第1章 图形的相似（知识清单，8考点+9易错+易错训练）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学“图形的相似”单元知识清单系统梳理了比例性质、相似图形判定与性质、位似等核心内容，涵盖线段的比、平行线分线段成比例、相似三角形应用等知识范畴，搭建从基础概念到判定方法再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级+易错点辨析+模型归纳”呈现知识体系，如标注“SSA不能判定相似”等易错提醒，归纳A字型/X字型等常见模型，培养学生推理意识与模型意识。设计“对点训练”链接中考题型，如比例尺计算、位似坐标变换实例，助力学生高效掌握要点，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第1章 图形的相似 知识点一 线段的比 ● 比例的基本性质 1．基本性质：若 ，则 。 2．合比性质：若 ，则 。 3．等比性质：若 （），则 。 ● 成比例线段 1．定义：在四条线段 中，若 ，则称这四条线段成比例。 2．比例中项：若 ，则 叫 的比例中项，。 3．注意：成比例线段有顺序性， 成比例 成比例。 ● 黄金分割 1．定义：点 把线段 分成 和 （），若 ，则称线段 被点 黄金分割。 2．黄金比：。 知识点二 平行线分线段成比例 ● 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ● 基本模型 1．A字型：，则 。 2．X字型（8字型）：，则 。 ● 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。 知识点三 相似图形 ● 相似多边形 1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2．相似比：对应边的比叫做相似比（记为 ）。全等是相似的特例（）。 ● 相似多边形的性质 1．对应角相等，对应边成比例。 2．周长比 相似比 。 3．面积比 相似比的平方 。 ● 判定要点 1．两个矩形相似 对应边成比例。 2．两个菱形相似 对应角相等。 3．两个正方形一定相似。 知识点四 相似三角形的判定 ● 四种判定方法 1．平行判定：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．两角判定（AA）：两角分别对应相等的两个三角形相似。 3．两边夹角判定（SAS）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4．三边判定（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。 ● 易错提醒 1．SSA不能判定相似：两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定相似。 2．找对应关系时，按"大对大、小对小"原则。 ● 常见相似模型 A字型、X字型、母子相似型、一线三等角（K字型）、旋转相似型。 知识点五 相似三角形的性质 ● 基本性质 对应角相等，对应边成比例（比为 ）。 ● 对应线段之比 对应高之比 对应中线之比 对应角平分线之比 相似比 。 ● 周长与面积 1．周长比 相似比 。 2．面积比 相似比的平方 。 知识点六 相似三角形的应用 ● 测量方法 1．影子法：同一时刻，物高与影长成正比，。 2．镜子法：利用光的反射，构造相似三角形。 3．标杆法：利用标杆与目标构造A字型相似。 知识点七 位似 ● 位似图形 1．定义：两个相似图形，对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形。 2．位似中心：对应顶点连线的交点。 3．位似比 相似比 对应顶点到位似中心的距离之比。 ● 位似的性质 1．位似图形一定是相似图形，反之不一定成立。 2．位似比 时两图形在位似中心同侧； 时在异侧。 ● 坐标变换 以原点为位似中心，位似比为 ： 或 。 易错点辨析 易错点1 比例性质中交叉相乘的符号错误 易错提醒 1．比例基本性质 ，交叉相乘时要注意各项的符号，尤其是分式中含有负号时，拆分后每一项都要变号。 2．分式减法 ，分子是 而非 ；遇到 求 类问题时，可设 代入化简。 3．合比性质和等比性质是化简分式求值的常用工具，使用前需验证分母不为零。 【对点训练】 1．（2026·广东·二模）已知则 的值为______． 1．比例尺计算中，图上距离与实际距离的单位必须统一。常见错误是直接用千米与厘米相比，正确做法：先将实际距离换算为厘米（千米厘米）。 2．成比例线段的四条线段必须是同一单位下的长度值，若题目给出的单位不同，必须先统一单位再列比例式。 3．比例尺是一个无单位的比值，计算结果要注意题目要求的单位。 【对点训练】 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 1．四条线段 成比例是指 ，顺序不可随意调换。 成比例 成比例。 2．当题目给出四条线段的长度但未指定顺序时，需要按大小排序后分情况讨论。 3．比例中项：若 是 的比例中项，则 ，注意 取正值。 【对点训练】 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 1．平行线分线段成比例定理的核心是"对应线段成比例"，关键是找准对应关系。A字型中 ，X字型中 。 2．常见错误是把不同位置的线段混在一起列比例式。正确做法：先画出平行线和截线，标注交点字母，按"同侧对应"原则列式。 3．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。 【对点训练】 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．相似多边形必须同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例。缺一不可。 2．特殊四边形的相似判定：两个正方形一定相似；两个矩形只满足角相等，边不一定成比例；两个菱形只满足边成比例，角不一定相等。 3．对于正多边形，同类型的正多边形一定相似；对于一般多边形，必须逐一验证角和边两个条件。 【对点训练】 5．下列各组图形中，一定相似的是（  ） A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形 1．相似三角形的四种判定方法为：平行法、AA、SAS、SSS。SSA（两边成比例且其中一边的对角相等）不能判定相似，这是最常见的误用。 2．SAS判定的关键是"夹角"——成比例的两边所夹的角必须相等。若相等的角不是夹角，则不能判定相似。 3．直角三角形有特殊判定：一个锐角相等、两直角边对应成比例、斜边和一条直角边对应成比例，均可判定相似。 【对点训练】 6．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 1．相似三角形的性质中，对应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比、周长之比都等于相似比 ；但面积比等于相似比的平方 ，这是最常混淆的知识点。 2．解题时若已知面积比求相似比，需要开平方：。反之，已知相似比求面积比，需要平方：。 3．注意区分"同高面积比底之比"与"相似面积比相似比平方"两种不同情境。 【对点训练】 7．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．位似图形的对应顶点连线交于一点，该点即为位似中心。位似中心可能在图形内部、外部或边上，需要根据对应点的连线来确定。 2．以原点为位似中心、位似比为 时，对应点坐标为 或 ，前者两图形在位似中心同侧（正位似），后者在异侧（负位似）。 3．位似比 表示放大， 表示缩小。位似图形的周长比等于位似比 ，面积比等于位似比的平方 。 【对点训练】 8．如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的； (2)以原点为位似中心，将放大为原来的2倍． 1．以原点 为位似中心，位似比为 时，原图形上点 的对应点坐标为 （同侧）或 （异侧）。两种情况对应两个不同的位似图形。 2．以非原点 为位似中心时，变换公式为：。异侧时 取负值。 3．位似变换后图形的形状不变（相似），大小按位似比缩放。对应线段平行（或在同一直线上），对应角相等。 【对点训练】 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，位似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 12．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 14．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知直线垂直于线段于点D． 我们按如下步骤尺规作图： 第一步，分别以D、B为圆心，大于 为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线交于点G； 第二步，以D为圆心，为半径作弧，与射线交于点H； 第三步，以H为圆心，为半径作弧，与射线交于点M； 第四步，以D为圆心，为半径作弧，与线段交于点N． 则点N是线段DB的（   ） A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点 16．如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（2026·湖南·一模）若，则________． 18．（2026·湖南长沙·一模）如图，，，，则的长是__________． 19．（2025·湖南衡阳·模拟预测）世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 20．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 三、解答题 21．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 22．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证： (1)； (2)． 23．（24-25九年级上·浙江·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 24．（25-26九年级上·湖南常德·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 25．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 26．（25-26九年级上·山西太原·期中）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第1章 图形的相似v4 知识点一 线段的比 ● 比例的基本性质 1．基本性质：若 ，则 。 2．合比性质：若 ，则 。 3．等比性质：若 （），则 。 ● 成比例线段 1．定义：在四条线段 中，若 ，则称这四条线段成比例。 2．比例中项：若 ，则 叫 的比例中项，。 3．注意：成比例线段有顺序性， 成比例 成比例。 ● 黄金分割 1．定义：点 把线段 分成 和 （），若 ，则称线段 被点 黄金分割。 2．黄金比：。 知识点二 平行线分线段成比例 ● 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ● 基本模型 1．A字型：，则 。 2．X字型（8字型）：，则 。 ● 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。 知识点三 相似图形 ● 相似多边形 1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2．相似比：对应边的比叫做相似比（记为 ）。全等是相似的特例（）。 ● 相似多边形的性质 1．对应角相等，对应边成比例。 2．周长比 相似比 。 3．面积比 相似比的平方 。 ● 判定要点 1．两个矩形相似 对应边成比例。 2．两个菱形相似 对应角相等。 3．两个正方形一定相似。 知识点四 相似三角形的判定 ● 四种判定方法 1．平行判定：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．两角判定（AA）：两角分别对应相等的两个三角形相似。 3．两边夹角判定（SAS）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4．三边判定（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。 ● 易错提醒 1．SSA不能判定相似：两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定相似。 2．找对应关系时，按"大对大、小对小"原则。 ● 常见相似模型 A字型、X字型、母子相似型、一线三等角（K字型）、旋转相似型。 知识点五 相似三角形的性质 ● 基本性质 对应角相等，对应边成比例（比为 ）。 ● 对应线段之比 对应高之比 对应中线之比 对应角平分线之比 相似比 。 ● 周长与面积 1．周长比 相似比 。 2．面积比 相似比的平方 。 知识点六 相似三角形的应用 ● 测量方法 1．影子法：同一时刻，物高与影长成正比，。 2．镜子法：利用光的反射，构造相似三角形。 3．标杆法：利用标杆与目标构造A字型相似。 知识点七 位似 ● 位似图形 1．定义：两个相似图形，对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形。 2．位似中心：对应顶点连线的交点。 3．位似比 相似比 对应顶点到位似中心的距离之比。 ● 位似的性质 1．位似图形一定是相似图形，反之不一定成立。 2．位似比 时两图形在位似中心同侧； 时在异侧。 ● 坐标变换 以原点为位似中心，位似比为 ： 或 。 易错点辨析 易错点1 比例性质中交叉相乘的符号错误 易错提醒 1．比例基本性质 ，交叉相乘时要注意各项的符号，尤其是分式中含有负号时，拆分后每一项都要变号。 2．分式减法 ，分子是 而非 ；遇到 求 类问题时，可设 代入化简。 3．合比性质和等比性质是化简分式求值的常用工具，使用前需验证分母不为零。 【对点训练】 1．（2026·广东·二模）已知则 的值为______． 【答案】 【分析】先将所求分式拆分变形，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：对根据分式减法法则拆分，得， 将代入上式，得． 易错点2 比例线段的单位相同 易错提醒 1．比例尺计算中，图上距离与实际距离的单位必须统一。常见错误是直接用千米与厘米相比，正确做法：先将实际距离换算为厘米（千米厘米）。 2．成比例线段的四条线段必须是同一单位下的长度值，若题目给出的单位不同，必须先统一单位再列比例式。 3．比例尺是一个无单位的比值，计算结果要注意题目要求的单位。 【对点训练】 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【答案】120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 易错点3 成比例线段的顺序性（a,b,c,d成比例≠b,a,c,d成比例） 易错提醒 1．四条线段 成比例是指 ，顺序不可随意调换。 成比例 成比例。 2．当题目给出四条线段的长度但未指定顺序时，需要按大小排序后分情况讨论。 3．比例中项：若 是 的比例中项，则 ，注意 取正值。 【对点训练】 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 易错点4 平行线分线段对应成比例定理注意线段对应关系 易错提醒 1．平行线分线段成比例定理的核心是"对应线段成比例"，关键是找准对应关系。A字型中 ，X字型中 。 2．常见错误是把不同位置的线段混在一起列比例式。正确做法：先画出平行线和截线，标注交点字母，按"同侧对应"原则列式。 3．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。 【对点训练】 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 易错点5 相似多边形判定漏掉 易错提醒 1．相似多边形必须同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例。缺一不可。 2．特殊四边形的相似判定：两个正方形一定相似；两个矩形只满足角相等，边不一定成比例；两个菱形只满足边成比例，角不一定相等。 3．对于正多边形，同类型的正多边形一定相似；对于一般多边形，必须逐一验证角和边两个条件。 【对点训练】 5．下列各组图形中，一定相似的是（  ） A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形 【答案】A 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个正方形，四条边对应成比例，四个角对应相等，一定相似，故本选项正确； B、任意两个平行四边形不一定相似，故本选项错误； C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故本选项错误． D、任意两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、平行四边形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中． 易错点6 相似三角形判定中SSA误用 易错提醒 1．相似三角形的四种判定方法为：平行法、AA、SAS、SSS。SSA（两边成比例且其中一边的对角相等）不能判定相似，这是最常见的误用。 2．SAS判定的关键是"夹角"——成比例的两边所夹的角必须相等。若相等的角不是夹角，则不能判定相似。 3．直角三角形有特殊判定：一个锐角相等、两直角边对应成比例、斜边和一条直角边对应成比例，均可判定相似。 【对点训练】 6．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知：， A、 ，不能判定与相似，故该选项符合题意； B、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； C、 即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故该选项不符合题意； D、根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 易错点7 相似比与面积比混淆（面积比是相似比的平方） 易错提醒 1．相似三角形的性质中，对应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比、周长之比都等于相似比 ；但面积比等于相似比的平方 ，这是最常混淆的知识点。 2．解题时若已知面积比求相似比，需要开平方：。反之，已知相似比求面积比，需要平方：。 3．注意区分"同高面积比底之比"与"相似面积比相似比平方"两种不同情境。 【对点训练】 7．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，理解“同高的两个三角形，面积比等于底的比”是解题关键． 先由同高三角形面积比得，通过平行线证明，利用相似性质得，再通过平行线证明，最后由面积比等于相似比的平方求出结果． 【详解】解：与的高相同，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 易错点8 位似中心位置判断错误（同侧vs异侧） 易错提醒 1．位似图形的对应顶点连线交于一点，该点即为位似中心。位似中心可能在图形内部、外部或边上，需要根据对应点的连线来确定。 2．以原点为位似中心、位似比为 时，对应点坐标为 或 ，前者两图形在位似中心同侧（正位似），后者在异侧（负位似）。 3．位似比 表示放大， 表示缩小。位似图形的周长比等于位似比 ，面积比等于位似比的平方 。 【对点训练】 8．如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的； (2)以原点为位似中心，将放大为原来的2倍． 【答案】(1) 即为所求： (2) 解：∵以原点为位似中心，将放大为原来的倍，，，， ∴，，，或者，，， 【分析】本题主要考查了网格作图．解决问题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点坐标特征，以原点为位似中心的位似图形的性质及坐标特征． （1）根据，，，得到关于y轴的对称点为，，，描出，，，并顺次连接，即得； （2）根据原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，，或者，，，描出并顺次连接，，，即得， 【详解】（1）∵，，关于y轴的对称点为，，， ∴在平面直角坐标系中描出，，，顺次连接，，，即得， （2）略 易错点9 坐标系中位似变换坐标符号搞反 易错提醒 1．以原点 为位似中心，位似比为 时，原图形上点 的对应点坐标为 （同侧）或 （异侧）。两种情况对应两个不同的位似图形。 2．以非原点 为位似中心时，变换公式为：。异侧时 取负值。 3．位似变换后图形的形状不变（相似），大小按位似比缩放。对应线段平行（或在同一直线上），对应角相等。 【对点训练】 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，位似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，由此可解． 【详解】解：，以点O为位似中心，位似比为2， 点A的对应点的坐标为或，即或． 一、单选题 10．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选C 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 12．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A错误； 故选：A． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解相似三角形的判定方法． 【详解】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 14．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 15．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知直线垂直于线段于点D． 我们按如下步骤尺规作图： 第一步，分别以D、B为圆心，大于 为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线交于点G； 第二步，以D为圆心，为半径作弧，与射线交于点H； 第三步，以H为圆心，为半径作弧，与射线交于点M； 第四步，以D为圆心，为半径作弧，与线段交于点N． 则点N是线段DB的（   ） A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点 【答案】D 【分析】设，根据作图可得，进而根据勾股定理求得，根据作图得出，即可求解． 【详解】解：设，根据作图可得， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 16．如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题 17．（2026·湖南·一模）若，则________． 【答案】 【分析】设，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 18．（2026·湖南长沙·一模）如图，，，，则的长是__________． 【答案】4 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，代入已知数据计算即可． 【详解】解：， ． ，， ， ． 19．（2025·湖南衡阳·模拟预测）世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键，连接、，由得，根据对顶角相等，可得，进而可证，所以，进而可求出． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 21．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【答案】见解析 【分析】由作法得，则，由三角形外角的性质和等边对等角可得，进一步可证明，再由，即可证明． 【详解】证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 22．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵是边上的中线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴； (2) 证明：由（1）知， ∴ ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识点． （1）根据三角形中线得到，再由即可证明全等； （2）由全等三角形得到，再结合等边对等角得到，即可证明相似三角形． 【详解】（1）略 （2）略 23．（24-25九年级上·浙江·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】(1) 如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， (2) 如图， 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）， ， ， ， 点即为所求作的点． 24．（25-26九年级上·湖南常德·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解． 25．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 26．（25-26九年级上·山西太原·期中）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； （2）解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $