第4卷 函数的综合性质（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，聚焦函数综合性质，分教师讲解与学生练习卷，配套PPT，实现精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|20题（含奇偶性与单调性综合判断、周期性应用）|定义法判断奇偶性单调性、数形结合分析图像|从函数性质概念生成到真题应用，构建“性质判断-图像分析-简单应用”逻辑链| |解答题|4题（含解析式求解、实际问题建模）|函数建模解决实际问题、单调性证明|从数学思维推导函数关系到用数学语言表达实际问题，形成“原理推导-综合应用-拓展提升”链条|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 函数的综合性质 （学生练习卷） 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：为二次函数，是偶函数，但其图像开口向下，在区间 上单调递减，故A错误； 对于选项B：为偶函数，且在区间 上单调递增，故B正确； 对于选项C：为指数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：为对数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 2．偶函数在上递减，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】偶函数在上递减， 则. 故选：A. 3．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（ ） A． B．2 C． D．98 【答案】B 【分析】根据函数的周期性，代入即可求出函数值. 【详解】因为函数满足， 所以函数周期为2， 又当时，则， 所以， 故选：B. 4．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】偶函数在区间上单调递减， 则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增， 即有最小值为，最大值对照选项，A正确， 故选：A ． 5．如果偶函数在区间上是增函数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性与奇偶性的概念求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 由函数在区间上是增函数，可得在区间上是减函数， 又因为，所以， 则，即. 故选:C. 6．如图所示，在三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形的面积y（平方米）与其一条边长x（米）之间的函数关系是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据图像列出比例关系，表示出矩形另一边，由矩形面积公式即可解得. 【详解】 如图，阴影部分为矩形， 则， 在中，， 设矩形另一边为， 则， 即， 则阴影面积为， 故选：C 7．如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为5 B．减函数且最大值为5 C．增函数且最小值为5 D．增函数且最大值为5 【答案】A 【分析】由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可判断结果． 【详解】因为偶函数在区间上是增函数，且偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反， 所以在区间上是减函数. 又因为在区间上最小值为5，即， 所以在区间上的最小值为. 故选：A 8．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 所以在上单调递减，且， 作出简图，如图所示，    当时，由得，即， 当时，由得，即， 当时，不合题意， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C． 9．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为，该公司销售此商品的最大利润为（    ） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 函数对称轴为，图像开口向下， 所以函数在单调递增，在单调递减， 因为， 所以当时，函数有最大值， 此时，， 故选：D 10．已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在上是增函数可知，；又因函数是定义在上的奇函数，可得，从而可得结果. 【详解】因为在上是增函数， . 又函数是定义在上的奇函数， 所以， 故. 即. 故选：B 11．已知函数是上的奇函数，当时，，且满足，则等于（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质，求出，由赋值得，即函数的周期为4，据此可求解. 【详解】因为函数是上的奇函数，时，， 所以，解得， 即当时，. 又， 所以，可得4为函数的一个周期， 所以． 故选：D 12．设函数是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数与周期函数的性质可得，再将代入解析式中求值即可. 【详解】因为函数是定义在上且周期为2的偶函数， 且当时，， 所以. 故选：D. 13．已知奇函数的定义域为，且函数是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质以及函数的单调性和定义域来确定实数的取值范围. 【详解】已知是奇函数，则， 由，可得， 根据奇函数性质进一步得到， 因为是减函数， 所以当时，有，解得， 函数的定义域为， 所以和都要在定义域内，可列出不等式组，可得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 14．已知是奇函数，若当时，，其中，则当时，的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意结合指数函数的图像及奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以为减函数，其在的图像大致如图所示：    又因为是奇函数，所以图像关于原点对称， 所以当时，函数的图象大致如图所示：    故选：. 15．已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D．与无大小关系 【答案】A 【分析】根据题意得出，利用偶函数及单调性的性质即可得解. 【详解】若，且，则， 又因为函数是上的偶函数，且在上是增函数， 所以在上是减函数，即， 又因为，所以， 故选：. 二、填空题 16．定义在上的函数满足：，且在上单调递减，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据已知条件判断函数的对称轴，由对称轴判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求解. 【详解】由可知函数的图像关于对称， 因为函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 由可得， 所以不等式可转换为， 当时，，函数单调递增，则，解得， 当时，，函数单调递减，则，解得， 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 17．已知奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性结合单调性列式即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，且， 所以， 则不等式可整理为， 因为函数在上是增函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 18．函数为R上的奇函数，当时，则___________. 【答案】 【分析】由当时求出的值，再结合奇函数的性质即可求解. 【详解】因为当时， 则， 又函数为R上的奇函数，所以. 故答案为：. 19．已知偶函数的定义域为，那么________. 【答案】/ 【分析】根据偶函数的性质以及指数幂的运算求解即可. 【详解】∵函数为偶函数， ∴，即， ∴， ∴，即，解得， ∵该偶函数的定义域为， ∴， ∵，即，解得， ∴. 故答案为：. 20．已知函数是定义在R上的偶函数，时，则时，函数 . 【答案】 【分析】根据函数的偶函数的性质即可解答. 【详解】已知函数是定义在R上的偶函数， 且时，， 若时，则，， 所以， 故答案为：. 三、解答题 21．已知奇函数和偶函数满足 (1)求和的解析式； (2)判断并证明在上的单调性 (3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案； （2）先判断，在利用定义法证明； （3）设A=，B=，由可知， A，列出不等式组即可求出k的范围． 【详解】（1）由奇函数和偶函数可知， ，， 因为，① 用替换得 故，即，② 联立解得，， （2）在上单调递增；证明如下： 取 所以 因为 所以， 所以 所以在上单调递增 （3）设A=， 令，则化为， 易知在上单调递增， 故，， 故； 设B=， 令，则化为， 易知在单调递增， 故， 则时，． 若对于任意的，存在， 使得可知A， 则A，则显然，则B=， 则， 则，解得． 22.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为25，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到   的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【小问1详解】 已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. 【小问2详解】 由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即 的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点   处取得最小值：. 23.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 24.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 函数的综合性质 （学生练习卷） 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．偶函数在上递减，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 3．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（ ） A． B．2 C． D．98 4．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 5．如果偶函数在区间上是增函数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形的面积y（平方米）与其一条边长x（米）之间的函数关系是 （     ） A． B． C． D． 7．如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为5 B．减函数且最大值为5 C．增函数且最小值为5 D．增函数且最大值为5 8．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D．   9．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为，该公司销售此商品的最大利润为（    ） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 10．已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数是上的奇函数，当时，，且满足，则等于（    ） A． B．3 C． D．1 12．设函数是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知奇函数的定义域为，且函数是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知是奇函数，若当时，，其中，则当时，的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   15．已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D．与无大小关系 二、填空题 16．定义在上的函数满足：，且在上单调递减，则不等式的解集为________． 17．已知奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为________． 18．函数为R上的奇函数，当时，则___________. 19．已知偶函数的定义域为，那么________. 20．已知函数是定义在R上的偶函数，时，则时，函数 . 三、解答题 21．已知奇函数和偶函数满足 (1)求和的解析式； (2)判断并证明在上的单调性 (3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围 22.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 23.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 24.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $