1.1.1 集合的概念（教学设计）-人教版2021版《数学 上册》《上好课》

该中职数学教案聚焦集合的概念及元素属性，通过手机软件分类、学校专业分类等生活化情境导入，从具体实例到抽象定义，搭建从生活归类到数学集合的学习支架，梳理集合与元素、确定性互异性等核心知识脉络。 资料特色在于以新课标核心素养为导向，通过生活化实例培养抽象能力，如用手机文件夹引出集合概念，通过正反例辨析发展推理意识，如对比“高个子同学”与“身高175cm以上同学”，强化符号规范训练提升符号意识，如∈、∉及数集符号书写。帮助学生克服抽象畏难情绪，为教师提供贴合中职学情的实用教学策略。

课程名称 人教版2021版 《数学 基础模块上册》 1.1.1 集合的概念 教材分析 集合是整个中职数学的基础工具语言，贯穿于不等式、函数、概率统计等后续章节的学习之中，在整套课程体系中起到奠基作用。从教材编排逻辑来看，本章按照集合的概念→集合的表示方法→集合之间的关系→集合的运算的顺序层层递进，本节课作为起始课，承担着建立集合语言体系、培养符号表达习惯的重要任务。教材先从软件分类、专业分类等生活化场景引入集合，再拆解集合与元素定义，依次讲解确定性、互异性两大核心属性，区分有限集、无限集、空集，系统给出N、、Z、Q、R五大数集符号。整体呈现方式由具体到抽象、由直观到符号，符合学生的认知规律。考虑到中职学生数学基础普遍薄弱，教师需通过更多生活化实例来拆解教材的抽象内容，同时需要补充适量的辨析题与符号书写训练，帮助学生克服符号化表达的畏难情绪，为后续章节的学习筑牢基础。 学情分析 学生初中时接触过自然数、整数、实数等概念，但尚未形成系统的集合概念与符号表达体系。学生整体基础薄弱，抽象逻辑思维发展不足，不擅长记忆纯文字、符号类数学定义，欠缺自主梳理知识点、主动背诵公式符号的学习习惯；学生容易混淆整数、有理数、实数的范围边界，忽略集合确定性、互异性等隐藏考点。预计的学习困难在于：无法依靠确定性标准判断语句能否构成集合，记混五大常用数集符号，无法区分空集和只含元素0的集合，书写符号时出现格式错误，同时难以快速分辨有限集、无限集的本质区别。 教学目标 1. 知识与技能：理解集合的概念，掌握集合元素的确定性和互异性；理解元素与集合的属于、不属于关系，能正确使用∈和∉符号；掌握有限集、无限集、空集的概念；熟记自然数集N、正整数集N₊、整数集Z、有理数集Q、实数集R五个常用数集的符号及含义，能准确判断元素与常用数集的关系。 2. 过程与方法：通过生活实例的分类活动经历集合概念的形成过程，培养抽象概括能力；通过对集合概念的辨析与判断，发展逻辑推理能力和数学表达能力；通过符号语言的学习与运用，初步建立数学符号意识。 3. 情感态度与价值观：感受集合语言在描述客观世界和数学问题中的简洁美与精确美，激发学习数学的兴趣；克服对抽象数学符号的畏难情绪，提升基础数学学习自信心。 教学重难点 教学重点：集合与元素概念；集合的确定性、互异性；五大常用数集符号；、符号规范运用。 教学难点：对集合元素确定性的准确理解、空集概念的辨析、常用数集符号的准确记忆与应用。 教学方法 情境教学法、讲授法、练习巩固法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 展示手机软件文件夹、学校专业分类图片。 1、提问：手机里把学习类软件全部放进同一个文件夹，这个文件夹里所有软件构成了什么？ 答案：它是由所有学习软件组成的完整整体，每一款学习软件都是这个整体里独立的个体。 2、提问：学校把护理、汽修、计算机专业分成不同班级，每个班级里全部学生是不是同一类对象？ 答案：是的，同一个班级的学生属于同一类对象，汇总成一个整体。 3、总结：无论是数字，还是手机软件、班级学生，只要是把能够确定、互不相同的同类对象汇总成一个整体，在数学中我们就可以给它们一个专用名称——集合。 1、 思考生活归类案例，回答两道导入问题。 2、 从数字、生活中的分类现象初步感知集合就是一类事物的整体的含义。 先数学数字归类、再生活物品/人物归类，层层递进。用生活化案例引入，有效降低概念的抽象感，激发学习兴趣。 新课讲授 一、集合的定义 1、定义：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，这些对象的全体称为集合；组成集合的每一个对象称为元素。 2、拆解定义关键词：能够确定、互不相同、全体。 3、讲解课本4个实例： 例1 某护理班参加了“抗击新冠肺炎，我们在一起”志愿服务活动的学生全体组成一个集合，其中每个学生都是这个集合的一个元素。 例2 正数的全体组成一个集合，其中每个正数都是这个集合的一个元素。 例3 平行四边形的全体组成一个集合，其中每个平行四边形都是这个集合的一个元素。 例4 数轴上所有点的坐标的全体组成一个集合，其中每个点的坐标都是这个集合的一个元素。 二、集合与元素的表示及关系 1、表示方法：一个集合通常用大写英文字母A，B，C，…表示，元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示。 2、关系：如果a是集合A的元素，记作 a∈A，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，记作 a∉A，读作a不属于A。 3、举例说明：设A表示我们班全体同学的集合，张三是我们班同学，则张三∈A；李四不是我们班同学，则李四∉A。 三、集合的确定性与互异性 （一）确定性 1、含义：集合的元素必须是能够确定的。也就是说，不能确定的对象，不能组成集合。 2、举例 反例：高一电子班高个子同学的全体，不能组成集合。因为高个子没有明确标准，多高才算高不明确。 正例：高一电子班身高大于175 cm同学的全体就能组成集合，因为标准明确、客观。 3、提问：某省境内小河的全体是一个集合吗？组织学生小组讨论后回答。 答案：不是集合，因为小河没有明确的界定标准，多大的河算小河不明确，不满足确定性。 （2） 互异性 1、 含义：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。 2、 举例：俗语“三百六十行，行行出状元”中的所有汉字组成的集合，包含的元素只有8个（三、百、六、十、行、出、状、元），重复的“行”字只算一个元素。 3、提问：由数字1, 2, 2, 3组成的集合有几个元素？ 答案：3个，分别是1, 2, 3。 四、集合的分类 1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集。 举例：我们班全体同学组成的集合、1到10的正整数组成的集合。 3、 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集。 举例：所有正整数组成的集合、数轴上所有的点组成的集合。 3、空集：特别地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅。 举例：由方程 x + 1 = x + 2 所有解组成的集合就是空集，因为这个方程无解，没有任何元素满足条件。 4、辨析：空集∅和{0}是同一个集合吗？ 答案：不是。空集∅里面不含任何元素；{0}里面有一个元素0。它们是两个完全不同的集合。 五、常用数集及其记法 1、自然数集：所有非负整数组成的集合，记作 N。 强调：0是自然数集N的一个元素，即0∈N。 2、正整数集：在自然数集N中，去掉元素0的集合，记作 N₊（或N*）。 3、整数集：所有整数组成的集合，记作 Z。包括正整数、0、负整数。 4、有理数集：所有有理数组成的集合，记作 Q。包括整数和分数（有限小数、无限循环小数）。 5、实数集：所有实数组成的集合，记作 R。包括有理数和无理数（无限不循环小数）。 课本例子讲解： 例1 0是整数，可以表示为 0∈Z； 例2 π是实数，可以表示为 π∈R。 补充：π是无理数，所以π∉Q。 1、 记录定义关键词，抄写符号； 2、 逐一说清4个实例中什么是集合、什么是元素； 1、 记忆集合用大写字母、元素用小写字母的表示规则。 2、 2、学习∈和∉两个符号的写法和读法。 1、 理解确定性的含义。 2、 参与小组讨论，交流对小河的全体能否组成集合的看法，形成小组结论后派代表发言。 3、理解互异性的含义。 4、回答问题，检验对互异性的理解。 1、 理解有限集和无限集的区别。 2、 认识空集的概念和符号∅，记住空集就是什么都没有的集合。 3、参与易错辨析，明确区分空集与含有0的集合，避免混淆。 1、跟随教师逐一认识五个常用数集，理解每个数集包含哪些数。 2、区分N和N₊：N包含0，N₊不包含0。 3、学习用∈和∉符号表示元素与数集的关系。 建立集合的准确概念，突出关键词为后续学习元素性质做铺垫。 通过四个不同类型的典型例子（人、数、图形、点）帮助学生全面理解集合概念的广泛适用性。 通过板书示范和书写训练强化符号的规范书写；用班级同学这样贴近学生生活的实例帮助学生理解抽象的属于关系。 通过正反例对比的方式突破确定性这一难点，让学生清晰把握确定就是标准明确、客观；通过讨论活动调动学生主动思考。 互异性结合俗语，便于学生记忆。 空集是学生容易出错的概念，通过方程无解的具体例子帮助学生理解，并设置易错辨析环节将空集与{0}进行对比，澄清常见误区。 常用数集是后续学习中常使用的集合，须让学生准确记忆每个符号的含义，避免记混。 知识记忆 当堂知识点强化记忆，采用挖空背诵形式： （1）把能够确定、不同对象的全体称为______，组成它的对象叫______。答案：集合；元素 （2）a是集合A的元素记作______，读作______；不属于记作______，读作______。答案：；a属于A；；a不属于A （3）集合两大特性：______、______。答案：确定性；互异性 （4）不含任何元素的集合叫作______，符号为______。答案：空集； （5）自然数集符号______，包含数字______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______。答案：N；0；；Z；Q；R 师生互动 1、随机提问 提问1：本班积极回答问题的同学全体能组成集合吗？ 答：不能，“积极回答问题”无统一判定标准，不满足集合确定性； 提问2：数字2,2,3,3组成集合，一共有几个元素？ 答：集合具备互异性，重复数字只保留1个，元素为2、3；一共2个元素。 2、抢答：0属于N吗？π属于Q吗？空集里面有元素0吗？ 解析：N包含0，故；π是无理数，；空集不含任何元素，0不属于空集； 答案：是；不是；不存在。 课堂练习 例1 下列语句是否能确定一个集合？请说明理由。 （1）小于5的自然数的全体； （2）某校高一（3）班性格开朗的女生全体； （3）所有的正方形； （4）与0非常接近的实数的全体。 答：（1）解析：小于5的自然数有明确的判断标准，即0, 1, 2, 3, 4这五个数，每个数是否满足条件是客观确定的，符合集合元素的确定性，因此可以组成集合。 答案：能确定一个集合。 （2） 解析：性格开朗没有明确、客观的判断标准，不同的人对性格开朗的理解不一样，无法准确界定哪些女生属于这个范围，不满足集合元素的确定性，因此不能组成集合。 答案：不能确定一个集合。 （3） 解析：正方形的定义是四条边相等且四个角都是直角的四边形，判断标准明确，任何一个图形是不是正方形是客观确定的，符合确定性，因此所有正方形可以组成一个集合。 答案：能确定一个集合。 （4） 解析：非常接近是模糊的描述，没有明确的量化标准（比如距离0小于0.1还是小于0.001才算非常接近），无法客观判断一个数是否属于这个范围，不满足确定性，因此不能组成集合。 答案：不能确定一个集合。 例2 由数字2, 0, 2, 3, 0组成的集合中，共有多少个元素？分别是什么？ 解析：根据集合元素的互异性，集合中的元素必须互不相同，相同的数字重复出现时只算作一个元素。在数字2, 0, 2, 3, 0中，不同的数字有0、2、3三个，其中2出现了两次、0出现了两次，但重复的都只算一次。 答案：共有3个元素，分别是0, 2, 3。 例3 用符号∈或∉填空： （1）0 ____ N；（2）0 ____ N₊；（3）-5 ____ Z；（4）0.5 ____ Z； （5）1/3 ____ Q；（6） ____ Q；（7）π ____ R；（8） ____ Z。 解析与答案： （1）解析：N是自然数集（非负整数集），0是自然数，所以0属于N。答案：0 ∈ N。 （2）解析：N₊是正整数集，只包含1, 2, 3,…这些正整数，0不是正数，所以0不属于N₊。答案：0 ∉ N₊。 （3）解析：Z是整数集，整数包括正整数、0、负整数，-5是负整数，所以-5属于Z。答案：-5 ∈ Z。 （4）解析：0.5是小数，不是整数，所以不属于整数集Z。答案：0.5 ∉ Z。 （5）解析：Q是有理数集，所有分数都是有理数，1/3是分数，所以属于Q。答案：1/3 ∈ Q。 （6）解析： 属于无理数，不是有理数，所以不属于有理数集Q。答案： ∉ Q。 （7）解析：R是实数集，所有有理数和无理数都是实数，π是无理数，属于实数，所以π∈R。答案：π ∈ R。 （8）解析： 属于无理数，不是整数，所以不属于整数集Z。答案： ∉ Z。 例4 判断下列说法是否正确： （1）自然数集N是有限集； （2）空集含有一个元素0； （3）所有的平行四边形组成的集合是无限集； （4）方程 x² + 1 = 0 的所有实数解组成的集合是空集。 （1）解析：自然数有0, 1, 2, 3, 4,…无穷多个，自然数集N含有无限个元素，是无限集，不是有限集。答案：错误。 （2）解析：空集的定义是不含任何元素的集合，也就是说空集有0个元素。含有元素0的集合不是空集，二者不能混淆。空集记作∅，它里面没有任何元素。答案：错误。 （3）解析：平行四边形的边长、角度可以有无数种不同的组合，能画出无数个不同的平行四边形，因此所有平行四边形组成的集合含有无限个元素，是无限集。答案：正确。 （4）解析：在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，即x²≥0，所以x²+1≥1，不可能等于0，方程x²+1=0没有实数解。由它的所有实数解组成的集合不含任何元素，因此是空集。答案：正确。 例5 将下列各数填入相应的集合中（填序号）： ① -7；② 0；③ 2/5；④；⑤ 3.14；⑥ -1/3；⑦ π；⑧ 100 自然数集：{__________}； 正整数集：{__________}； 整数集：{__________}； 有理数集：{__________}； 实数集：{__________}。 解析：① -7：负整数，属于整数、有理数、实数；不属于自然数、正整数。 ② 0：整数（自然数），属于自然数集、整数集、有理数集、实数集；不属于正整数集。 ③ 2/5：分数，属于有理数、实数；不属于自然数、正整数、整数。 ④ ：无理数，属于实数；不属于自然数、正整数、整数、有理数。 ⑤ 3.14：有限小数（可化为分数），属于有理数、实数；不属于自然数、正整数、整数。 ⑥ -1/3：负分数，属于有理数、实数；不属于自然数、正整数、整数。 ⑦ π：无理数，属于实数；不属于自然数、正整数、整数、有理数。 ⑧ 100：正整数（自然数），属于所有数集。 答案：自然数集：{②, ⑧} 正整数集：{⑧} 整数集：{①, ②, ⑧} 有理数集：{①, ②, ③, ⑤, ⑥, ⑧} 实数集：{①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧} 例6 某班级进行期中考试，设集合A表示该班所有数学成绩及格（≥60分）的学生，集合B表示该班所有数学成绩优秀（≥90分）的学生。请回答： （1）小明数学考了85分，小明与集合A、集合B的关系分别是什么？用符号表示。 （2）小红数学考了58分，小红与集合A、集合B的关系分别是什么？用符号表示。 （3）集合A和集合B哪个是有限集？为什么？ 解：（1）解析：85分≥60分，满足及格标准，所以小明属于集合A；但85分<90分，不满足优秀标准，所以小明不属于集合B。 答案：小明∈A，小明∉B。 （2）解析：58分<60分，不满足及格标准，所以小红不属于集合A；不及格自然也不可能优秀，所以小红也不属于集合B。 答案：小红∉A，小红∉B。 （3）解析：班级学生人数是确定的、有限的，所以数学及格的学生人数也是有限的，数学优秀的学生人数也是有限的。 答案：集合A和集合B都是有限集，因为一个班级的学生人数是有限的，所以及格和优秀的学生人数也都是有限的，两个集合都含有有限个元素。 课堂小结 1、基础概念 集合：确定、互不相同对象的全体；元素：组成集合的单个对象 从属符号：（属于）、（不属于） 2、集合两大核心性质 ①确定性：描述模糊、无判定标准，不能构成集合； ②互异性：同一集合内重复元素只保留1个 3、集合分类 有限集、无限集、空集（易错区分：） 4、五大常用数集 N自然数集（含0）、正整数集、Z整数集、Q有理数集、R实数集 课后作业 1、课本第5页练习A组第1、2、3题，练习B组第1、2题； 2、背诵本节课的知识点。 板书设计 1.1.1 集合的概念 一、归类思想：数字归类→数集；事物归类→集合 二、定义：确定、不同对象全体=集合；单个对象=元素 符号：集合大写A/B；元素小写a/b 属于 ， 不属于 三、两大特性：确定性、互异性 四、集合分类 有限集、无限集、空集 （） 五、五大数集 N自然数(含0)、正整数、Z整数、Q有理数、R实数 示例： 教学反思 本节课作为集合章节的开篇课，概念多、符号多，学生初次接触抽象的集合语言需要一个适应过程。教学中生活实例的选取较贴近中职学生的专业背景和生活经验，降低了概念的抽象感；对于基础特别薄弱的学生，空集概念的理解仍有困难，需要更多具体的例子辅助。后续教学中应继续加强符号书写的规范性训练，培养学生使用集合语言表达数学问题的习惯，为后续集合的表示、关系与运算的学习打好基础。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $