1.1.3 集合之间的关系（教学设计）-人教版2021版《数学 上册》《上好课》

该教案聚焦集合间的子集、真子集、相等关系，通过平行四边形与四边形的包含关系、方程解集的相等关系实例导入，承接集合概念与表示方法，为集合运算搭建前置学习支架，引导学生从具体到抽象理解集合关系。 该资料特色在于精准针对学生符号混淆、子集漏项等问题，用维恩图可视化抽象集合层级（几何直观），分步枚举子集并推导n元集合子集数量公式（推理意识），专项辨析∈与⊆符号（符号意识）。情境教学法降低理解门槛，帮助学生克服抽象畏难心理，培养严谨思维，也为教师提供针对性教学方案，提升课堂效率。

课程名称 人教版2021版 《数学 基础模块上册》 1.1.3 集合之间的关系 教材分析 本节承接前两节集合概念、集合表示方法，是集合运算的前置基础。教材以四边形、方程解集两组具体集合对比切入，依次讲解子集、真子集、集合相等三层概念，配套包含符号、维恩图可视化工具。教材设置例题讲解有限集合子集书写，通过表格推导n元集合子集数量规律，明确两条空集专属规定，补充子集、真子集传递性，知识点逻辑由具体到抽象，符合学生认知规律。但教材未专门区分与两类易混符号，对空集规定、子集数量计算公式仅简单提及，学生易出现符号混用、子集枚举漏项等问题，课堂需增加对比辨析、分步拆解实操训练。 学情分析 学生已掌握集合的概念，会运用列举法、描述法书写简单集合，但存在两类典型短板：一是无法区分元素与集合、集合与集合两种层级关系，易混用与；二是书写子集习惯性遗漏空集或集合自身。学生抽象思维薄弱，纯文字定义理解吃力，预计的学习困难在于：混淆、、三类符号使用场景；列举子集漏写或集合本身；不清楚空集作为真子集仅适用于非空集合；不会通过元素范围判断数集、几何类集合的包含关系。 教学目标 1、 知识与技能：理解子集、真子集、集合相等的定义，能规范书写符号，分清（元素与集合）、（集合与集合）使用场景；掌握有序枚举有限集合全部子集、真子集的方法；会用维恩图直观表示集合间的包含与相等关系，能将图形语言转化为符号语言。 2、 过程与方法：通过观察四边形、方程解集两组集合实例，培养观察对比、归纳概括数学概念的能力；通过分步枚举有限集合全部子集，掌握有序分类、不重不漏的解题方法；通过维恩图辅助理解抽象集合关系，掌握数形结合分析数学问题的方法。 3、 情感态度与价值观：通过有序枚举子集、规范区分符号，养成严谨细致、条理清晰的数学书写习惯；逐步克服抽象数学符号畏难心理，提升自主分析、自主判断集合关系的学习自信心。 教学重难点 教学重点：子集、真子集、集合相等定义；有限集合子集完整书写；、、符号区分；维恩图使用。 教学难点：区分元素与集合、集合与集合的层级关系；列举子集不遗漏空集与集合自身；几何、不等式数集综合判断集合关系。 教学方法 情境教学法、讲授法、练习巩固法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 展示两组集合 第一组：是平行四边形，是四边形 第二组：， 提问1：任意一个平行四边形是否都属于四边形？是否存在四边形不属于平行四边形？ 答：所有平行四边形都是四边形；梯形、不规则普通四边形属于四边形，但不属于平行四边形。 提问2：求解集合G的元素，对比集合G和H，两者元素有什么联系？ 答：解方程，解得，G与H包含完全相同的元素。 总结：两组集合呈现了两种不同的关系，第一组中E的全部元素都属于集合F，第二组中两个集合的元素完全相同，今天我们将学习如何用数学语言表示这两类关系。 独立解方程写出集合H，观察两组集合，回答教师的提问，梳理两组集合的差异。 直观感知集合包含与相等现象。 选用几何、方程两类具体问题，降低理解门槛，让学生直观感知集合包含与相等现象，激发概念学习需求。 新课讲授 一、子集 1、子集定义 如果集合中任意一个元素都是集合的元素，则称集合是集合的子集，记作，读作“包含于”（或记作，读作“包含”）。 若存在元素属于A但不属于B，记作，读作“不包含于”（或记作，读作“不包含”）。 2、思考：对于任意集合是否有？ 答：集合内部所有元素一定属于自身，符合子集定义，因此任何集合都是自身的子集。 3、提问：对于平行四边形集合、四边形集合，如何用子集符号表示二者关系？ 答：。 4、空集第一条规定：空集是任意集合的子集，写作。 5、思考：为什么数学规定空集是所有集合的子集？ 答：空集内部不存在任何元素，不存在元素不属于集合的反例，逻辑上满足子集判定条件。 二、真子集 1、真子集定义：若，并且集合中至少存在一个元素不属于集合，则称是的真子集，记作，读作“A真包含于B”（或记作，读作“真包含”）。 2、 提问：平行四边形集合与四边形集合是否为真子集关系？理由是什么？ 答：是真子集；因为，而梯形属于但不属于，满足真子集判定条件，所以。 3、 空集第二条规定：空集是任意非空集合的真子集，写作。 4、 提问辨析：、两个式子是否正确？答：正确，是非空集合；错误，空集不存在不属于自身的元素，不满足真子集条件。 5、 维恩图讲解：如图，两个封闭圆圈，小圆圈完全置于大圆圈内部代表。 A B 6、 拓展：子集传递性质 结论：①子集传递： ②真子集传递： 提问：正方形、菱形、平行四边形满足怎样传递关系？答：{正方形}{菱形}{平行四边形} 三、集合相等 1、集合相等定义：集合与集合包含的所有元素完全一致，则称两个集合相等，记作。 2、 说明：由相等的定义可得，如果且；反之，如果那么且。 3、提问：、，请用子集语言说明的原因。 答：全部元素都在内，满足；全部元素都在内，满足，同时双向成立，因此。 4、辨析：与书写逻辑有什么区别，能否混用？ 答：不能混用；用于描述单个元素与集合的关系；用于描述两个集合之间的包含关系；小写字母是元素，带大括号整体是集合。 1、 聆听，了解包含符号及其读法； 2、 记录并理解、两条核心性质； 3、利用已学的包含关系，回答导入的问题； 4、抄写五大数集包含链条，记忆数集层级逻辑。 1、 对比区分子集、真子集符号外形差异，标记真子集额外不等横线； 2、 回答提问； 3、 思考问题，重点记录空集真子集限制条件； 4、 在草稿纸上手绘真子集维恩图，标注内外集合名称。 1、 理解集合相等的定义以及等价判定方法； 2、 思考问题； 3、区分两组关系。 拆解子集定义，消除学生对集合包含自身、空集规定两大难点的疑惑。 对比子集、真子集定义与符号差异，通过提问明确空集真子集适用边界；维恩图可视化抽象集合层级，降低学生抽象逻辑理解门槛。 专门针对学生高频错误设置辨析提问，攻克本节课易错难点。 例题讲解 例1 写出集合全部子集、全部真子集。 解析：步骤1：空集是所有集合的子集，优先书写； 步骤2：只含1个元素的子集，依次单独列出：； 步骤3：2个元素两两组合，不重复搭配：； 步骤4：包含全部3个元素，即集合本身； 真子集判定规则：所有子集剔除集合自身，剩余全部为真子集。 答案：全部子集： 全部真子集： 追加提问：3个元素的集合，子集、真子集分别有多少个？ 答：子集共8个，真子集共7个。 【拓展】1个元素：子集，共个 2个元素：子集，共4个， 3个元素：子集8个（例1结论）， 4个元素：子集16个（自行推导）， 提问1：拥有个元素的集合，子集总个数通用公式是什么？ 答：子集总个数为。 提问2：真子集总个数公式是什么？ 答：剔除集合自身，真子集个数为。 提问3：空集有0个元素，代入公式计算子集个数是多少？ 答：，空集唯一的子集就是自身。 例2判断三组集合关系 (1) (2) (3) 是菱形是平行四边形 （1） 解析：所有元素2、5均在内部，存在4、7不属于，满足真子集条件 答案： （2） 解析：解方程得，化简，元素完全相同 答案： （3） 解析：全部菱形都属于平行四边形，普通平行四边形不是菱形，满足真子集条件 答案： 知识记忆 1. 子集定义：若集合所有元素都属于，称是的______，符号______；不是子集记作______。 答案：子集；； 1. 真子集：且存在元素不属于，符号______；空集是任意______集合的真子集。 答案：；非空 1. 集合相等：______且______，记作。 答案：； 1. 两条空集规定：①是______的子集；②成立的前提是______。 答案：任意集合；是非空集合 1. 个元素集合：子集总个数______；真子集总个数______。 答案：； 1. 符号区分：描述元素与集合用______；描述集合与集合包含关系用______。 答案：； 1. 五大数集包含链条：__________________ 答案：；； 师生互动 1、随机提问 提问1：判断书写正误：，说明理由 答：错误，数字2是独立元素，元素与集合从属关系只能使用，标准正确写法。 提问2：判断、两个式子是否全部正确？ 答：均正确；空集是任意集合的子集，为非空集合，空集同时是它的真子集。 2、抢答 ① 和是什么集合关系？ ② 是正方形与是矩形的关系？ 答：①；是正方形是矩形。 课堂练习 例1 选用合适符号填空 (1)______ (2)______ (3)______ (4)______ 解析： (1)数字3是集合内单个元素，元素从属使用符号； (2)所有元素均属于大集合，大集合存在元素2不在小集合内，属于真子集，填； (3)两个集合包含元素完全一致，满足集合相等判定条件，填； (4)为非空集合，空集是其真子集，填； 答案：(1) (2) (3) (4) 例2 写出集合所有子集与真子集，计算两类集合个数验证公式 解析：第一步：空集； 第二步：单元素子集； 第三步：双元素子集； 第四步：全部三元素集合； 真子集为全部子集剔除集合自身；集合共3个元素，子集总数，真子集数量； 答案： 子集：（共8个） 真子集：（共7个） 例3 判断集合是正方形、是菱形之间的关系，书写规范符号 解析：正方形四条边长相等，属于菱形范畴；存在内角不等于90°的菱形，不属于正方形，满足真子集判定条件； 答案： 例4 集合，集合，判断的集合关系 解析：解方程，因式分解，解得，化简；元素完全相同； 答案： 例5 用真子集符号依次连接自然数集、实数集、整数集，并简单说明层级关系 解析：自然数包含0、1、2、3……，整数包含正、负自然数与0，实数包含全部整数、无理数，三层依次真包含； 答案：；自然数全部属于整数，整数全部属于实数。 例6 四个集合：是矩形，是平行四边形，是正方形，是四边形，用真子集符号写出完整层级关系 解析：正方形是特殊矩形，矩形是特殊平行四边形，平行四边形是特殊四边形，逐层形成真包含关系； 答案： 课堂小结 一、三大集合关系 1. 子集（） 定义：任意元素都属于；性质：；（适用于任意集合） 2. 真子集（） 定义：，且存在元素不在；性质：；传递性 3. 集合相等（） 判定条件： 且 ，两集合元素完全相同 二、核心符号区分 ：元素 ↔ 集合，示例： ：集合 ↔ 集合，示例： 课后作业 教材第13-14页A组、B组全部习题 板书设计 1.1.3 集合之间的关系 一、三大关系 1. 子集：；性质：， 1. 真子集：； 1. 相等：（且） 二、符号区分 元素∈集合 集合包含集合 三、子集枚举方法 子集：→单元素→双元素→全集 公式：个元素→子集，真子集 四、维恩图：小圈大圈 教学反思 本节课学生存在三类高频错误：混淆与符号、忽略空集仅对非空集合成立真子集、枚举子集遗漏空集或集合自身，后续将设置专项符号辨析+子集枚举纠错训练；学生对维恩图可视化教学接受度高，后续对同类集合概念将持续沿用图形教学。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $