课时规范练65　二项式定理-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计清晰，从基础典例到素能综合，覆盖二项式定理全考点，通过梯度练习提升运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典例对点练（10题）|单一考点（通项应用、系数和、最值）|基础题型对应核心考点，结合模拟题情境巩固概念| |素能综合练（11题）|综合应用（多式乘积、跨考点结合）|综合题型提升推理与数据分析能力，含多选题与实际应用|

课时规范练65　二项式定理 典例对点练 考点一　二项展开式的通项及其应用 1.(2025·湖南永州模拟)(1-2x)7的展开式的第4项系数是(　　) A.-280 B.280 C.-560 D.560 2.(2025·江苏南通模拟)若(x+)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的最小值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.6 3.(2025·湖南岳阳模拟)(1+x2)(2x-)6的展开式中x2的系数为　　　　.  4.(2a-b)2(a+b)8的展开式中,a3b7的系数是 　　　　　　.  考点二　二项式系数与各项的系数和问题 5.在()n的展开式中,第三项为常数项,展开式中二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a-b=　　　　.  6.(2025·北京,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　　.  考点三　二项式系数与项的系数的最值问题 7.(2025·甘肃白银模拟)已知(x-2)m展开式的所有二项式系数之和为32,则(x-)2m展开式的各项中系数的最大值为(　　) A.252 B.210 C.120 D.10 8.(x+2)8的二项展开式中系数最大的项为　　　　　　　　.  考点四　二项式定理的应用 9.今天是星期三,再过22 025天是星期(　　) A.一 B.二 C.四 D.五 10.(2025·江西吉安模拟)1.0110的小数点后第二位的数字是(　　) A.0 B.1 C.2 D.5 素能综合练 11.在(x2-)8的二项展开式中,第4项的二项式系数是(　　) A.56 B.-56 C.70 D.-70 12.(2023·北京,5)在(2x-)5的展开式中,x的系数为(　　) A.-40 B.40 C.-80 D.80 13.(2025·江苏泰州模拟)(x-)n(n∈N*)的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为(　　) A.8 B.12 C.15 D.-20 14.(2025·浙江衢州模拟)若(1-x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2+a4+a6=(　　) A.31 B.32 C.63 D.64 15.已知(2x+)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为 (　　) A.212 B.312 C.310 D.210 16.已知多项式(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a1=(　　) A.11 B.74 C.86 D.-1 17.(2025·山东省实验中学模拟)已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列,则n=(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 18.(2025·江苏南通模拟)已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0,则a的值为(　　) A.-160 B.160 C.-960 D.960 19.(多选题)(2025·河北衡水高三一模)关于(-2x)6的展开式,下列说法中正确的是(　　) A.各项系数之和为1 B.展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 C.常数项为60 D.有理项共有4项 20.在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为　　　　　.  21.(2025·安徽合肥模拟)(a+)(x+y)7的展开式中x2y5的系数为49,则a的值为　　　　.  参考答案 课时规范练65　二项式定理 1.A　解析 由题得,(1-2x)7的展开式的第4项系数是(-2)3=35×(-8)=-280.故选A. 2.B　解析 (x+)n展开式的通项为Tk+1=xn-k()k=xn-3k,k∈N,k≤n. 依题意知,n-3k=0有正整数解,则n是3的正整数倍,所以n的最小值为3.故选B. 3.80　解析 由题知(2x-)6展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k(-)k=(-1)k26-kx6-2k. 若第一个因式取1,则(2x-)6的展开式应取x2,则对应项的系数为×24×(-1)2=240;若第一个因式取x2,则(2x-)6的展开式应取常数项,则对应项的系数为×23×(-1)3=-160. 所以(1+x2)(2x-)6的展开式中x2的系数为240-160=80. 4.-24　解析 因为(2a-b)2(a+b)8=4a2(a+b)8-4ab(a+b)8+b2(a+b)8,其中(a+b)8展开式的通项为Tk+1=a8-kbk(0≤k≤8且k∈N),所以(2a-b)2(a+b)8的展开式中含a3b7的项为4a2ab7-4aba2b6+b2a3b5=-24a3b7,所以a3b7的系数为-24. 5.63　解析 ()n展开式的通项为Tk+1=)n-k(-2)k()k=(-2)k,k=0,1,2…,n. 令k=2,则n-3×2=0, 所以n=6,即()6展开式中二项式系数和为a=26=64. 令x=1,可得所有项的系数和b=(-1)6=1,则a-b=64-1=63. 6.1　15　解析 令x=0,得a0=1.令x=-,得16=a0+a1+a2+a3+a4,把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15. 7.B　解析 因为(x-2)m展开式的所有二项式系数之和为32,所以2m=32,得m=5,所以(x-)10展开式的通项为Tk+1=·x10-k·(-)k=(-1)k,当k=4或6时,(x-)2m展开式的系数最大,其系数最大值为=210.故选B. 8.1 792x2,1 792x3　解析 由题知,(x+2)8展开式通项为Tk+1=2kx8-k. 设(x+2)8展开式的第k+1项的系数最大,1≤k≤7, 则解得5≤k≤6. 当k=0时,T1=x8;当k=8时,T9=256. 所以系数最大的项为第6或第7项, 所以系数最大的项为T6=·25·x3=1 792x3,T7=·26·x2=1 792x2. 9.C　解析 因为22 025=8675=(7+1)675=7675+7674+…+7+1=7(7674+7673+…+)+1,所以22 025除以7的余数为1,故今天是星期三,再过22 025天是星期四.故选C. 10.A　解析 1.0110=(1+0.01)10=0.010+0.011+0.012+…+0.0110=1+0.1+0.004 5+…≈1.105,故小数点后第二位的数字是0.故选A. 11.A　解析 展开式中第4项的二项式系数为=56.故选A. 12.D　解析 (2x-)5的展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k(-)k=(-1)k25-kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2×=80.故选D. 13.C　解析 由题可知,2n=64,得n=6,则展开式的通项为Tk+1=x6-k·(-)k=(-1)k. 令6-k=0,得k=4,所以常数项为(-1)4=15.故选C. 14.C　解析 当x=0时,(1-0)7=a0=1; 当x=1时,0=a0+a1+a2+…+a7;① 当x=-1时,27=a0-a1+a2-a3+…+a6-a7;② 则①+②=2(a0+a2+a4+a6)=27,所以a0+a2+a4+a6=26=64. 又a0=1,所以a2+a4+a6=64-1=63.故选C. 15.C　解析 由题意得,,解得n=10.令x=1,得展开式中所有项的系数的和为310.故选C. 16.B　解析 对于(x-2)5,其展开式通项为Tr+1=x5-r(-2)r,令5-r=1,得r=4,故T5=x(-2)4=80x;对于(x-1)6,其展开式通项为Tk+1=x6-k·(-1)k,令6-k=1,得k=5,故T6=x(-1)5=-6x,所以a1=80-6=74.故选B. 17.C　解析 已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为.因为成等差数列,故2,即2×=n+,化简得6(n-1)=6+(n-1)(n-2),即n2-9n+14=0,解得n=7或n=2(舍去).故选C. 18.B　解析 由题得,(2x-1)6的展开式中含x3的项为(-1)3(2x)3=23(-1)3x3,a(x+1)3的展开式中含x3的项为ax3,故23(-1)3+a=0,故a=160. 故选B. 19.ACD　解析 对于A,令x=1,则(-2x)6展开式中各项系数之和为1,故A正确; 对于B,展开式中第二项的二项式系数=6,第四项的二项式系数=20,第二项与第四项的二项式系数不相等,故B错误; 对于C,(-2x)6展开式的通项为)6-k(-2x)k=(-2)k,k=0,1,2,3,4,5,6,令=0,解得k=2,展开式中的常数项为(-2)2=4×15=60,故C正确; 对于D,当k=0,2,4,6时,∈Z,所以展开式的有理项共有4项,故D正确.故选ACD. 20.120x2y3z3　解析 由题可得,(x+1)4展开式的通项为Tr+1=x4-r,(y+z)6展开式的通项为Tk+1=y6-kzk. ∵(x+1)4展开式系数最大的项为x2=6x2,(y+z)6展开式系数最大的项为y3z3=20y3z3, ∴在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为120x2y3z3. 21.2　解析 因为(x+y)7展开式的通项为Tk+1=x7-kyk,k=0,1,2,…,7. 令k=5,可得T6=x2y5=21x2y5; 令k=6,可得T7=xy6=7xy6; 可得a·T6+·T7=a·21x2y5+·7xy6=(21a+7)x2y5, 所以21a+7=49,解得a=2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $