第5卷 三角函数的定义及其恒等变换（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，系统构建三角函数定义及恒等变换知识体系，提炼符号口诀、公式逆用等解题方法，精选近三年真题实现精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|9个核心概念|象限符号口诀“Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦”；诱导公式“函数名不变/改变，符号看象限”|从角的概念推广→弧度制→三角函数定义→同角关系→诱导公式→两角和差及二倍角公式，形成概念-公式-应用递进链条| |真题精讲|5个考点7道真题|考点分类突破，如三角函数概念运算、诱导公式应用等|针对高频考点，以真题为载体示范公式正向应用与逆用技巧| |举一反三|10道题|覆盖选择、填空、解答题，强化同角关系、二倍角公式变形|通过变式训练巩固基础方法，培养推理意识| |拓展提升|11道题|扇形面积公式应用、终边位置判断等综合问题|延伸至实际情境，发展数学应用意识与空间观念|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 三角函数的定义及其恒等变换（教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 7．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 3．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 8．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 9．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 三角函数的概念及运算 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点02 诱导公式 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 考点03 同角三角函数的基本关系 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 考点04 二倍角公式 5.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 考点05 两角和与差公式 7.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【举一反三】 一、单选题 1.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2021·内蒙古·真题T06）下列说法正确的是（ ） A. 第二象限的角大于第一象限的角 B. 终边在直线上的角的集合为 C. 角与是相等的角 D. 的角是第三象限角 3．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知，则（    ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高三上·山东·一模）已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（22-23高一下·山东德州·期末）若，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）求值： （    ） A． B． C． D． 二、填空题 8.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 9．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知，则的值是_____________． 三、解答题 10．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知，，且，. (1)求和的值； (2)求的值. 【拓展提升】 一、选择题 1．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）扇形弧长是，面积是π，求圆心角（    ） A．π B． C． D． 2．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河北保定·期中）若角的终边在第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高三下·河南·对口/高职单招）已知角的终边经过点，那么（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 9．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）________． 10．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）若，则________． 三、解答题 11．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知函数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 三角函数的定义及其恒等变换（教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 7．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 3．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 8．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 9．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 三角函数的概念及运算 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得  且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 考点02 诱导公式 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出的值，再由的范围和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知， 所以，所以为象限角第二或者第三象限角， 即， ， 则时，；时，； 即， 故选：B. 考点03 同角三角函数的基本关系 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 考点04 二倍角公式 5.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 6.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 考点05 两角和与差公式 7.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 【举一反三】 一、单选题 1.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，进而求解的值，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C. 2.（2021·内蒙古·真题T06）下列说法正确的是（ ） A. 第二象限的角大于第一象限的角 B. 终边在直线上的角的集合为 C. 角与是相等的角 D. 的角是第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的集合逐一判断即可. 【详解】对A，因为是第二象限角，是第一象限角，且，故A错误. 对B，终边在直线上的角的集合为，故B错误. 对C，当时，角与角是终边相同的角，不是相等角，故C错误. 对D，因为角，所以是第三象限角，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两角和的正切公式求解的值，再由二倍角的余弦公式将正余弦化为正切求解即可. 【详解】由，可得， 即，则有， 解得， 则. 故选：C. 4．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】首先由诱导公式和同角三角函数的商数关系求出的值，再将化为，再将的值代入求值即可. 【详解】已知， 则，所以， 则 ， 故选：B. 5．（25-26高三上·山东·一模）已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及各象限的三角函数的符号求解即可. 【详解】因为，则， 又因为， 所以角所在的象限是第三象限. 故选：C． 6．（22-23高一下·山东德州·期末）若，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据，判断三角函数值的大小，结合象限角，即可求解. 【详解】， ，， 即位于第二象限. 故选：B. 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）求值： （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意得， . 故选：A. 二、填空题 8.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2 9．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知，则的值是_____________． 【答案】/0.1 【分析】利用同角三角函数的平方关系求解. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 故答案为：. 三、解答题 10．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知，，且，. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求出，再由二倍角的正弦公式求值即可. （2）根据两角差的余弦公式求值即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 且，所以. （2）∵，∴， 又，故，得， ，， 所以 【拓展提升】 一、选择题 1．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）扇形弧长是，面积是π，求圆心角（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧长公式和扇形面积公式即可得解. 【详解】设圆心角为，半径为， 则扇形弧长为，面积为， 解得. 故选：D. 2．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知，，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先利用诱导公式化简得 且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 3．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）已知是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据题意结合象限角的定义即可得解. 【详解】因为是第一象限角，则， 则，为第二象限角， 故选：. 4．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 故选：B. 5．（23-24高三上·河北保定·期中）若角的终边在第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据象限角的符号即可选出正确答案. 【详解】第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正， 所以若角的终边在第二象限，则， 故选：B 6．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据终边上点的坐标求三角函数值即可. 【详解】已知角的终边过点，且， 则，则， 则，即，解得（舍去）. 故选：A. 7．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】已知角的终边经过点，则， 进而. 故选：A. 8．（20-21高三下·河南·对口/高职单招）已知角的终边经过点，那么（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】已知角的终边经过点，其中， 那么. 故选：D. 二、填空题 9．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）________． 【答案】0 【分析】根据同角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故答案为：0. 10．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）若，则________． 【答案】 【分析】根据题意结合齐次式的应用即可得解. 【详解】因为，显然， 则， 三、解答题 11．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知函数，求的值． 【答案】 【分析】先利用诱导公式化简函数，再将代入求值即可. 【详解】 ， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $