第3卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”逻辑构建指数函数与对数函数专项训练，系统整合概念、性质与解题方法，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2类函数系统梳理|构建根式-指数幂-指数函数、对数概念-运算法则-对数函数知识网络|从定义到性质，形成概念生成→原理推导→图象特征的逻辑链条| |真题精讲|2考点6题|分考点突破运算法则应用、图象性质分析，提炼符号运算与逻辑推理技巧|针对高频考法，建立题型与解法的对应关系| |举一反三|12题|通过变式训练强化运算能力与推理意识，迁移核心解题方法|覆盖基础应用到综合辨析，巩固知识内在联系| |拓展提升|10题|综合考查定义域、值域及跨模块应用，发展模型意识与创新意识|从单一知识点到综合问题，提升问题解决能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第3卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的运算法则 1.（2026·内蒙古·真题T10）已知函数则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论当和时，列出方程即可得解. 【详解】函数，且， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以解集为， 故选： . 2.（2026·内蒙古·真题T13）已知函数，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数 为奇函数，再利用奇函数的性质求解的值. 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数 是奇函数. 所以. 已知，所以. 故答案为：. 3.（2025·内蒙古·真题T03）已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 4.（2024·内蒙古·真题T13） 已知函数，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域、对数的运算及函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数，所以， 此不等式等价于，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以. 故答案为：. 考点02 指数函数与对数函数的图象与性质 5.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 6.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 2.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 3．（25-26高三下·内蒙古·模拟预测）已知函数为对数函数，则实数的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义列方程求解即可. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，则， 解得或，因为且， 所以, 故选：C. 4．（25-26高三上·四川·二模）设，，，则a，，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， 因为以3为底数的对数函数为增函数， 所以，即， 且， 因为以3为底数的指数函数为增函数， 所以，即， 则. 故选：A. 5．（25-26高一上·内蒙古·期末）函数与在同一直角坐标系中的图像大致是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次函数与指数函数的图像与性质分析即可. 【详解】当时，为减函数且过定点， 为增函数且交于轴正半轴于和之间，故CD错误； 当时，为增函数且过定点， 为增函数且交于轴正半轴于之上，故A正确，B错误， 故选：A. 6．（25-26高一上·内蒙古·期末）（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】原式. 故选：C. 7．（25-26高一上·内蒙古·期末）若函数是指数函数，则（   ） A．1 B．4或1 C．1或2 D．4 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义，列方程求解即可. 【详解】已知指数函数， 若函数是指数函数， 则令，解得， 则，， 故选：D. 8．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数则方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论当和时，列出方程即可得解. 【详解】函数，且， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以解集为， 故选：. 9．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．16 D．4 【答案】D 【分析】先将函数 化为同底对数形式，再根据对数的运算法则进行计算. 【详解】， 已知，可得：，即，所以， 故选：D. 10．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）比较大小：________． 【答案】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 11．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，则，，的大小关系是____________. 【答案】 【分析】根据对数函数单调性求出每个式子的范围，再结合作差法比大小即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以时，，即， 所以，，所以， 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 12．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）若实数满足不等式 (1)求实数的值 (2)解关于的不等式 【答案】(1). (2). 【分析】（）解一元二次不等式即可得解. （）根据题意结合对数函数的单调性列出不等式即可得解. 【详解】（1）， 则，解得. （2）因为，则函数在定义域上为增函数， 因为恒成立，且， 则，解得， 所以解集为. 【拓展提升】 1．（25-26高一上·内蒙古·期末）若，则，大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】指数函数，底数，所以在定义域上为减函数， ，所以， 故选：A. 2．（23-24高三下·河北·模拟预测）设则 （   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义，指数的运算，对数的运算即可求解. 【详解】函数 ，又， 即. 故选：B. 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用换元法结合指数函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 因为，所以在上，的最小值为，无最大值， 所以函数的值域为， 故选：. 4．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）函数的定义域为____________. 【答案】 【分析】根据根式、分式及对数函数有意义即可得解. 【详解】要使函数有意义则： ，解得， 所以函数的定义域为： 且.即. 故答案为：. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）若，则________． 【答案】3 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【详解】，解得， 故答案为：. 6．（25-26高一上·内蒙古·期末）已知，的值为______. 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式的互化法则计算即可. 【详解】已知， 则，解得， 所以. 故答案为：. 7．（19-20高三下·内蒙古·期末）已知，则___________. 【答案】2 【分析】令，转化为对数式为，将其代入函数解析式中求值即可. 【详解】已知， 令，得， 所以， 故答案为：2. 8．（23-24高三下·江西九江·对口/高职单招）若，则____________ . 【答案】0 【分析】由算术平方根和绝对值的非负性，可得的值，代入计算可得结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得， 所以. 故答案为：0 9．（22-23高一下·内蒙古通辽·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据对数的基本运算，即可求解. （2）根据指数的基本运算，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2） . 10．（25-26高一上·内蒙古·期末）已知二次函数满足，且该函数的图像与轴交于点，在轴上截得的线段长为4. (1)求函数的解析式； (2)若，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的图象的性质得出与轴交点坐标为，，再将点代入解析式中列方程组求解即可. （2）根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以的对称轴为， 又因为在轴上截得的线段长为4， 所以与轴交点坐标为，， 且该函数的图像与轴交于点， 由此可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，， 由可得，， 则， 因为在上为增函数， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第3卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的运算法则 1.（2026·内蒙古·真题T10）已知函数则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·内蒙古·真题T13）已知函数，且，则________． 3.（2025·内蒙古·真题T03）已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 4.（2024·内蒙古·真题T13） 已知函数，若，则_________. 考点02 指数函数与对数函数的图象与性质 5.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 6.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3．（25-26高三下·内蒙古·模拟预测）已知函数为对数函数，则实数的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 4．（25-26高三上·四川·二模）设，，，则a，，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古·期末）函数与在同一直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·内蒙古·期末）（    ） A．5 B．1 C． D． 7．（25-26高一上·内蒙古·期末）若函数是指数函数，则（   ） A．1 B．4或1 C．1或2 D．4 8．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知函数则方程的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．16 D．4 10．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）比较大小：________． 11．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，则，，的大小关系是____________. 12．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）若实数满足不等式 (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 【拓展提升】 1．（25-26高一上·内蒙古·期末）若，则，大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河北·模拟预测）设则 （   ） A．0 B．1 C． D．2 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）函数的定义域为____________. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）若，则________． 6．（25-26高一上·内蒙古·期末）已知，的值为______. 7．（19-20高三下·内蒙古·期末）已知，则___________. 8．（23-24高三下·江西九江·对口/高职单招）若，则____________ . 9．（22-23高一下·内蒙古通辽·期中）计算： (1); (2). 10．（25-26高一上·内蒙古·期末）已知二次函数满足，且该函数的图像与轴交于点，在轴上截得的线段长为4. (1)求函数的解析式； (2)若，当时，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $