与集合从属关系只能使用∈，标准正确写法2∈{1,2,3}。 提问2：判断⌀⊆{1,3,5}、⌀⫋{1,3,5}两个式子是否全部正确？ 答：均正确；空集是任意集合的子集，{1,3,5}为非空集合，空集同时是它的真子集。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 2、抢答：① Z和Q是什么集合关系？ ② {x∣x是正方形}与{x∣x是矩形}的关系？ 答：①Z⫋Q；{x∣x是正方形}⫋{x∣x是矩形}。 当堂检测 1.1.3 集合之间的关系 练习 解析：(1)数字3是集合内单个元素，元素从属使用符号∈； (2){3,5}所有元素均属于大集合，大集合存在元素2不在小集合内，属于真子集，填⫋； (3)两个集合包含元素完全一致，满足集合相等判定条件，填=； 例1 选用合适符号∈、⊆、⫋、= 填空 (1)3______{2,3,5} (2){3,5}______{2,3,5} (3){5,3,2}______{2,3,5} (4)⌀______{2,3,5} 练习 (4){2,3,5}为非空集合，空集是其真子集，填⫋； 答案：(1)∈ (2)⫋ (3)= (4)⫋ 例1 选用合适符号∈、⊆、⫋、= 填空 (1)3______{2,3,5} (2){3,5}______{2,3,5} (3){5,3,2}______{2,3,5} (4)⌀______{2,3,5} 练习 解析：第一步：空集⌀； 第二步：单元素子集{2},{4},{6}； 第三步：双元素子集{2,4},{2,6},{4,6}； 第四步：全部三元素集合{2,4,6}； 真子集为全部子集剔除集合自身；集合共3个元素，子集总数23=8，真子集数量8−1=7； 例2 写出集合B={2,4,6}所有子集与真子集，计算两类集合个数验证2n公式 练习 答案：子集：⌀,{2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6}（共8个） 真子集：⌀,{2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6}（共7个） 例2 写出集合B={2,4,6}所有子集与真子集，计算两类集合个数验证2n公式 练习 解析：正方形四条边长相等，属于菱形范畴；存在内角不等于90°的菱形，不属于正方形，满足真子集判定条件； 答案：P⫋Q 例3 判断集合P={x∣x是正方形}、Q={x∣x是菱形}之间的关系，书写规范符号 练习 解：解方程x2−4=0，因式分解(x−2)(x+2)=0，解得x=2、x=−2， 化简得M={−2,2}； M、N元素完全相同，故 M=N 例4 集合M={x∣x2−4=0}，集合N={−2,2}，判断M、N的集合关系 练习 解析：自然数包含0、1、2、3……，整数包含正、负自然数与0，实数包含全部整数、无理数，三层依次真包含； 答案：N⫋Z⫋R；自然数全部属于整数，整数全部属于实数。 例5 用真子集符号依次连接自然数集N、实数集R、整数集Z，并简单说明层级关系 练习 例6 四个集合：A={x∣x是矩形}，B={x∣x是平行四边形}，C={x∣x是正方形}，D={x∣x是四边形}，用真子集符号写出完整层级关系 解析：正方形是特殊矩形，矩形是特殊平行四边形，平行四边形是特殊四边形，逐层形成真包含关系； 答案：C⫋A⫋B⫋D 课堂小结 1.1.3 集合之间的关系 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 一、三大集合关系 1. 子集（A⊆B） 定义：A任意元素都属于B；性质：A⊆A；⌀⊆A（适用于任意集合） 2. 真子集（A⫋B） 定义：A⊆B，且B存在元素不在A；性质：⌀⫋A；传递性A⫋B、B⫋C则A⫋C 3. 集合相等（A=B） 判定条件：A⊆B 且 B⊆A，两集合元素完全相同 二、核心符号区分 ∈：元素 ↔ 集合，示例：3∈{1,2,3} ⊆/⫋：集合 ↔ 集合，示例：{3}⫋{1,2,3} 课后作业 1.1.3 集合之间的关系 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1、教材第13-14页A组、B组全部习题 谢谢 THANKS $