专题02 反比例函数的图像与性质的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建反比例函数专项训练体系，系统整合图像性质、k的意义等核心知识，通过典例变式实现方法迁移与思维提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|6知识点+7易错点|图像画法“描点-连线”步骤、增减性“象限内”限定、k几何意义绝对值应用|从图像基础（形状/位置）到性质（增减性/对称性）再到综合应用（交点/最值），形成概念-性质-应用逻辑链| |题型归纳|10类题型（每类1典例+3变式）|图像判断“k符号定象限”、k比较“图像位置/几何意义”、对称性“中心对称求交点”|题型覆盖图像识别、性质应用、综合计算，对应知识点易错点，实现以题载法| |压轴挑战|15道综合题|整点问题“坐标整数化”、平移函数“图像变换规律”|融合函数与几何、动态问题，提升空间观念与推理能力，对接中考压轴命题趋势|

专题02 反比例函数的图像与性质的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断反比例函数图像 题型二、反比例函数中的比例系数k比较大小 题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断 题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小 题型五、反比例函数中的性质—对称性求值 题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题 题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题 题型八、画反比例函数图象 题型九、反比例函数中的整点问题 题型十、反比例函数中平移后的特殊函数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分类 具体内容 核心要点 知识点 反比例函数图像的画法 采用描点法：①列表：在x≠0的范围内取对称的正负值；②描点：在直角坐标系中描出对应点；③连线：用光滑曲线分别连接两个象限内的点，形成双曲线，图像不与坐标轴相交 反比例函数图像的形状与位置 形状为双曲线，有两个分支；当k>0时，分支位于第一、三象限；当k<0时，分支位于第二、四象限 反比例函数的增减性 当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大 反比例函数图像的对称性 关于原点中心对称，也是轴对称图形，对称轴为直线y=x和y=-x 比例系数k的几何意义 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；所得直角三角形的面积为 反比例函数与正比例函数图像的交点 若正比例函数y=k₁x与反比例函数有交点，当k₁k₂>0时有两个交点，且交点关于原点对称；当k₁k₂<0时无交点 易错点 增减性描述遗漏“每个象限内” 直接说“k>0时y随x增大而减小”，忽略反比例函数分两个分支，跨象限不满足该规律，必须强调“每个象限内” 混淆k对图像位置的影响 误记k<0时图像在一、三象限，k>0在二、四象限，记反k的符号与图像象限的对应关系 k的几何意义计算忘记加绝对值 计算矩形或三角形面积时直接代入k，忽略k为负数时面积仍为正，必须取|k|计算 画图时图像与坐标轴相交 错误将双曲线延伸与x轴或y轴相交，实际上x≠0、y≠0，图像永远不与坐标轴相交 求点坐标时忽略x的正负取值 已知点在反比例函数图像上求参数时，只考虑点所在象限，忽略x不能取0或符号与象限不符的情况 判断对称性出错 误认为反比例函数图像只有中心对称，没有轴对称，或记错对称轴方程 交点问题遗漏对称性质 已知一个交点求另一个交点时，不会利用关于原点对称的性质计算，反而重新联立方程求解，容易出错 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断反比例函数图像 典例1 反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 变式1-1函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 变式1-2反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 变式1-3函数的图像经过的象限是______． 类型二、反比例函数中的比例系数k比较大小 典例2 反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式2-1如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式2-2如图所示的是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系是__________ 变式2-3反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断 典例3 已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 变式3-1若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 变式3-2某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 变式3-3已知一个函数具备以下特征： ①函数的图象经过第二象限； ②当时，随的增大而增大； ③函数的图象关于原点中心对称 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小 典例4 已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 变式4-1若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 变式4-2如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 变式4-3已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 题型五、反比例函数中的性质—对称性求值 典例5 如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式5-1直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 变式5-2已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 变式5-3已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题 典例6 如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 变式6-1如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式6-2如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则_____； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是_________. 变式6-3如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为______． 题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题 典例7 已知反比例函数，若，则函数y有（    ） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值0 变式7-1对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（　　） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 变式7-2反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 变式7-3已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 题型八、画反比例函数图象 典例8 （）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 变式8-1已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 变式8-2在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 变式8-3在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 题型九、反比例函数中的整点问题 典例9 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 变式9-1在平面直角坐标系中，记反比例函数的图象为，直线经过点，与图象交于两点，且点的横坐标小于点的横坐标． (1)求的值； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象与直线所围成的区域（含边界）为． ①若，求两点的坐标，并写出区域内的整点个数； ②若区域内恰好有个整点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________ 变式9-2在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 变式9-3如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标； (2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 题型十、反比例函数中平移后的特殊函数 典例10数学兴趣小组的同学根据学习经验，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 绘制函数图象 ①列表：列出与的几组对应值： … … … … … … ②描点：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． 观察图象，探究函数的性质． 根据以上研究过程，回答下列问题： (1)函数自变量的取值范围是________； (2)把函数的图象补充完整； (3)对于函数的图象，在每一个分支上，随的增大而________（填“增大”或“减小”）；函数的图象可以看成把函数的图象向________（填“左”或“右”）平移________个单位得到的； (4)关于的方程的解是________；关于的不等式的解集是________． 变式10-1数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 变式10-2综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 变式10-3参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，因为，即，所以我们对比函数来探究． 列表： … … … … … … 描点：在平面直角坐标系中以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请在上图中把轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而______；（选填“增大”或“减小”） ②的图象可看作是由的图象向______平移______个单位而得到的； ③图象的两个分支关于点______（填点的坐标）中心对称；关于直线______（填函数表达式）轴对称． (3)试说明函数的图象与直线的交点情况． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 2．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后，分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的值为（     ） A． B． C． D． 6．如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_____．（填“”、“”或“”）． 7．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 8．已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 9．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 10．如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个． 11．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 12．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分相应点， (1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，， ，在函数图象上，则______，_____；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，自变量的取值范围是______； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值为______； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，的取值范围是______． 13．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 14．通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，对的图象和性质进行探索． 【取值范围】 自变量的取值范围是不为零的全体实数； 【列表计算】 与的几组对应值列表如下： … 1 2 3 4 … … 2 … (1)表格中____________，___________； 【描点画图】 (2)请在下图中补全函数的另一部分图象； 【性质探究】 (3)观察图象，写出函数两条不同的性质； 【拓展延伸】 (4)当直线与函数的图象有三个交点时，直接写出的取值范围． 15．如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数的图像与性质的十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断反比例函数图像 题型二、反比例函数中的比例系数k比较大小 题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断 题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小 题型五、反比例函数中的性质—对称性求值 题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题 题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题 题型八、画反比例函数图象 题型九、反比例函数中的整点问题 题型十、反比例函数中平移后的特殊函数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分类 具体内容 核心要点 知识点 反比例函数图像的画法 采用描点法：①列表：在x≠0的范围内取对称的正负值；②描点：在直角坐标系中描出对应点；③连线：用光滑曲线分别连接两个象限内的点，形成双曲线，图像不与坐标轴相交 反比例函数图像的形状与位置 形状为双曲线，有两个分支；当k>0时，分支位于第一、三象限；当k<0时，分支位于第二、四象限 反比例函数的增减性 当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大 反比例函数图像的对称性 关于原点中心对称，也是轴对称图形，对称轴为直线y=x和y=-x 比例系数k的几何意义 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；所得直角三角形的面积为 反比例函数与正比例函数图像的交点 若正比例函数y=k₁x与反比例函数有交点，当k₁k₂>0时有两个交点，且交点关于原点对称；当k₁k₂<0时无交点 易错点 增减性描述遗漏“每个象限内” 直接说“k>0时y随x增大而减小”，忽略反比例函数分两个分支，跨象限不满足该规律，必须强调“每个象限内” 混淆k对图像位置的影响 误记k<0时图像在一、三象限，k>0在二、四象限，记反k的符号与图像象限的对应关系 k的几何意义计算忘记加绝对值 计算矩形或三角形面积时直接代入k，忽略k为负数时面积仍为正，必须取|k|计算 画图时图像与坐标轴相交 错误将双曲线延伸与x轴或y轴相交，实际上x≠0、y≠0，图像永远不与坐标轴相交 求点坐标时忽略x的正负取值 已知点在反比例函数图像上求参数时，只考虑点所在象限，忽略x不能取0或符号与象限不符的情况 判断对称性出错 误认为反比例函数图像只有中心对称，没有轴对称，或记错对称轴方程 交点问题遗漏对称性质 已知一个交点求另一个交点时，不会利用关于原点对称的性质计算，反而重新联立方程求解，容易出错 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断反比例函数图像 典例1 反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 变式1-1函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 变式1-2反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 变式1-3函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 类型二、反比例函数中的比例系数k比较大小 典例2 反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 变式2-1如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 变式2-2如图所示的是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系是__________ 【答案】 【分析】本题考查了多个反比例函数中系数的大小比较，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数图象所在象限，可确定，，，再借助直线与函数和的图象的交点的纵坐标的大小关系，可确定，综合可得结论． 【详解】函数的图象位于第一象限，函数和的图象位于第二象限， ，，， 作直线，与函数和的图象分别交于A，B两点，如下图所示： 易得，， 由图知，，即，解得， 综上可知，． 故答案为：． 变式2-3反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断 典例3 已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 变式3-1若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 变式3-2某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，满足要求的函数可以为反比例函数，可设反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可，确定函数类型再求解是解题关键． 【详解】解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为， 函数图象经过点， 将代入得， 满足条件的函数表达式可以为 变式3-3已知一个函数具备以下特征： ①函数的图象经过第二象限； ②当时，随的增大而增大； ③函数的图象关于原点中心对称 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析题中三个特征，可知符合条件的函数可以是反比例函数，再根据性质确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的函数表达式． 【详解】解：由函数图象关于原点中心对称，结合增减性特征，可知符合条件的函数可以为反比例函数， 设反比例函数解析式为， 根据当时，随的增大而增大，由反比例函数的性质可得， 当时，反比例函数图象经过第二，四象限，满足函数图象经过第二象限的条件，且反比例函数图象关于原点中心对称，符合所有特征，取， 所以符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小 典例4 已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题可根据反比例函数的增减性比较函数值大小，先判断比例系数的符号，得到函数的增减规律，再结合两点横坐标的范围即可比较和的大小． 【详解】反比例函数中，， 函数图像在二、四象限， 在每个象限内，随的增大而增大． 点，都在第二象限，且， ． 变式4-1若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 变式4-2如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 变式4-3已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 题型五、反比例函数中的性质—对称性求值 典例5 如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 变式5-1直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故选：B． 变式5-2已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 变式5-3已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题 典例6 如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 变式6-1如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据、两点在反比例函数上，求出、的坐标，然后过点作其关于轴的对称点，连接与轴交于点，此时的点即为所求，然后求出的解析式，从而求出的坐标． 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴， 解得，， ∴，， 如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则， ∴， ∵的周长为， ∴当、、三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，轴对称，解题的关键在于明确周长最小的情况． 变式6-2如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则_____； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是_________. 【答案】 18 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键． （1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即； （2） ∵正方形的边长是6， ∴，， ∴，， ∵的面积为16， ∴， ∴或（舍去）， ∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值， ∵， ∴，又， ∴，即的最小值为. 变式6-3如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为______． 【答案】 【分析】首先求出，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到，，PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴ 如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， ∴，， 连接分别交x轴、y轴于C点、D点， ∴四边形的周长 ∴当点P，D，C，Q四点共线时，四边形的周长最小，即的长度 ∴． ∴四边形的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键． 题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题 典例7 已知反比例函数，若，则函数y有（    ） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值0 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键．根据反比例函数的性质得出图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，把代入得出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， ∴函数有最大值， 故选：A． 变式7-1对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（　　） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】C 【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数随的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围． 【详解】 解：由当时有最大值，得 时，． ， 反比例函数解析式为， 当时，图象位于第四象限，随的增大而增大， 当时，最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当时有最大值得出函数图象位于第二象限是解题关键． 变式7-2反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时， 当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3， ∴，解得． 变式7-3已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 题型八、画反比例函数图象 典例8 （）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（）①见解析，②见解析；（）上升，变大． 【详解】（）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （）根据反比例函数的图象即可求解； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键． 解：（）①列表： ②描点并连线： （）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当由小变大时随之变大． 故答案为：上升，变大． 变式8-1已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 【答案】(1)，，， (2)二、四，增大 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是画出函数图象． （1）分别把，，，代入函数解析式求出对应y的值即可； （2）用描点，连线的方法画出函数图象； （3）根据函数的图象和性质可以得出结论． 【详解】（1）①补全表格 ②图象如图： （2）函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大 故答案为：二、四，增大． 变式8-2在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 变式8-3在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) 解：①0； x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②如图所示：    (2) 如图所示：    (3)或． 【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点，运用数形结合思想得x的取值范围为或． 【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②略 （2）解：关于函数，先列表： x 1 2 4 y 3 6 （3）解：由（2）得出，两个函数交于点，当函数的值大于函数的值，则x的取值范围为或． 题型九、反比例函数中的整点问题 典例9 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)①4；②或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据新定义，画出图象进行判断即可； ②分直线在上方和直线在下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∴； （2）①当时，如图 有，共4个整点； ②当直线在上方时，如图： 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 当直线在下方时，如图： 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 综上：或． 变式9-1在平面直角坐标系中，记反比例函数的图象为，直线经过点，与图象交于两点，且点的横坐标小于点的横坐标． (1)求的值； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象与直线所围成的区域（含边界）为． ①若，求两点的坐标，并写出区域内的整点个数； ②若区域内恰好有个整点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________ 【答案】(1) (2)①4个；②． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，理解新定义等，确定临界点是解题的关键． （1）将点A的坐标代入一次函数关系式可求得b的值； （2）①求出与轴的交点，过此交点与点作出直线，观察图象数出区域内的整点有个； ②考虑临界位置，结合图象得出答案． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， ∴， （2）解：①当时，， 解得， ∴过点， 过点和作直线l， 如图1所示， 区域（含边界）内的整点有 ，，，，共个． 故答案为：； ②当时，区域内有个整点，当时，区域内有个整点， 如图所示． 所以区域内恰好有个整点，的取值范围是． 故答案为：． 变式9-2在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 【答案】(1)4 (2)①11；② (3) 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （）根据点A在的图象上，可求出的值； （）标出区域，再统计区域内的整数点即可； 过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴， 即的值为； （2）解：当时，由图可知， 上的整点有个， 上的整点有个， 双曲线上段的整点有个， 区域内部的整点有个， 又点，，都被算了次， 所以区域的整点个数为：， 故答案为：； ∵区域的整点个数为4，且点横坐标满足， ∴区域内的整点为，，，，如图所示： ∴纵坐标的取值范围为； （3）解：由题知，， 则不论为何值，时，即直线过定点， 如图所示，当时，区域内的整点共有个， 又被分成的区域和的整点个数之差不超过， 则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求， 此时，得， 当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可， 此时， 解得：， 故的取值范围是：． 变式9-3如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标； (2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)①2；②或 【分析】（1）先根据线段中点，结合点，，求得，再根据平行四边形的性质可得出可用平移得到，利用平移的性质可求得，再根据点在反比例函数的图象上求得反比例函数解析式； （2）①当时，先求得直线的解析式，再结合图形找出区域内的整点； ②结合图象，分，两种情况，找出整点． 【详解】（1）解：设点的坐标为，点， ∵E为AD的中点，， ∴，，解得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴可用平移得到， ∵，， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）①当时， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， 而， ∴是在区域W内的整点， 同理可得是在区域W内的整点，共2个； ②当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 综上所述，当或时，恰好区域W内的整点恰好为2个． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题型十、反比例函数中平移后的特殊函数 典例10数学兴趣小组的同学根据学习经验，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 绘制函数图象 ①列表：列出与的几组对应值： … … … … … … ②描点：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． 观察图象，探究函数的性质． 根据以上研究过程，回答下列问题： (1)函数自变量的取值范围是________； (2)把函数的图象补充完整； (3)对于函数的图象，在每一个分支上，随的增大而________（填“增大”或“减小”）；函数的图象可以看成把函数的图象向________（填“左”或“右”）平移________个单位得到的； (4)关于的方程的解是________；关于的不等式的解集是________． 【答案】(1) (2) (3)减小；左；1 (4)    【分析】画出图像，观察图像数形结合解决问题． 【详解】（1）解：若使解析式有意义， 则， ； （2）解：略； （3）解：观察图像可知，函数的图象，在每一个分支上，随的增大而减小；函数的图象可以看成把函数的图象向左平移１个单位得到的； （4）解：法1： 经检验，是原方程的解； 法2：方程的解即函数图像与直线交点的横坐标，故； 由图像知是交点和函数图像在直线上方的部分， 解方程 得， 即两图像交点横坐标为， ∴不等式解集为． 变式10-1数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 变式10-2综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 【答案】(1) (2)①5，；②函数图象如下： (3)；和； (4) 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可； （3）结合图象和平移的性质求解即可； （4）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出、、三点坐标，再利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 函数的自变量取值范围是； （2）解：①当时，， 当时，， 解得：，即； ②图象如答图； （3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和． （4）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 联立， 解得：，， ，， 令，则，解得：， ， ． 变式10-3参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，因为，即，所以我们对比函数来探究． 列表： … … … … … … 描点：在平面直角坐标系中以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请在上图中把轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而______；（选填“增大”或“减小”） ②的图象可看作是由的图象向______平移______个单位而得到的； ③图象的两个分支关于点______（填点的坐标）中心对称；关于直线______（填函数表达式）轴对称． (3)试说明函数的图象与直线的交点情况． 【答案】(1)见解析 (2)①增大  ②上，；  ③；和 (3)没有交点 【分析】（）用光滑曲线顺次连接即可； （）利用图象法即可解决问题； （）联立函数解析式得到方程组，再根据方程组的解的情况即可判断求解． 【详解】（1）解：连线如下： （2）解：①当时，随的增大而增大， 故答案为：增大； ②的图象可看作是由的图象向上平移个单位而得到的， 故答案为：上，； ③∵的图象可看作是由的图象向上平移个单位而得到的，而的图象关于原点中心对称， ∴图象的两个分支关于点中心对称； 又∵的图象关于直线和轴对称， ∴的图象关于直线和轴对称， 故答案为：；和； （3）解：联立函数解析式，得， 去分母，得，方程无解， ∴函数的图象与直线没有交点． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 2．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 3．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后，分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，求出点D的坐标为，点B的坐标为，当时，即D为的中点，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 令，解得， ∴点B的坐标为， 当时，即D为的中点， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得． 6．如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_____．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质：当时，在图象的每一支上y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴在图象的每一支上y随x的增大而增大， ∵， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 8．已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 【答案】 【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可． 【详解】解： 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得，， 整理得 ，， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得． 9．在平面直角坐标系中，对于，若点的坐标为（其中为常数且），则称点为点的“的和谐点”．已知点在函数的图象上运动，且点是点的“的和谐点”，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由点是点的“的和谐点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、的坐标，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段为，此时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：设， 点是点的“的和谐点”， ， 点在函数的图象上， ，， 即：或（舍去）， ， 点在直线上运动， ∴当直线时，的长最小， 设直线与轴、轴相交于点、，过点作，垂足为， 则、， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 10．如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个． 【答案】6 【分析】根据已知条件分别求出和的表达式，然后结合t的取值范围，找出封闭区域G中的格点，并判断这些格点是否在或的图像上． 【详解】解：∵点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，，点的运动时间为秒， 当时，，，则，即； 当时，，，则, 即； 因为矩形的面积始终为6，，根据矩形面积公式， ∴，即， 如图， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的点为，，，，，，共6个点． 11．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 12．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分相应点， (1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，， ，在函数图象上，则______，_____；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，自变量的取值范围是______； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值为______； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①，；②；③2；④ 【分析】（1）根据表格描出余下的点，再连线即可作出函数图象； （2）①观察函数图象的增减性，即可解答；②观察函数图象即可求解；③观察函数图象可知，当时，函数图象关于直线对称，再结合题意即可求解；④观察函数图象即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①观察图象可知，点，在上， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 观察图象可知，点 ，在上，且当时，有， ∵，， ∴，， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； ②观察图象可得，当函数值时，自变量的取值范围是； ③观察图象可得，当时，函数图象关于直线对称， ∵在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴； ④∵直线与函数图象有三个不同的交点， ∴观察图象可得，的取值范围是． 13．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点横坐标代入分段一次函数对应解析式求出点纵坐标，再把点坐标代入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数与对应的一次函数解析式求出交点坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为使最小的点；利用待定系数法求直线解析式，求出点坐标；再求射线与轴交点的坐标，算出线段长度，结合点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 14．通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，对的图象和性质进行探索． 【取值范围】 自变量的取值范围是不为零的全体实数； 【列表计算】 与的几组对应值列表如下： … 1 2 3 4 … … 2 … (1)表格中____________，___________； 【描点画图】 (2)请在下图中补全函数的另一部分图象； 【性质探究】 (3)观察图象，写出函数两条不同的性质； 【拓展延伸】 (4)当直线与函数的图象有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；0 (2)见解析 (3)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数值始终大于0；当时，函数值始终小于0 (4) 【分析】（1）代入函数表达式可得m，n的值； （2）先描点，在连线，画出平滑的曲线即可； （3）通过观察图像分析函数的性质（如对称性、增减性、最值）； （4）直线与函数的图象有三个交点等价于方程有三个不同的实数根，即有三个不同的解． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， （2）解：如图所示： （3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数值始终大于0；当时，函数值始终小于0； （4）解：由题意可知，要求直线与函数的图象有三个交点， 当时，，联立得， ，即， 因为，由基本不等式得， ，当且仅当时取等号， 所以当时，直线与部分的图象有两个交点， 当时，，联立得， ，即， 令，在时单调递减，值域为整个实数集， 故直线与部分的图像恒有一个交点， 综上所述，要使一共有三个交点，需满足． 15．如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，先画出的图象，通过对比与的位置，数出两图象之间的优点个数． （2）先列出矩形内部（不含边界）的所有整数点，根据个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $