1.1.2 集合的表示方法（教学设计）-人教版2021版《数学 上册》《上好课》

该教案聚焦集合的列举法与描述法，通过“小于100的自然数”“班级同学”等生活情境导入，承接上节集合概念，引导学生从自然语言过渡到符号语言，搭建由具体到抽象的认知支架。 特色在于以核心素养为导向，通过情境教学和实例辨析培养数学眼光（抽象集合表示需求）、数学思维（方法适用场景对比）、数学语言（规范符号书写），如描述法格式{x∈I | p(x)}及元素形式区分（数集x、点集(x,y)），帮助学生克服符号困难，提升表达能力，为教师提供清晰教学流程和易错点指导。

课程名称 人教版2021版 《数学 基础模块上册》 1.1.2 集合的表示方法 教材分析 本节承接上一节集合的概念，主要介绍集合的两种常用表示方法，列举法和描述法。教材以问题情境引入，先介绍元素较少时适用的列举法，再引出元素较多或无限集时适用的描述法，符合由简到繁、由具体到抽象的认知规律。列举法部分重点讲解一一列举的书写规范、元素无序性以及省略号的使用条件，并强调单元素集合与元素的区别；描述法部分通过特征性质的概念建立描述法的一般形式{x∈I | p(x)}，并约定取值集合明确时，取值集合可省略的简化写法。考虑到中职学生对符号语言的接受能力较弱，教学中需要补充更多辨析实例，强化两种表示法的适用场景对比，规范描述法的书写格式，帮助学生熟练掌握集合语言的表达。 学情分析 学生在上一节课已经学习了集合的概念、性质以及五个常用数集，对集合有了初步认识，能够判断一组对象能否组成集合，这为本节课的学习奠定了基础。学生的符号表达能力薄弱，习惯于用自然语言描述数学对象，对于用规范的数学符号表示集合存在一定困难。预计的学习困难在于：对列举法的适用范围把握不准，忽略了无限集且无规律时不能用列举法的情况；描述法的书写格式不规范，譬如漏写大括号、竖线位置错误、元素形式与特征性质不匹配；描述法中不能准确判断元素形式，如数集的元素形式是x，点集的元素形式是(x, y)；特征性质的提炼不准确，尤其是几何图形类集合（如平行四边形、矩形）的特征性质描述不严谨；两种表示方法的选择不灵活，不知道什么情况下用列举法、什么情况下用描述法。 教学目标 1. 知识与技能：掌握集合的列举法表示，能正确用列举法表示有限集及有规律的无限集；掌握集合的描述法表示，理解描述法的一般形式{x | p(x)}，能准确并规范写出集合的特征性质；能根据集合的特点灵活选择合适的表示方法。 2. 过程与方法：通过对比两种表示方法的适用场景，培养分析判断能力和符号表达能力；通过从自然语言到符号语言的转化训练，发展数学抽象素养和语言转化能力。 3. 情感态度与价值观：感受集合符号语言的简洁美与精确美，体会数学语言的严谨性；在规范书写训练中培养认真细致的学习态度，增强数学表达的自信心；克服符号类题型畏难情绪，提升基础数学答题规范性。 教学重难点 教学重点：列举法、描述法定义与书写格式；两种表示方法的灵活选择。 教学难点：描述法中特征性质的准确提炼；点集与数集的元素形式区分；区分与；描述法简化写法的适用条件。 教学方法 情境教学法、讲授法、练习巩固法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 1、 提问：我们知道自然数集用字母N表示，那么小于100的自然数的全体组成的集合，除了用自然语言说出来，还可以怎么写出来呢？ 预设答案： 方案 1：把 0,1,2,…,99 一个个全部罗列出来书写，但数字数量很多，全部写完整会十分繁琐； 方案 2：不用逐个写出数字，只用一句话概括数字满足的条件，标出范围。 2、 提问：“我们班全体同学”这个集合，除了用语言描述，能不能像列名单一样把每个同学的名字都写出来表示呢？ 预设答案：人数不多时可以逐一写出所有人名字，清晰直观；但如果班级人数很多，全部罗列会占用大量篇幅，写起来很麻烦。 3、总结：表示集合的方法不止自然语言一种，今天我们就来学习两种常用的表示方法——列举法和描述法。 1、思考教师提出的问题，尝试用自己的方式写出小于100的自然数的集合。 2、 结合班级名单的生活经验，初步感知把元素都列出来的表示思路。 3、明确本节课学习目标，带着问题进入新课。 以问题情境为切入点，结合学生熟悉的班级名单生活经验，自然引出列举法的思想；让学生先尝试书写再学习规范写法，激发学习规范表示方法的主动性。 新课讲授 一、列举法 1、定义：当集合的元素不多时，把集合的所有元素一一列举出来，相邻元素之间用逗号分隔，写在大括号{ }内，这种方法叫做列举法。 例1：由1,2,3,4,5,6组成的集合可表示为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。 例2：中国古代四大发明组成的集合可表示为{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}。 2、强调书写规范：必须有大括号、元素之间用逗号分隔（不是顿号）、最后一个元素后面不加逗号。 3、 性质：列举法不考虑元素顺序，{1, 2}与{2, 1}表示同一个集合（因为元素相同）。 4、省略号用法：元素较多且有规律排列时，可列出几个代表元素加省略号，如小于100的自然数：{0, 1, 2, 3, …, 99}。 强调：必须有规律才可以用省略号，无规律的不能省略。 5、无限集的列举法：有规律的无限集也可用列举法，如自然数集N = {0, 1, 2, 3, …, n, …}。 6、易错提醒：单元素集合{a}与元素a不同。a是一个元素，{a}是只有一个元素的集合，二者完全不同。 举例：1932年，我国运动员刘长春一个人代表中国首次参加现代奥运会。一个人和只由这个人组成的集合含义不一样。 7、例题讲解 例1 用列举法表示下列集合： （1）大于3且小于10的奇数的全体组成的集合； （2）一元二次方程x² - 5x + 6 = 0的解集。 （1）解析：先找出满足条件的数。大于3且小于10的数有4,5,6,7,8,9，其中奇数是5,7,9三个，全部列举出来即可。 答案：{5, 7, 9} （2）解析：先解方程。因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3，所以方程的解是2和3两个，列举出来。 答案：{2, 3} 二、描述法 1、提问：不等式x - 2 < 3的解组成的集合，能用列举法吗？为什么？ 答：不能，因为解有无数个且无法全部列出来。 提问：所有有理数组成的集合Q，能用列举法吗？ 答：不能，有理数有无数个。 引出：元素很多或无限且无规律时，列举法不好用，需要另一种方法——描述法。 2、描述法一般形式：A = {x∈I | p(x)} 说明：①大括号{ }表示集合，不能丢； ②竖线“|”左边写元素的一般形式（如x表示数，(x,y)表示点）； ③竖线右边写集合中元素的特征性质p(x)，也即只有这个集合中的元素才满足的条件。 3、举例说明：不等式x-2<3即x<5的解集，可表示为{x∈R | x < 5}。 有理数集Q中的任意一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于有理数集Q的元素都不具有这个性质，所以可以把有理数集Q表示为{x|x是两个整数的商}或。 4、 简化约定：如果x的取值集合是明确的（默认在实数范围内讨论），那么x∈R可以省略不写。举例等价于。 强调：如果不是默认的实数范围，就不能省略！比如小于100的自然数必须写成{x∈N | x < 100}，这里N不能省，否则就变成了所有小于100的实数，含义完全不同。 5、例题讲解 例2 用描述法表示下列集合： （1）大于3的实数的全体组成的集合； （2）平行四边形的全体组成的集合； （3）在直角坐标平面内，直线y=x上所有点的坐标组成的集合。 （1）解析：这是数集，元素形式是x，特征性质是大于3的实数，默认实数范围可省略R。 答案：{x | x > 3} （2）解析：这是图形集合，元素形式是x（代表每个平行四边形），特征性质用平行四边形的定义描述，即两组对边分别平行的四边形。 答案：{x | x是两组对边分别平行的四边形} （3）解析：这是点集，元素是平面上的点，坐标形式是(x, y)，特征性质是点在直线y=x上，即纵坐标等于横坐标。 答案：{(x, y) | y = x} 6、补充说明：一个集合的特征性质不是唯一的。比如平行四边形也可以写成{x | x是有一组对边平行且相等的四边形}，能准确刻画即可。 1、理解列举法的定义。 2、观察两个例子的书写格式，记住规范写法。 3、理解元素无序性，明白只要元素相同、顺序不同仍是同一个集合。 4、掌握省略号的使用条件：元素多且有规律才能用。 5、辨析单元素集合与元素的区别，记好易错点。 6、 跟随教师分析例1，先自己尝试列举，再对照答案检查。 1、 思考为什么有些集合不能用列举法，体会描述法的必要性。 2、 记忆描述法的一般格式：{元素形式 | 特征性质}，记忆竖线左右各写什么。 3、 理解简化约定的适用条件：默认实数范围才能省略，其他数集如N、Z等不能省。 4、跟随教师分析例2的三道题，区分数集、图形集、点集的不同元素形式。 从定义到例子层层递进讲解列举法，重点强调书写规范，培养学生严谨的书写习惯； 通过无序性、省略号用法、单元素集合辨析等环节全面覆盖列举法的易错点； 让学生自己发现列举法的局限性，自然引出描述法的学习需求；拆解描述法的格式，明确竖线左右的含义，帮助学生建立规范的书写习惯；重点强调简化约定的适用条件，避免学生随意省略导致错误； 例2覆盖了数集、图形集、点集三种类型，全面展示描述法的应用。 知识记忆 1、列举法：元素数量少时，全部元素一一列举，写入______，相邻元素用______分隔；列举不考虑元素______。 答案：大括号；逗号；顺序 2、单元素和集合区别：是______，是____________，二者不相等。 答案：元素；只含一个元素的集合 3、描述法标准格式：____________，竖线左侧代表______与取值数集，右侧是元素独有的______。 答案：；；代表元素；特征性质 4、若集合元素默认取值范围为实数集，描述法中______可以省略；若限定自然数，必须标注______。 答案：； 5、平面直角坐标系内点的集合，代表元素必须写成______形式。 答案： 6、小于100自然数集合规范描述法写法：____________。 答案： 师生互动 1、随机点名提问 提问1：集合书写是否正确？为什么？ 解析：错误，集合满足互异性，重复元素只保留1个，正确写法； 答案：不正确，违反互异性。 提问2：能否用列举法表示全体实数集合？ 解析：不能，实数有无数个，无固定循环规律，无法用省略号列举，只能使用描述法； 答案：不能。 2、抢答：①默认属于哪个数集？ ②直线上点的集合怎么写？ 答案：①实数集；②。 课堂练习 例1 用列举法表示下列集合： （1）大于2且小于12的偶数的全体； （2）方程x² - 9 = 0的解集； （3）一年中有30天的月份的全体。 （1）解析：大于2且小于12的数有3,4,5,6,7,8,9,10,11，其中偶数是4,6,8,10四个，全部列举。 答案：{4, 6, 8, 10} （2）解析：解方程x² - 9 = 0，得x = 3或x = -3，两个解全部列举。 答案：{3, -3} （3）解析：一年中4月、6月、9月、11月这四个月每月有30天。 答案：{4月, 6月, 9月, 11月} 例2 用描述法表示下列集合： （1）小于5的实数的全体； （2）所有正偶数组成的集合； （3）绝对值等于3的实数的全体。 （1）解析：数集，元素形式x，特征性质是小于5，默认实数范围可省略。 答案：{x | x < 5} （2）解析：数集，元素形式x，特征性质是正偶数，即能被2整除且大于0的整数。 答案：{x | x = 2n, n∈N₊} （3）解析：数集，元素形式x，特征性质是绝对值等于3。 答案：{x | |x| = 3} 例3 判断下列集合表示是否正确，错误的请改正： （1）不等式x + 1 > 0的解集：x > -1 （2）大于0小于10的奇数：{1, 3, 5, 7, 9} （3）所有三角形：{所有三角形} 答：（1）错误。漏了大括号，不是集合形式。改正：{x | x > -1} （2） 正确。元素有限且全部列出，逗号分隔，格式规范。 （3）错误。大括号本身已有全体含义，不能再写“所有”。改正：{x | x是三角形} 例4 用适当的方法表示下列集合： （1）英语单词"book"中字母的全体组成的集合； （2）在自然数集内，小于10的奇数组成的集合； （3）直线y = 2x + 1上所有点的坐标组成的集合。 （1）解析：字母数量少，适合列举法，注意互异性——字母o只出现一次。 答案：{b, o, k}（列举法） （2）解析：元素有限且数量不多，两种方法都可以，列举法更直观。 答案：列举法{1, 3, 5, 7, 9} 或 描述法{x∈N | x是小于10的奇数} （3）解析：点集，元素无限，必须用描述法，元素形式是(x, y)。 答案：{(x, y) | y = 2x + 1}（描述法） 例5 下列集合中，表示同一集合的是（ ） A. M = {(1, 2)}，N = {(2, 1)} B. M = {1, 2}，N = {2, 1} C. M = {0}，N = ∅ D. M = {y | y = x²}，N = {(x, y) | y = x²} 解析：A. 两个都是点集，但(1,2)和(2,1)是不同的点（坐标不同），所以不是同一集合。 B. 列举法不考虑元素顺序，只要元素相同就是同一个集合，{1,2}和{2,1}元素完全相同，是同一集合。 C. {0}有一个元素0，∅是空集没有元素，不是同一集合。 D. M是数集（元素是y，即函数值），N是点集（元素是坐标点），元素类型不同，不是同一集合。 答案：B 例6 用描述法表示矩形的全体组成的集合，并说明特征性质。 解析：这是图形集合，元素形式是x（代表每个矩形），特征性质用矩形的定义来描述：有一个角是直角的平行四边形，或四个角都是直角的四边形。 答案：{x | x是有一个角为直角的平行四边形} （也可写成{x | x是四个角都是直角的四边形}，特征性质不唯一，准确即可） 课堂小结 一、列举法 写法：{元素1, 元素2, 元素3, …}； 适用：元素少、能一一列完的有限集；有规律的无限集也可用省略号； 注意：逗号分隔、不考虑顺序、必须有大括号。 二、描述法 一般形式：{元素形式 | 特征性质}，数集元素形式：x；点集元素形式：(x, y)； 适用：元素多或无限、有共同特征的集合； 注意：默认实数范围x∈R可省略，其他数集（N、Z等）不能省。 三、方法选择原则 元素有限且数量少 → 优先列举法（直观） 元素无限或数量多 → 必须描述法（简洁） 课后作业 1、课本第9页练习A组第1、2题，练习B组第1、2题； 2、记忆本节课的知识点。 板书设计 1.1.2 集合的表示方法 一、列举法 定义：全部元素写入，逗号分隔 规则：无序、互异； 规律无限集：（小于100自然数） 二、描述法 左：代表元素+数集 右：特征性质 省略规则：默认可省 三、方法选择 有限少量元素→列举；无限集合→描述 教学反思 本节课的核心是规范书写，学生初次接触集合符号语言，容易出现各种不规范的写法。后续教学中应继续加强书写规范性训练，培养学生严谨的数学表达习惯，为后续集合关系与运算的学习打好符号基础。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $