第4卷 函数的综合性质（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合函数四大性质的判定方法与综合应用，通过真题与模拟题实现方法迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|4类性质+3个周期结论|奇偶性定义/图象/性质法、单调性定义/导数法、对称性与周期构造经验|从定义推导性质联系，构建“判定-转换-应用”逻辑链| |真题精讲|3道近3年真题|二次函数解析式求解、实际问题建模、最值分析|以真题载体，体现“建模-性质应用-解决”思维| |举一反三|11道模拟题|抽象函数性质判断、不动点问题解法|覆盖多样题型，强化性质交叉应用的推理能力| |拓展提升|11道综合题|分段函数零点分析、利润优化模型|深化性质与导数结合，发展创新意识与应用能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 函数的综合性质（教师讲解卷） 【概念回顾】 函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图象的变化。 函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，求解时要研究函数各性质间的相互联系，对性质进行综合、灵活地应用． 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数在另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 4.关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论 (1).若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|. (2).若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|. (3).若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|. 【真题精讲】 考点01 函数的综合应用 1.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为25，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到   的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【小问1详解】 已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. 【小问2详解】 由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即 的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点   处取得最小值：. 2.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 3.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 【举一反三】 1．（24-25高三上·广东·模拟预测）已知函数为定义在R上的偶函数，且函数在上是增函数，则下列各图像中，能表示函数在上的图像的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合题意，即可判断. 【详解】因为函数为定义在R上的偶函数，， 所以，故函数图像过点，所以选项错误； 又函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数，所以选项B错误； 所以只有选项A满足条件． 故选：A． 2．（21-22高三·重庆·模拟预测）已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A． B．0.5 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】由函数为偶函数，可得，再由函数周期性求解即可. 【详解】因为为区间上的偶函数，所以， 又因为以4为周期，所以， 所以. 故选：B. 3．（21-22高三·江苏徐州·二模）已知函数是定义在上的奇函数,且对任意的都有,当时,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的定义，函数的周期性即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 因为当时，. 则时，. 因为，所以的周期为. 所以. 解得. 所以. 所以. 所以. 故选:. 4．（24-25高三下·湖南·二模）已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，从而利用奇偶性及单调性求解即可. 【详解】设，由题意得，所以， 其定义域为R，又，所以函数为奇函数， 任取，因为， 所以，所以函数单调递增， 故选：A 5．（23-24高三上·江苏·一模）设是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（    ） A．1 B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】由是奇函数，且，可得函数为周期函数，求出函数的最小正周期为，然后利用函数的周期性和奇偶性之间的关系可知，由题意求出其值. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∵，∴，即， ∴，即， ∴函数的最小正周期为， ∴， ∵是定义在上的奇函数，∴， ∵当时，， ∴. 故选：D. 6．（18-19高三·江苏·一模）若偶函数在上单调增加，且，则的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由已知条件和偶函数的对称性，作出的大致图像，从而求解. 【详解】由于可知，函数经过点， 又函数在上单调增加， 根据偶函数图像的对称性，可作出函数的大致图像如下. 由图可得的解集为. 故选：B 7．（17-18高三·四川·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则__________.（用数字作答） 【答案】/1.5 【分析】先判断函数为周期函数并结合奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数所以且， 因为对任意，都有，所以是周期为2的函数， 所以， 又因为， 所以，又因为， 所以. 故答案为：. 8．（20-21高三·江苏盐城·二模）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则______． 【答案】 【分析】由题意得出函数为周期函数，利用周期性，偶函数即可得解. 【详解】因为，所以. 所以，所以函数为周期为的周期函数. 所以. 因为为偶函数. 所以. 所以. 故答案为：. 9．（21-22高三·江苏无锡·一模）设函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析，原不等式等价于，解可得m的取值范围即可得答案. 【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数， 当时，单调递减， 则等价于， 解得：，则m的取值范围为. 故答案为：. 10.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不定点的定义，将两个定点代入函数即可求解 （2）根据两个相异的不动点转换成，由此构造成不等式，结合函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即， 解得． 所以，. 【小问2详解】 函数总有两个相异的不动点， 即关于x的方程有两个不等根， 化简得到， 所以，即， 由题意，关于b的不等式恒成立，所以． 解得：． 11.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程的两根一正一负可以用和两根之积小于0判断解决. （2）当时，不等式恒成立，就是，由得整理不等式求解即可. 【小问1详解】 设方程有一正根和一个负根， 则 ， 解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时,不等式恒成立， 即， 因为， 所以，， 而，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围为. 【拓展提升】 1．（21-22高三·江苏·二模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意结合奇函数的性质可得函数的周期，再进行转化即可得解. 【详解】因为函数为奇函数，且， 所以，， 也即，4为函数的一个周期， 所以. 故选：A. 2．（25-26高三上·四川·三模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出函数的周期，再利用函数的奇偶性和周期性将转化为已知区间内的函数值进行计算. 【详解】由，得，即， 所以函数的周期为5， 又因为是上的奇函数，， 所以. 故选：D. 3．（21-22高三·江苏盐城·三模）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意画出函数的图象，结合图象可得关于m的不等式，解不等式可求解. 【详解】由于函数为偶函数，且先减后增； 函数的对称轴为，且在对称轴右侧单调递增， 故当时，函数先减后增，当时，函数单调递增，画出函数大致图象如图所示： 要使有三个不同的根，则必须满足， 所以，又， 解得. 故答案为： 4．（23-24高三下·江苏盐城·二模）定义：若，且点关于坐标原点的对称点也在的图象上，则称为的一个“幸运点”，已知在上有且只有一个“幸运点”，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据题中新定义的“幸运点”,结合函数的对称性,再由题中已知条件,建立函数式,因此得在上有且仅有一个解,又由,讨论的取值范围,即可求解. 【详解】解:设在的图象上, 则其关于原点的对称点在的图象上, 则即 由题意得在上有且仅有一个解, 当,则. 若即时,有不符合题意, 若即时,作出图象如图,    若要满足题意,则即, 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高三下·江苏盐城·三模）已知函数，方程有四个不等实根，，，，且，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意作出函数图像即可得解. 【详解】    如图所示，作出函数图像， 因为时，，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，最大值为，所以顶点坐标为， 当时，，所以与轴交点坐标为， 根据图像可知，方程有四个不等实根， 则k的取值范围是， 故答案为：. 6．（25-26高三上·四川·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，的图像关于点对称，则方程在上的所有解之和为 . 【答案】8 【分析】先由函数的奇偶性与对称性推导出周期，再结合对称性确定方程的根的分布，最后求和. 【详解】由为偶函数，得， 则函数的图像关于直线对称，所以， 又因为函数的图像关于点对称，所以， 所以，令，则有， 即，因此是周期为4的函数. 由函数的图像关于点对称，所以， 根据函数的周期性及对称性可以得到， 所以在上的所有解之和为. 故答案为：8. 7．（18-19高三·江苏盐城·一模）为了提高产品的年产量，某企业拟在年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量万件与投入技术改革费用万元满足（为常数）.如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入万元.由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金） (1)求确定的值； (2)将年该产品的利润万元表示为技术改革费用万元的函数（利润销售金额生产成本技术改革费用） (3)该企业年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)技术改革费用投入万元时，利润最大为万元. 【分析】（1）将的值带入解析式中即可解得； （2）根据已知写出销售价格与产量的函数关系式，再由利润公式列出函数即可解得； （3）根据已知函数关系式，由基本不等式即可解得. 【详解】（1）由题意可知，当时，（万件）， 所以，所以. （2）由（1），，， 所以每件产品的销售价格为（元） 所以2013年的利润 . （3）因为，所以， 当且仅当，即时取得最大值，最大值， 所以该企业年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为万元. 8．（23-24高三下·四川·三模）设，函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的图像关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）将代入函数解析式，再画出函数图像，即可得到增减区间. （2）根据函数关于点对称得到函数为奇函数，再由双钩函数的性质即可求解. 【详解】（1）若则， 所以的图像如下：    由图知：在上递减，在上递增， 所以单调递减区间为；单调递增区间为． （2）因为函数的图像关于点对称， 所以的图像关于点对称， 所以为奇函数，则， 所以有， 即在上恒成立， 所以恒成立，故， 所以， 故 因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 由， 令， 得， 因为， 当即时取“”， 所以， 所以. 9．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）设是定义在上的奇函数，当时． (1)求当时，的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合奇函数的性质即可得解. （）根据二次函数的单调性，列出不等式，解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】（1）当时，则，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以当时，的解析式为． （2）因为， 又因为当时，图像为开口向上的抛物线，对称轴， 函数在上为增函数，， 所以或， 所以或， 则实数的取值范围. 10．（25-26高三下·江苏·二模）已知定义在上的函数的图像关于原点对称． (1)求的解析式； (2)若对于函数定义域内的任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据奇函数的性质分析求解即可. （2）根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）由题意函数的图像在上关于原点对称， 可知是奇函数，从而，得， 且，所以， 从而的解析式为. （2）因为不等式恒成立， 所以． 因为在上单调递增， 在上单调递增， 因此在其定义域上单调递增， 所以，从而， 故，即， 解得或． 11．（25-26高三上·江苏·二模）某采矿公司在一次采矿中共花费万元采得某种共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利2万元，如果进行精加工后销售，每吨可获利6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费（万元）与精加工的产量（吨）的关系为设该采矿公司将（吨）这种矿进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为（万元）. (1)写出关于的函数表达式； (2)当这种矿精加工多少吨时，总利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当这种矿精加工4吨时，总利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意建立函数模型即可. （2）根据二次函数的顶点式以及一次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）已知， 由题意可知，当时， ， 当时， ， 所以， （2）由（1）知当时， ， 所以当时，（万元）， 当时，是增函数， 所以当时，（万元）， 因为，所以当时，万元， 所以当这种矿精加工4吨时，总利润最大，最大利润为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 函数的综合性质（教师讲解卷） 【概念回顾】 函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图象的变化。 函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，求解时要研究函数各性质间的相互联系，对性质进行综合、灵活地应用． 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数在另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 4.关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论 (1).若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|. (2).若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|. (3).若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|. 【真题精讲】 考点01 函数的综合应用 1.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 2.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 3.（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【举一反三】 1．（24-25高三上·广东·模拟预测）已知函数为定义在R上的偶函数，且函数在上是增函数，则下列各图像中，能表示函数在上的图像的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高三·重庆·模拟预测）已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A． B．0.5 C．3.5 D．4 3．（21-22高三·江苏徐州·二模）已知函数是定义在上的奇函数,且对任意的都有,当时,,则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖南·二模）已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 5．（23-24高三上·江苏·一模）设是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（    ） A．1 B． C．3 D．0 6．（18-19高三·江苏·一模）若偶函数在上单调增加，且，则的解集为（   ） A． B． C． D．或 7．（17-18高三·四川·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则__________.（用数字作答） 8．（20-21高三·江苏盐城·二模）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则______． 9．（21-22高三·江苏无锡·一模）设函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，则实数m的取值范围是__________. 10.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 11.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【拓展提升】 1．（21-22高三·江苏·二模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高三上·四川·三模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则（     ） A．8 B．4 C． D． 3．（21-22高三·江苏盐城·三模）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是________． 4．（23-24高三下·江苏盐城·二模）定义：若，且点关于坐标原点的对称点也在的图象上，则称为的一个“幸运点”，已知在上有且只有一个“幸运点”，则的取值范围为______． 5．（25-26高三下·江苏盐城·三模）已知函数，方程有四个不等实根，，，，且，则k的取值范围是_____________． 6．（25-26高三上·四川·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，的图像关于点对称，则方程在上的所有解之和为 . 7．（18-19高三·江苏盐城·一模）为了提高产品的年产量，某企业拟在年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量万件与投入技术改革费用万元满足（为常数）.如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入万元.由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金） (1)求确定的值； (2)将年该产品的利润万元表示为技术改革费用万元的函数（利润销售金额生产成本技术改革费用） (3)该企业年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润. 8．（23-24高三下·四川·三模）设，函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的图像关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 9．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）设是定义在上的奇函数，当时． (1)求当时，的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 10．（25-26高三下·江苏·二模）已知定义在上的函数的图像关于原点对称． (1)求的解析式； (2)若对于函数定义域内的任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 11．（25-26高三上·江苏·二模）某采矿公司在一次采矿中共花费万元采得某种共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利2万元，如果进行精加工后销售，每吨可获利6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费（万元）与精加工的产量（吨）的关系为设该采矿公司将（吨）这种矿进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为（万元）. (1)写出关于的函数表达式； (2)当这种矿精加工多少吨时，总利润最大，并求出最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $