第1卷 集合、不等式（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑体系，系统构建集合与不等式专项训练，通过真题同源设计培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|集合与不等式系统梳理|符号/图形语言结合，性质与解法步骤化|集合概念→运算→应用，不等式性质→解法→拓展| |真题精讲|6题（近3年真题）|考点定位与步骤化解题|聚焦高频考点，强化真题解题逻辑| |举一反三|11题（真题+模拟）|考点迁移与变式处理|通过变式训练深化知识应用| |拓展提升|10题（跨区域模拟）|复杂情境综合应用|提升知识迁移与问题解决能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合、不等式（教师讲解卷） 【概念回顾】 一.集合的基本概念与运算 1.元素与集合的关系 属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　 2.集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 3.特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 4.集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 二、不等式 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 2. 一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 3.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 集合 1.（2026·内蒙古·真题T01）已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·内蒙古·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3．（2024·内蒙古·真题T01）学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 考点02 不等式的解法 4.（2026·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5.（2025·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6（2024·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T01）设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·内蒙古赤峰·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·湖北·职教高考）若，，则图中阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知集合，，若，则实数（     ） A．2 B．1 C． D．或2 9．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）不等式的解集是_______ . 11．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知集合，集合，求（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高三下·河南·对口/高职单招）不等式解为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·山东烟台·对口/高职单招）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·广西·对口/高职单招）不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 8．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 9．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）不等式的解集是 . 10．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）不等式 的解集是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合、不等式（教师讲解卷） 【概念回顾】 一.集合的基本概念与运算 1.元素与集合的关系 属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　 2.集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 3.特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 4.集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 二、不等式 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 2. 一元二次不等式的解法 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 3.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 集合 1.（2026·内蒙古·真题T01）已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可得解. 【详解】集合，集合， ，解得，所以， 故选： . 2.（2025·内蒙古·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合并集的定义即可得解. 【详解】，解得或，所以； ，解得或，则， 则， 故选：. 3．（2024·内蒙古·真题T01）学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合运算概念解题即可. 【详解】设参加了篮球比赛的人为集合，集合中有10个元素， 参加了足球比赛的人为集合，集合中有8个元素， 因为中有个元素， 所以中有个元素， 故选：C. 考点02 不等式的解法 4.（2026·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由含绝对值的不等式的基本解法即可解得. 【详解】解：因为，所以， 则，即 ， 所以不等式的解集为. 故选：C 5.（2025·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由含绝对值不等式的解法直接计算即可. 【详解】由可得，，解得， 故不等式的解集是. 故选：D. 6（2024·内蒙古·真题T02）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即，解得. 故不等式的解集为. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T01）设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个集合的范围，再根据交并补的混合运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以或， 所以 故选：C. 2．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求出，再根据集合的交集求解即可. 【详解】不等式，即，解得，即. 则. 故选：C. 3．（25-26高三下·内蒙古赤峰·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】解含绝对值的不等式，利用对数函数的单调性解不等式化简集合，结合交集及补集的定义即可得解. 【详解】，解得，所以集合， 因为对数函数，底数，在定义域上为增函数， ， 则，解得，所以， 则或， 则， 故选：. 4．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合，， 则， 故选：A. 5．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，集合， 则， 故选：. 6．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出方程组即可得解. 【详解】集合，集合， ，解得， 所以， 故选：. 7．（25-26高三下·湖北·职教高考）若，，则图中阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】韦恩图重叠区域表示两集合的交集. 故选：. 8．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知集合，，若，则实数（     ） A．2 B．1 C． D．或2 【答案】A 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，两集合间的包含关系，及构成集合元素的特性，即可求解. 【详解】因为集合，，且， 所以，所以或， 当时，，此时集合，不符合题意，舍去； 当时，解得或， 当时，集合，此时，符合题意； 当时，此时集合，不符合题意，舍去； 综上所述，. 故选：A. 9．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 则， 故选：D. 10．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）不等式的解集是_______ . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由得，即，解得， 所求不等式的解集为. 故答案为：. 11．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为一元二次方程的两根为，， 又函数的图像为开口向上的抛物线， 与轴的交点坐标为， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知集合，集合，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法表示集合，利用并集的定义即可得解. 【详解】集合，集合， 则， 故选：. 2．（19-20高三下·河南·对口/高职单招）不等式解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式，解得， 故选：. 3．（23-24高三下·山东烟台·对口/高职单招）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值不等式的解法求解. 【详解】不等式，即， 等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 4．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式或， 解得或， 所以解集为， 故选：. 6．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】不等式 等价于，解得. 则不等式 的解集为. 故选：B. 7．（25-26高三下·广西·对口/高职单招）不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式 解得， 所以不等式 的解集为. 故选：B. 8．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：C. 9．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）不等式的解集是______. 【答案】 【分析】根据一元二次方程、二次函数和一元二次不等式的关系，求解不等式可得结果. 【详解】不等式的二次项系数为， 对应的方程的解为，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 10．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）不等式 的解集是____ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，等价于，即， 解得，则解集为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $