第5卷 三角函数的定义及其恒等变换（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，聚焦三角函数定义与恒等变换，通过真题精选实现概念-变换-应用的系统突破，培养数学抽象、运算推理与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数定义|单选6题+填空1题|象限判断、终边与单位圆关系|从角的象限、终边位置抽象三角函数定义，建立坐标与三角函数值的关联| |恒等变换|单选7题+填空4题+解答1题|同角关系、诱导公式计算|以定义为基础推导恒等变换公式，形成“已知三角函数值求其他值”的推理链条| |应用|单选2题+填空1题+解答3题|扇形面积/弧长计算、实际问题|将定义与变换应用于几何（扇形）和现实情境（景观设计），体现数学建模与应用意识|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 三角函数的定义及其恒等变换（学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3．若角是第一象限角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．若扇形的半径为10m，圆心角为1.2rad，则该扇形的弧长是（    ） A．12 B．120 C．6 D．60 5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（   ）.    A． B． C． D． 6．角的终边与单位圆交于点，且角的正切值是，则（    ） A． B． C． D． 7．角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．设θ是第四象限角，则点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 9．120°角转化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．若，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，且角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 14．（    ） A． B． C． D． 15．（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 16．在半径为3米的圆中，的圆心角所对的弧长为________米（结果用表示）． 17．已知，，则_______. 18．已知点是角的终边上一点，则______. 19．已知，则______. 20．_______. 三、解答题 21．化简：. 22．为美化校园环境，我校计划在教学楼之间修建一个周长为16米的扇形景观区域． (1)若要使该景观区域的面积不小于，求半径的取值范围？ (2)请问怎样设计能使该扇形区域面积最大，最大面积为多少？并求此时扇形圆心角的弧度的大小？ 23．已知函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 24.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 三角函数的定义及其恒等变换（学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得  且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 3．若角是第一象限角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据是第一象限角写出角的取值范围，再求角的取值范围，从而得解. 【详解】因为角是第一象限角，则， 所以， 即为， 所以角是第三象限角. 故选：C. 4．若扇形的半径为10m，圆心角为1.2rad，则该扇形的弧长是（    ） A．12 B．120 C．6 D．60 【答案】A 【分析】利用弧度制下的扇形弧长公式求解即可. 【详解】已知扇形半径，圆心角， 则m. 故选：A. 5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形的面积公式求解. 【详解】已知，，所以， 即小扇形的半径，大扇形的半径， 又， 小扇形的面积， 大扇形的面积， 所以扇环形砖雕的面积. 故选：C. 6．角的终边与单位圆交于点，且角的正切值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义结合条件列式即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 且角的正切值是， 即，解得. 故选：B. 7．角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点， 则， 所以. 故选：A. 8．设θ是第四象限角，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】根据θ是第四象限角，确定的符号即可解答. 【详解】已知θ是第四象限角， 则， 则点在第四象限， 故选：D. 9．120°角转化成弧度制为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角度与弧度的换算公式求解即可. 【详解】角转化成弧度制为. 故选：A. 10．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及齐次式化简已知等式即可得解. 【详解】因为，则， 解得， 故选：. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式分子分母同时除以，将变成，再把代入即可求解. 【详解】 ，因为， 所以原式， 故选：C. 12．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】若，即，则， 所以， 故选：B. 13．已知，且角是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由题可知. 因为，所以. 又因为角是第二象限角，所以 所以，因此. 故选：B. 14．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 故选：. 15．（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：A. 二、填空题 16．在半径为3米的圆中，的圆心角所对的弧长为________米（结果用表示）． 【答案】 【分析】根据弧长公式求值即可. 【详解】已知圆心角为， 且半径为3米，所以弧长为， 故答案为：. 17．已知，，则_______. 【答案】 【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为，又， 则， 所以. 故答案为：. 18．已知点是角的终边上一点，则______. 【答案】 【分析】先利用三角函数的定义求出，然后利用两角差的余弦公式求值即可. 因为点是角的终边上一点，所以， 则. 故答案为：. 19．已知，则______. 【答案】 【分析】利用齐次式即可得解. 【详解】， 则， 故答案为：. 20．_______. 【答案】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】 ， 故答案为：. 三、解答题 21．化简：. 【答案】 【分析】根据题意利用诱导公式进行化简即可得解. 【详解】. 22．为美化校园环境，我校计划在教学楼之间修建一个周长为16米的扇形景观区域． (1)若要使该景观区域的面积不小于，求半径的取值范围？ (2)请问怎样设计能使该扇形区域面积最大，最大面积为多少？并求此时扇形圆心角的弧度的大小？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据扇形的面积公式，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据扇形的面积公式，结合基本不等式和弧长公式进行求解即可. （1）设该扇形的弧长为 ， ， ∴半径的取值范围在. （2）， ， 当且仅当时取得最大值， 所以当半径为，扇形的弧长为时，最大面积为，且圆心角. 23．已知函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求解. （2）由题可知，根据余弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1） （2）若，则，又， 所以，则， 解得，所以的取值范围是. 24.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $