专题04 指数函数与对数函数（B卷·能力提升）-2027版广东省（“3+证书”考试）《数学二轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数核心概念及性质，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化概念理解与综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|约5题|图像识别、定义域求解|从定义到图像性质，构建概念生成链条| |性质应用|约4题|单调性判断、比较大小|结合奇偶性、单调性，形成性质应用逻辑| |综合运算|约5题|指数对数运算、不等式证明|从运算到应用，体现知识迁移与推理能力|

编写说明：2027版广东省（“3+证书”考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年广东省（“3+证书”考试）《数学二轮讲练测》 专题04 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．     【答案】A 【分析】由指数函数的图象判断即可. 【详解】若，则函数，为指数函数在上单调递增，且定义域为， 故只有A选项的图象符合题意. 故选：A. 2．已知函数的图象与单调递减函数的图象相交于点，给出下列四个结论：则（1）；（2）；（3）；（4）当时，；其中正确的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，指数式与对数式的互化，函数单调性的定义，结合题意，即可判断. 【详解】因为函数的图象与单调递减函数的图象相交于点， 所以将点代入得，故（3）正确； 所以，故（1）正确，（2）错误； 因为是单调减函数，故当时，，即， 又函数在R上是单调增函数，故当时，，即， 所以，故（4）正确； 所以正确的结论有3个. 故选：C. 3．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】因为，即， 又，， 所以， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据指数函数的图像和函数图像的变换规律分析即可. 【详解】因为底数， 所以函数在定义域上单调递减， 且恒过点，值域为，此时函数图像过第一、二象限； 又因为函数的图像是由函数图像向下平移个单位得到的， 当时，， 所以函数恒过点，值域为， 此时函数图像过第二、三、四象限， 所以函数的图像不经过第一象限， 故选：A. 5．在同一坐标系中画出函数 ，， 的图象，可能正确的是 （    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，以及一次函数与轴的交点坐标，分析求解. 【详解】当时，和均为减函数，且与轴的交点纵坐标小于1， 当时，和均为增函数，且与轴的交点纵坐标大于1， 选项A中，直线与轴的交点纵坐标大于1，即，满足和图像均单调递增，A正确， 选项B中，直线与轴的交点纵坐标大于1，即，但是和图像均单调递减，B错误， 选项C中，直线与轴的交点纵坐标大于1，即，但是和图像不全为单调递增，C错误， 选项D中，直线与轴的交点纵坐标小于1，即，但是和图像均单调递增， D错误， 故选：A. 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质求出常数的值，再根据奇函数的定义计算. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 已知当时，， 可得：，即，解得， 所以当时，. 因为，可得：， 因为是奇函数，所以. 故选：B. 7．若 ，且 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质判断①，根据指数函数的性质判断②，根据对数函数的性质判断③④. 【详解】∵，∴，又， 当时，幂函数在上单调递减，∴，∴①正确； ∵，∴， 当时，指数函数为上的单调递减函数， ∴，∴②正确； ∵对数函数在上单调递减，且， ∴，∴③正确； ∵，∴， 当时，对数函数在上单调递减， ∴，∴④正确，故正确的有个. 故选：D. 8．已知，，则 =（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 9．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由对数函数的单调性求出集合，再由交集的概念求解即可. 【详解】已知集合， 因为在上为增函数， 所以由，得， 即，所以， 则 ， 故选：B. 10．若 ，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，可判断A错误；利用不等式的性质及中间量1，可判断B错误；利用作商法及指数函数的单调性，可判断C错误；利用对数函数的单调性、不等式的性质和换底公式，可判断D正确. 【详解】对A选项，因为，所以，又，所以，故错误； 对B选项，因为，，所以， ，， 此时，故错误； 对C选项，因为，，所以，. 所以，即，故错误； 对D选项，因为，，所以， 即，故，D正确. 故选：D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．_________. 【答案】4 【分析】根据指数、对数的运算法则求解即可. 【详解】. 故答案为：4. 12．计算： ________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 13．设函数，若，则_____. 【答案】0或 【分析】根据分段函数的定义域，分情况讨论的取值范围，然后分别代入对应的函数表达式求解. 【详解】因为函数，又， 若，则，所以，解得，符合题意； 若，则，所以， 因为函数的值域为，所以方程解得； 综上所述，的值为0或. 故答案为：0或. 14．若，则__________. 【答案】12 【分析】根据对数与指数的互化，对数恒等式的运算法则计算即可. 【详解】由，得， ， 则. 故答案为：. 15．若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据对数函数单调性解不等式即可. 【详解】已知，即， 若时，在上为减函数， 因为所以与矛盾，不符合题意， 若，在上为增函数， 因为，所以， 则的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．设函数． (1)求证：不论为何实数总为增函数； (2)确定的值，使为奇函数； (3)在（）的条件下求的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明； （2）根据奇函数的性质可得，从而求得，然后利用奇函数的定义验证即可； （3）利用指数的性质及不等式的性质推导函数的值域. 【详解】（1）函数的定义域为，设， 则， 因为，所以，得， 即，则， 即不论为何实数总为增函数． （2）因为函数的定义域为，若为奇函数， 所以，即，解得． 当时，， ∴，∴是奇函数， 所以. （3）当时，， 因为，则，所以，， 则，得，即， 即的值域为． 17．已知指数函数（，且）过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据指数函数图像上的点求解解析式即可. （2）根据指数函数的单调性即可求解参数. 【详解】（1）∵指数函数（，且）过点. ∴，解得 ∴函数. （2）∵，∴ ∵函数在上是减函数 ∴，∴，解得或 实数的取值范围为或 18．已知函数的图像经过点. (1)求的值； (2)设函数，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）∵函数的图像经过点， ∴，解得； （2）由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 19．已知函数，求： (1)函数的定义域； (2)函数的单调递减区间. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据真数大于零列出不等式即可得解. （）根据复合型对数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数， 则， 解得或， 所以定义域为. （2）令，则原函数可表示为， 外层函数：底数，在上单调递减. 内层函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 根据“同增异减”，结合定义域， 内层函数在上单调递增. 因此函数的单调递减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版广东省（“3+证书”考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年广东省（“3+证书”考试）《数学二轮讲练测》 专题04 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．     2．已知函数的图象与单调递减函数的图象相交于点，给出下列四个结论：则（1）；（2）；（3）；（4）当时，；其中正确的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在同一坐标系中画出函数 ，， 的图象，可能正确的是 （    ） A．   B．   C．   D．   6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A．2 B． C． D． 7．若 ，且 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知，，则 =（     ） A． B． C． D． 9．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 10．若 ，，则正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．_________. 12．计算： ________． 13．设函数，若，则_____. 14．若，则__________. 15．若，则的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．设函数． (1)求证：不论为何实数总为增函数； (2)确定的值，使为奇函数； (3)在（）的条件下求的值域． 17．已知指数函数（，且）过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知函数的图像经过点. (1)求的值； (2)设函数，求不等式的解集. 19．已知函数，求： (1)函数的定义域； (2)函数的单调递减区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $