专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（62题）-2026-2027学年新高一暑假人教A版必修第一册考点通关提升讲义

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（62题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 （二）根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 考点一 集合间关系的判断 策略方法 一、核心区分基础（必记） 1.符号含义区分 ① ：元素与集合的从属关系，左边是单个数字/字母，右边是集合；例： ② ：集合与集合的包含关系，左右两边全是集合；例： 2.三大判断方法（分步骤详解） 方法1：列举观察法（适合元素少的有限集合） 步骤1：把两个集合全部元素一一列举出来； 步骤2：逐一检查前一个集合里所有元素是否都出现在后一个集合； 步骤3：判断结论： 若A全部元素都在B里，且A、B元素完全一样： 若A全部元素都在B里，且B有A没有的元素： 若A存在元素不在B中：无包含关系 方法2：集合元素特征法（适合描述法集合） 设， 步骤1：明确两个集合代表元素，区分是数集还是点集（元素类型不同一定无包含关系）； 步骤2：判断两个约束条件的推导关系： ① 满足一定满足 ② 满足一定满足 ③ 互相能推出 ④ 互相推不出 无包含关系 方法3：数形结合法（适合不等式解集） 步骤1：化简两个不等式，求出取值范围； 步骤2：画数轴，空心点代表不含端点，实心点代表包含端点； 步骤3：观察区间位置：一个区间完全落在另一个区间内部，则存在包含关系； 步骤4：重点检验端点，端点能否取到直接决定是还是无包含。 三、避坑提醒 1.数集和点集永远不存在包含关系，如与无关； 2.不能混用和，集合不能“属于”另一个集合，元素不能“包含于”集合。 题型训练 1．（2026高二·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 考点二 求集合的子集、真子集 策略方法 1. 概念理解要点 1）：A可以是空集、可以和B完全相等； 2）：A必须是B的一部分，不能等于B； 3）空集是任何集合的子集，任何集合本身是自己的子集，但不是自己的真子集。 2. 标准三步解题流程 步骤1：判断原集合元素个数，确认所有元素； 步骤2：按元素个数由少到多分类：0个元素（空集）、1个元素、2个元素……直到全部元素； 步骤3：分类列举所有集合： - 子集：包含空集 + 所有单元素集 + 双元素集 + … + 集合本身； - 真子集：所有子集去掉集合本身。 3. 书写注意事项 1. 绝对不能漏掉空集； 2. 列举时不重复、不遗漏，严格按照元素数量排序； 3. 点集的子集依然是集合，坐标有序对不能写错格式。 题型训练 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 6．（2026高二·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广西崇左·模拟预测）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 10．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 11．（2026高一·福建福州·期中）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 12．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 考点三 判断集合子集、真子集的个数 策略方法 1. 核心万能公式（集合有个元素） 1）子集总个数： 2）非空子集个数：（去掉空集） 3）真子集个数：（去掉集合本身） 4）非空真子集个数：（去掉空集+去掉集合本身） 2. 分步解题步骤 步骤1：化简原集合，数清楚集合中互不重复的元素总数； 步骤2：根据题目要求，选择对应公式代入计算； 步骤3：特殊题型补充规则（限定条件求子集个数） 例：已知，求集合C个数 ① 确定必须包含固定元素1； ② 剩余可自由选择元素：共3个； ③ 因为是真子集，不能全部选取，可选子集总数。 3. 避坑提醒 1. 计算前必须利用互异性去重，重复元素只算1个； 2. 看清题干是“子集、真子集、非空子集、非空真子集”，公式不能混用。 题型训练 13．（2026高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数． 14．（2026高二·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 15．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 16．（2026·西藏林芝·模拟预测）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 17．（2026高一·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 18．（2026高一·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 19．（2026高二·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 20．（2026高二·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 21．（2026高二·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 策略方法 完整四步解题策略 步骤1：反推元素个数 根据子集个数公式反向求集合元素数量： - 子集数、真子集数，解方程得到； 步骤2：根据的要求分析集合构成 情况①：集合是方程的解集（一元一次/一元二次） - 二次项系数含参数，分两类讨论：系数=0（一次方程，1个解）、系数≠0（二次方程，判别式判断根的数量）； 情况②：集合是不等式整数解集，根据整数个数列出不等式锁定参数范围； 步骤3：求解参数全部取值/取值区间； 步骤4：检验验证 把参数代回原集合，核对元素数量是否和之前推出的一致，剔除不符合条件的解。 典型易错点 集合只有1个子集集合为空集，方程无实数解，极易忽略二次项系数分类讨论。 题型训练 22．（2026高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 23．（2026高三·安徽安庆·阶段检测）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 24．（2026高一·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 25．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 26．【多选】（2026高一·四川宜宾·阶段检测）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 27．（2026高一·河北沧州·阶段检测）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点五 空集的概念及判断 策略方法 1. 四组易混概念区分（必考） 1）：实数，不是集合，； 2）：空集，不含任何元素； 3）：单元素集合，唯一元素是数字0； 4）：单元素集合，唯一元素是空集； 关系总结：、、 2. 判断一个集合是否为空集的解题步骤 步骤1：化简集合内的等式/不等式； 步骤2：判断是否存在实数满足条件： ① 一元二次方程：，且，无实根，集合为空； ② 一元一次不等式：系数为0，常数项矛盾（如），无解； ③ 分式/根式：所有解都是增根，无有效解； 步骤3：无任何实数满足条件该集合是空集。 题型训练 28．（2026高一·全国·专题练习）；( ) 29．（2026高一·广西河池·期中）__________________________________________________ 30．【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 31．（2026高一·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 32．（2026高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 33．（2026高一·贵州六盘水·期中）已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六 空集的性质及应用 策略方法 1. 空集核心性质 1）空集是任意集合的子集：（A为任意集合）； 2）空集是任意非空集合的真子集：； 3）空集只有1个子集，就是它自身。 2. 分题型详细解题步骤 题型1：方程解集为空集（） 步骤1：分类讨论二次项系数 ① ：方程变为一次方程，若方程无解则符合空集； ② ：二次方程，要求判别式，无实数根； 步骤2：联立两种情况，合并参数取值范围。 题型2：不等式解集为空集（） 步骤1：分类讨论最高次项系数 ① 一次式（）：不等式恒不成立（如）才是空集； ② 二次式（）：开口向下，且，函数图像全程在x轴下方，不等式无解； 步骤2：取满足条件的参数范围。 题型3：子集包含类题目（） 步骤1：必须分两大类讨论：、，千万不能漏掉空集情况； 步骤2：分别求出两种情况的参数，最后合并所有符合条件的取值。 题型训练 34．（2026高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 35．（2026高一·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 36．（2026高二·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是__________. 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 策略方法 判断两个集合是否相等 解题策略 步骤1：统一元素类型 一个数集、一个点集，直接判定不相等；同为数字/同为坐标再继续判断； 步骤2：化简两个集合，全部列举出内部元素； 步骤3：对比全部元素：两个集合元素种类、数量、数值完全相同，与排列顺序无关，则； 步骤4：特殊检验：空集只能和空集相等，单元素集元素必须完全一致。 题型训练 37．【多选】（2026高一·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 38．（2026高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2026高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 40．【多选】（2026高一·福建宁德·期中）下列说法正确的是（   ） A．集合的非空真子集的个数为 B．是菱形是正方形 C．若，，则 D． （二）根据两个集合相等求参数 策略方法 根据两个集合相等求参数 解题策略 步骤1：分类列出元素对应方程组 两个有限集合相等，元素需要一一对应，分多组匹配情况列出等式； 例：，分两种匹配：、 步骤2：解每一组方程组，得到参数所有候选值； 步骤3：双重检验（核心得分点） ① 互异性检验：参数代回两个集合，集合内部不能出现重复元素； ② 相等检验：代入后两个集合元素必须完全一致； 步骤4：舍去不符合条件的解，整理最终参数。 题型训练 41．（2026高二·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 42．（2026高三·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 43．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 44．（2026高二·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 45．（2026高三·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 46．（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 47．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 考点八 由集合间的包含关系求参数 策略方法 完整分步解题策略 步骤1：化简题干所有集合，算出每个集合的取值范围/全部元素； 步骤2：分两大核心情况讨论（高频丢分点：忽略空集） 已知，分：① ② ； 步骤3：分集合类型列式 类型1：离散有限数集（元素为整数、固定数字） 把A内所有元素代入集合B，满足每一个元素都属于B，列方程求解参数； 类型2：连续不等式解集（实数区间） 画数轴，让集合A的区间整体落在B区间内部，列出不等式组； - 不等号带等号数轴实心点，端点可以取； - 不带等号数轴空心点，端点不能取； 步骤4：分别算出两种情况（A为空、A非空）的参数范围； 步骤5：合并所有符合条件的参数取值，最后代入验证端点是否成立。 补充重要提醒 1. 题干写明集合“非空”时，不需要讨论； 2. 二次型集合优先讨论二次项系数为0的一次情况，避免漏解； 3. 求出参数后一定要回代检验，防止端点取值错误、集合出现重复元素。 题型训练 48．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 49．（2026高二·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 50．（2026高二·重庆·期末）集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 51．（2026高二·江西抚州·期末）设集合，，若，则______． 52．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知，若，求的值 53．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 54．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 55．（2026·河南·模拟预测）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 56．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 57．（2026高一·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 58．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 59．（2026高一·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 60．（2026高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 61．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 62．（2026高一·广西钦州·阶段检测）已知集合，集合. （1）若，求实数的值； （2）若集合B是集合A的真子集，求实数的取值组成的集合. $2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题02 集合间的基本关系8种常见考法归类（62题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合间关系的判断 考点二 求集合的子集、真子集 考点三 判断集合子集、真子集的个数 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 考点五 空集的概念及判断 考点六 空集的性质及其应用 考点七 集合相等及其应用 （一）判断两个集合是否相等 （二）根据两个集合相等求参数 考点八 由集合间的包含关系求参数 知识点1：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点2：子集 1.子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2.集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点3：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点4：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点5：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 考点一 集合间关系的判断 策略方法 一、核心区分基础（必记） 1.符号含义区分 ① ：元素与集合的从属关系，左边是单个数字/字母，右边是集合；例： ② ：集合与集合的包含关系，左右两边全是集合；例： 2.三大判断方法（分步骤详解） 方法1：列举观察法（适合元素少的有限集合） 步骤1：把两个集合全部元素一一列举出来； 步骤2：逐一检查前一个集合里所有元素是否都出现在后一个集合； 步骤3：判断结论： 若A全部元素都在B里，且A、B元素完全一样： 若A全部元素都在B里，且B有A没有的元素： 若A存在元素不在B中：无包含关系 方法2：集合元素特征法（适合描述法集合） 设， 步骤1：明确两个集合代表元素，区分是数集还是点集（元素类型不同一定无包含关系）； 步骤2：判断两个约束条件的推导关系： ① 满足一定满足 ② 满足一定满足 ③ 互相能推出 ④ 互相推不出 无包含关系 方法3：数形结合法（适合不等式解集） 步骤1：化简两个不等式，求出取值范围； 步骤2：画数轴，空心点代表不含端点，实心点代表包含端点； 步骤3：观察区间位置：一个区间完全落在另一个区间内部，则存在包含关系； 步骤4：重点检验端点，端点能否取到直接决定是还是无包含。 三、避坑提醒 1.数集和点集永远不存在包含关系，如与无关； 2.不能混用和，集合不能“属于”另一个集合，元素不能“包含于”集合。 题型训练 1．（2026高二·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 3．（2026高一·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合的元素，再根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 4．（2026高二·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 考点二 求集合的子集、真子集 策略方法 1. 概念理解要点 1）：A可以是空集、可以和B完全相等； 2）：A必须是B的一部分，不能等于B； 3）空集是任何集合的子集，任何集合本身是自己的子集，但不是自己的真子集。 2. 标准三步解题流程 步骤1：判断原集合元素个数，确认所有元素； 步骤2：按元素个数由少到多分类：0个元素（空集）、1个元素、2个元素……直到全部元素； 步骤3：分类列举所有集合： - 子集：包含空集 + 所有单元素集 + 双元素集 + … + 集合本身； - 真子集：所有子集去掉集合本身。 3. 书写注意事项 1. 绝对不能漏掉空集； 2. 列举时不重复、不遗漏，严格按照元素数量排序； 3. 点集的子集依然是集合，坐标有序对不能写错格式。 题型训练 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 6．（2026高二·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 7．（2026高二·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 8．（2026·广西崇左·模拟预测）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 9．（2026高一·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 10．（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 11．（2026高一·福建福州·期中）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【答案】 【分析】写出所有非空真子集，结合题意即可得解. 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： 12．（2026高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 考点三 判断集合子集、真子集的个数 策略方法 1. 核心万能公式（集合有个元素） 1）子集总个数： 2）非空子集个数：（去掉空集） 3）真子集个数：（去掉集合本身） 4）非空真子集个数：（去掉空集+去掉集合本身） 2. 分步解题步骤 步骤1：化简原集合，数清楚集合中互不重复的元素总数； 步骤2：根据题目要求，选择对应公式代入计算； 步骤3：特殊题型补充规则（限定条件求子集个数） 例：已知，求集合C个数 ① 确定必须包含固定元素1； ② 剩余可自由选择元素：共3个； ③ 因为是真子集，不能全部选取，可选子集总数。 3. 避坑提醒 1. 计算前必须利用互异性去重，重复元素只算1个； 2. 看清题干是“子集、真子集、非空子集、非空真子集”，公式不能混用。 题型训练 13．（2026高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数． 【答案】答案见解析 【分析】根据已知条件，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 14．（2026高二·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 15．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 16．（2026·西藏林芝·模拟预测）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 17．（2026高一·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 18．（2026高一·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 19．（2026高二·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 20．（2026高二·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 21．（2026高二·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 考点四 根据子集、真子集的个数求参数 策略方法 完整四步解题策略 步骤1：反推元素个数 根据子集个数公式反向求集合元素数量： - 子集数、真子集数，解方程得到； 步骤2：根据的要求分析集合构成 情况①：集合是方程的解集（一元一次/一元二次） - 二次项系数含参数，分两类讨论：系数=0（一次方程，1个解）、系数≠0（二次方程，判别式判断根的数量）； 情况②：集合是不等式整数解集，根据整数个数列出不等式锁定参数范围； 步骤3：求解参数全部取值/取值区间； 步骤4：检验验证 把参数代回原集合，核对元素数量是否和之前推出的一致，剔除不符合条件的解。 典型易错点 集合只有1个子集集合为空集，方程无实数解，极易忽略二次项系数分类讨论。 题型训练 22．（2026高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 23．（2026高三·安徽安庆·阶段检测）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 【答案】D 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时  则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 24．（2026高一·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知； （2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果. 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 25．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 26．【多选】（2026高一·四川宜宾·阶段检测）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 27．（2026高一·河北沧州·阶段检测）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由子集个数得到元素个数，即可求解 【详解】因为集合有16个子集， 所以集合中有4个元素，分别为0，1，2，3， 所以. 故选:A 考点五 空集的概念及判断 策略方法 1. 四组易混概念区分（必考） 1）：实数，不是集合，； 2）：空集，不含任何元素； 3）：单元素集合，唯一元素是数字0； 4）：单元素集合，唯一元素是空集； 关系总结：、、 2. 判断一个集合是否为空集的解题步骤 步骤1：化简集合内的等式/不等式； 步骤2：判断是否存在实数满足条件： ① 一元二次方程：，且，无实根，集合为空； ② 一元一次不等式：系数为0，常数项矛盾（如），无解； ③ 分式/根式：所有解都是增根，无有效解； 步骤3：无任何实数满足条件该集合是空集。 题型训练 28．（2026高一·全国·专题练习）；( ) 【答案】错误 【详解】两个集合相等则它们的元素要相同. 因为集合中含有1个元素；而不含任何元素，所以错误. 29．（2026高一·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 30．【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 31．（2026高一·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 32．（2026高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 33．（2026高一·贵州六盘水·期中）已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的意义和常用集合的意义逐一判定. 【详解】选项 A：空集 是一个集合，而 是一个数集，因此错误 ,故该选项错误. 选项 B： 满足 ，因此 ，故该选项错误. 选项 C： 满足 ，因此 ，故该选项正确. 选项 D： 表示自然数集（ ），集合 包含非整数元素， 如 （满足 ，故 )，但 ，因此 不是 的子集，故该选项错误. 故选：C 考点六 空集的性质及应用 策略方法 1. 空集核心性质 1）空集是任意集合的子集：（A为任意集合）； 2）空集是任意非空集合的真子集：； 3）空集只有1个子集，就是它自身。 2. 分题型详细解题步骤 题型1：方程解集为空集（） 步骤1：分类讨论二次项系数 ① ：方程变为一次方程，若方程无解则符合空集； ② ：二次方程，要求判别式，无实数根； 步骤2：联立两种情况，合并参数取值范围。 题型2：不等式解集为空集（） 步骤1：分类讨论最高次项系数 ① 一次式（）：不等式恒不成立（如）才是空集； ② 二次式（）：开口向下，且，函数图像全程在x轴下方，不等式无解； 步骤2：取满足条件的参数范围。 题型3：子集包含类题目（） 步骤1：必须分两大类讨论：、，千万不能漏掉空集情况； 步骤2：分别求出两种情况的参数，最后合并所有符合条件的取值。 题型训练 34．（2026高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 35．（2026高一·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 36．（2026高二·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 考点七 集合相等及其应用 （1） 判断两个集合是否相等 策略方法 判断两个集合是否相等 解题策略 步骤1：统一元素类型 一个数集、一个点集，直接判定不相等；同为数字/同为坐标再继续判断； 步骤2：化简两个集合，全部列举出内部元素； 步骤3：对比全部元素：两个集合元素种类、数量、数值完全相同，与排列顺序无关，则； 步骤4：特殊检验：空集只能和空集相等，单元素集元素必须完全一致。 题型训练 37．【多选】（2026高一·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【分析】根据集合中元素的无序性可知A正确；根据空集的定义可知B错误；根据空集是任意集合的子集可知C正确；根据两集合表示的数集不同可确定D错误. 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 38．（2026高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 39．（2026高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 40．【多选】（2026高一·福建宁德·期中）下列说法正确的是（   ） A．集合的非空真子集的个数为 B．是菱形是正方形 C．若，，则 D． 【答案】AC 【分析】根据非空真子集个数公式可判断A选项；根据集合的包含关系可判断B选项；利用集合的表示法可判断C选项；利用空集的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，集合的非空真子集的个数为，A对； 对于B选项，菱形不一定是正方形，是菱形不是是正方形的元素，也不是其子集，B错； 对于C选项，， ，、都表示奇数集，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：AC. （二）根据两个集合相等求参数 策略方法 根据两个集合相等求参数 解题策略 步骤1：分类列出元素对应方程组 两个有限集合相等，元素需要一一对应，分多组匹配情况列出等式； 例：，分两种匹配：、 步骤2：解每一组方程组，得到参数所有候选值； 步骤3：双重检验（核心得分点） ① 互异性检验：参数代回两个集合，集合内部不能出现重复元素； ② 相等检验：代入后两个集合元素必须完全一致； 步骤4：舍去不符合条件的解，整理最终参数。 题型训练 41．（2026高二·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 42．（2026高三·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 43．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 44．（2026高二·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 45．（2026高三·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 46．（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】应用已知得出列式，再分类讨论计算求解参数. 【详解】设. 则，，，. 对两边集合中的所有元素同时减去，题设等价于. 要使两集合相等，右侧集合中必须含有0. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，相等. 因此. 47．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 考点八 由集合间的包含关系求参数 策略方法 完整分步解题策略 步骤1：化简题干所有集合，算出每个集合的取值范围/全部元素； 步骤2：分两大核心情况讨论（高频丢分点：忽略空集） 已知，分：① ② ； 步骤3：分集合类型列式 类型1：离散有限数集（元素为整数、固定数字） 把A内所有元素代入集合B，满足每一个元素都属于B，列方程求解参数； 类型2：连续不等式解集（实数区间） 画数轴，让集合A的区间整体落在B区间内部，列出不等式组； - 不等号带等号数轴实心点，端点可以取； - 不带等号数轴空心点，端点不能取； 步骤4：分别算出两种情况（A为空、A非空）的参数范围； 步骤5：合并所有符合条件的参数取值，最后代入验证端点是否成立。 补充重要提醒 1. 题干写明集合“非空”时，不需要讨论； 2. 二次型集合优先讨论二次项系数为0的一次情况，避免漏解； 3. 求出参数后一定要回代检验，防止端点取值错误、集合出现重复元素。 题型训练 48．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 49．（2026高二·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 50．（2026高二·重庆·期末）集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 51．（2026高二·江西抚州·期末）设集合，，若，则______． 【答案】1 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 52．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 53．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 54．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 55．（2026·河南·模拟预测）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 56．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 57．（2026高一·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 58．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 59．（2026高一·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 60．（2026高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 61．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 62．（2026高一·广西钦州·阶段检测）已知集合，集合. （1）若，求实数的值； （2）若集合B是集合A的真子集，求实数的取值组成的集合. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）将代入方程，由此求得的值. （2）分成或或等情况进行分类讨论，由此求得的取值组成的集合. 【详解】（1）∵，∴是一元二次方程的根， ∴，∴， ∴实数的值为1； （2）由得或，∴， ∵集合B是集合A的真子集， ∴或或， 当时，，∴； 当时，有，， 经检验，此时，不符合题意； 当时，，∴，不符合题意； 综上：实数的取值组成的集合为. $