专题02二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年沪科版九年级数学上册

专题02二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 1. 深度理解二次函数与一元二次方程的内在关联，牢记：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，明晰函数与方程相互转化的核心逻辑。 2. 熟练运用根的判别式Δ=b2-4ac，精准对应三种图像位置关系：Δ>0抛物线与x轴2个交点、Δ=0仅有1个交点、Δ<0无交点，可双向推导判定，既能根据判别式判断交点个数，也能依据图像交点情况求解参数取值范围。 3. 掌握借助二次函数图像估算一元二次方程近似根的方法，学会通过观察抛物线上点的纵坐标正负锁定根的区间，体会数形结合解题优势。 4. 初步看懂抛物线在x轴上方、下方对应的自变量取值范围，能简单解读y>0、y<0时x的解集，为后续一元二次不等式学习铺垫基础。 5. 梳理本节高频易错点：判别式符号意义混淆、参数取值忘记a≠0限制、图像区间判断颠倒；逐步搭建数形结合思维，夯实二次函数综合计算题解题根基。 预习必备 知识梳理 1.内在联系 2.二次函数与方程的关系 3图象法求方程的近似解 4.次函数与不等式的关系 5.抛物线与一次函数交点判定 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5二次函数图象确定方程根的情况 6.求x轴与抛物线的截线长 7.图象法确定方程的近似根. 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题7题 知识点 01 内在联系 二次函数：y=ax2+bx+c (a0) 令y=0，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a0) 核心结论：一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，就是抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。 知识点 02 二次函数与一元二次方程的关系 知识点03：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数图象与 x 轴的交点，可以确定一元二次方程的根。 设二次函数为： y=ax2+bx+c 令 y=0，则得到一元二次方程： ax2+bx+c=0 核心结论： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，就是抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标。 由于作图和观察存在误差，图象法通常只能求出方程的近似根。 2. 常用的图象法 方法 具体做法 原理 方法一 直接画出抛物线 y=ax2+bx+c 的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=-c 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线 y=x2和直线 y=-x- 两图象交点的横坐标就是方程的根 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定方程的根在哪两个连续整数之间； 第二步：利用取平均数的方法，不断缩小根所在的范围； 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解。 识点 04二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点 05 抛物线与一次函数交点判定 联立方程组 消去y，得到一元二次方程：ax2+(b-k)x+(c-m)=0 判别式Δ 交点个数 位置关系 Δ>0 2 个交点 相交 Δ=0 1 个交点 相切 Δ<0 0 个交点 相离 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 交点概念混淆 把交点(x,0)的完整坐标当成方程的解 方程的根只有横坐标x，y=0 Δ=0理解偏差 认为Δ=0没有根、无交点 存在两个相等实数根，抛物线与 x 轴仅有 1 个公共点 不等式解集直接套用模板 忽略a正负直接写解集 开口向上、向下对应的不等式解集完全相反 交点式书写错误 写成y=a(x+x1)(x+x2) 标准形式固定为y=a(x-x1)(x-x2) 图象解方程认知错误 认为画图可以得到精确解 图象法只能求近似根，精确解必须代数运算 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【跟踪专练1】如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，若、的坐标分别为，，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D．4 【跟踪专练2】如图，二次函数的部分图像与轴交于，该函数图象的顶点为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标是_____． 【跟踪专练3】抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】抛物线与轴的交点坐标为______． 【跟踪专练1】已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 【跟踪专练3】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．该函数图象与y轴的交点坐标是 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【跟踪专练2】已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为______． 【跟踪专练3】如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，、为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点与点关于该抛物线的对称轴对称），点在的延长线上，以所在直线为轴，抛物线所在平面内过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为，则点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 【跟踪专练1】已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【跟踪专练3】二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 则方程的根为（   ） A．或0 B．0或1 C．1或3 D．或3 题型5二次函数图象确定方程根的情况 【典例】如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 【跟踪专练1】若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【跟踪专练2】二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 【典例】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【跟踪专练3】定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      题型7.图象法确定方程的近似根. 【典例】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是______________________． x 0 1 y 3 【跟踪专练1】数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【跟踪专练2】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 题型8.图象法解一元二次不等式. 【典例】已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 【跟踪专练1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【跟踪专练2】如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____． 【跟踪专练2】已知整式，其中，且均为整数，为正整数．则下列说法： 若，，则满足条件的整式A共有2个； 若，则满足条件的整式共有9个； 若，，且当为任意实数时，整式的值都是正数，则满足条件的整式共有6个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 【跟踪专练1】如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【跟踪专练2】二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 解答题 1．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 2．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 3．已知二次函数（为常数）． (1)当二次函数的顶点的纵坐标为3，对称轴在轴的右侧时，求的值； (2)在（1）的条件下，已知，在该二次函数的图象上，若对于，都有，求的取值范围； (3)已知对于任意实数，都有，此时二次函数的图象与直线交于，（点在点的左侧）两点，且，求的值． 4．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 5．已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 6．数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 7．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 1. 深度理解二次函数与一元二次方程的内在关联，牢记：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，明晰函数与方程相互转化的核心逻辑。 2. 熟练运用根的判别式Δ=b2-4ac，精准对应三种图像位置关系：Δ>0抛物线与x轴2个交点、Δ=0仅有1个交点、Δ<0无交点，可双向推导判定，既能根据判别式判断交点个数，也能依据图像交点情况求解参数取值范围。 3. 掌握借助二次函数图像估算一元二次方程近似根的方法，学会通过观察抛物线上点的纵坐标正负锁定根的区间，体会数形结合解题优势。 4. 初步看懂抛物线在x轴上方、下方对应的自变量取值范围，能简单解读y>0、y<0时x的解集，为后续一元二次不等式学习铺垫基础。 5. 梳理本节高频易错点：判别式符号意义混淆、参数取值忘记a≠0限制、图像区间判断颠倒；逐步搭建数形结合思维，夯实二次函数综合计算题解题根基。 预习必备 知识梳理 1.内在联系 2.二次函数与方程的关系 3图象法求方程的近似解 4.次函数与不等式的关系 5.抛物线与一次函数交点判定 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5二次函数图象确定方程根的情况 6.求x轴与抛物线的截线长 7.图象法确定方程的近似根. 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题7题 知识点 01 内在联系 二次函数：y=ax2+bx+c (a0) 令y=0，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a0) 核心结论：一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，就是抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。 知识点 02 二次函数与一元二次方程的关系 知识点03：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数图象与 x 轴的交点，可以确定一元二次方程的根。 设二次函数为： y=ax2+bx+c 令 y=0，则得到一元二次方程： ax2+bx+c=0 核心结论： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，就是抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标。 由于作图和观察存在误差，图象法通常只能求出方程的近似根。 2. 常用的图象法 方法 具体做法 原理 方法一 直接画出抛物线 y=ax2+bx+c 的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=-c 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线 y=x2和直线 y=-x- 两图象交点的横坐标就是方程的根 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定方程的根在哪两个连续整数之间； 第二步：利用取平均数的方法，不断缩小根所在的范围； 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解。 识点 04二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点 05 抛物线与一次函数交点判定 联立方程组 消去y，得到一元二次方程：ax2+(b-k)x+(c-m)=0 判别式Δ 交点个数 位置关系 Δ>0 2 个交点 相交 Δ=0 1 个交点 相切 Δ<0 0 个交点 相离 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 交点概念混淆 把交点(x,0)的完整坐标当成方程的解 方程的根只有横坐标x，y=0 Δ=0理解偏差 认为Δ=0没有根、无交点 存在两个相等实数根，抛物线与 x 轴仅有 1 个公共点 不等式解集直接套用模板 忽略a正负直接写解集 开口向上、向下对应的不等式解集完全相反 交点式书写错误 写成y=a(x+x1)(x+x2) 标准形式固定为y=a(x-x1)(x-x2) 图象解方程认知错误 认为画图可以得到精确解 图象法只能求近似根，精确解必须代数运算 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 【跟踪专练1】如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，若、的坐标分别为，，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象的性质．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 首先求出，然后根据题意得到当点P和点B重合时，点的横坐标的最大值为． 【详解】解：∵、的坐标分别为，， ∴ ∵当点P和点A重合时，点的横坐标的最小值为， ∴当点P和点B重合时，点的横坐标的最大值为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，二次函数的部分图像与轴交于，该函数图象的顶点为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是2，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标即可． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是2， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线对称轴为，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】抛物线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与y轴交点，二次函数与y轴的交点相当于当时的函数值，根据题意该值大于0，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数图像与y轴交点在x轴上方， ∴当时，， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，熟知相关性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向，利用顶点公式计算顶点坐标，代入求与y轴交点，依据对称轴分析单调性． 【详解】解：对于二次函数， ①二次项系数，因此函数图像开口向上，正确 ②顶点横坐标，纵坐标，因此顶点坐标为，正确 ③与y轴交点时，代入得，因此与y轴交点的坐标为，正确 ④对称轴为，且开口向上，函数在时y随x的增大而增大，正确， 故答案为：①②③④． 【跟踪专练3】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．该函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可一一判定． 【详解】解：， 函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 函数图象的顶点坐标是，故B错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； 令，则， 故该函数图象与y轴的交点坐标是，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键． 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 【跟踪专练2】已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 【跟踪专练3】如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，、为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点与点关于该抛物线的对称轴对称），点在的延长线上，以所在直线为轴，抛物线所在平面内过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为，则点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出抛物线的对称轴为，得到点P在第一象限，且，，进而推导出，求出（舍去），，则点P到y轴的距离为6，即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为， ∴点P在第一象限，且，， 当时，， 即， 解得（舍去），， ∴点P到y轴的距离为6． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】11 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．由抛物线（是常数）与轴只有一个交点可得，方程的判别式为零，即可求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴只有一个交点， 方程的判别式为零， ， 解得：， 故答案为：11． 【跟踪专练1】已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再计算倒数和即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标， 是方程的两根， ∴，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 【跟踪专练3】二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 则方程的根为（   ） A．或0 B．0或1 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】先将待求解方程移项变形，可得方程的根就是二次函数中满足的的值，结合表格给出的与的对应值即可求解． 【详解】解：对移项变形，得， ∴方程的根，是二次函数中满足的的值． 由表格可知： ∵当时，，当时，， ∴和都满足； ∴方程的根为和． 题型5二次函数图象确定方程根的情况 【典例】如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 【跟踪专练2】二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴性质、二次函数与一元二次方程的关系及不等式的变形，熟练掌握二次函数对称轴与方程两根的对称关系是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，利用对称轴的性质得到两个根的对称关系．根据局部细节图确定较小根的取值范围．利用对称关系推导出较大根的取值范围，从而选出正确选项． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 【典例】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 【跟踪专练3】定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 题型7.图象法确定方程的近似根. 【典例】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是______________________． x 0 1 y 3 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 【跟踪专练2】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解对应二次函数的函数值为0时的值，根据表格中函数值的正负变化可确定解的范围． 【详解】解：令（，为常数） ∵当时， ∵当时， ∴在时，二次函数的函数值会从负变为正，即存在使得 ∴方程的一个解的范围是 故选：C． 题型8.图象法解一元二次不等式. 【典例】已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 【跟踪专练2】如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质找出最值、增减性区间、对称轴等是关键． 根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为、与x轴的一个交点坐标为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，则，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与x轴的一个交点为． A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为， ∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，故此选项正确，不合题意； B、∵二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与x轴有一个交点， ∴二次函数与x轴的另一个交点为． ∴当时，函数值，故此选项错误，符合题意． C、当时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数的图象关于直线对称，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】∵点在抛物线上， ∴，． ∵， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 故选：B． 【跟踪专练1】若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向和二次函数的性质，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离大小关系，列不等式求解即可． 【详解】对于二次函数， ， ∴抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线， ∵点的横坐标为2，即点C在对称轴上， 是二次函数的最小值，满足，， 由，根据开口向上的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，可得： ， 整理得 ， 两边平方得：， 展开得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴m的取值范围是． 【跟踪专练2】已知整式，其中，且均为整数，为正整数．则下列说法： 若，，则满足条件的整式A共有2个； 若，则满足条件的整式共有9个； 若，，且当为任意实数时，整式的值都是正数，则满足条件的整式共有6个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据题目给定的整式系数条件，对每个说法按条件分类讨论列举，结合二次函数恒正的判别式性质，逐个判断说法正误即可． 【详解】解：逐个判断三个说法： 当，时，，则， ，且均为整数， 仅存在这1组满足条件，故满足条件的整式共1个，错误； 当，均为整数，为正整数，分类讨论： 当（2项），共有，共4个； 当（3项），共有，共4个； 当（4项），只有，共1个； 时，最小系数和为，无满足条件的整式； 总共有个，正确； 当，时，，，均为整数，恒为正， ， 恒正等价于判别式， 按分类列举： 当，，，得， 其中的有，，，共3个； 当，，得 ， 两组，均满足，共2个； 当，，得 ，即，满足，共1个； 时，最小和为，无满足条件的； 总共有个，正确； 综上，正确的说法共2个，故选C． 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， ∴当或时，二次函数在一次函数上方， 即关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 【跟踪专练2】二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 解答题 1．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为，抛物线与x轴的交点坐标为， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）化成顶点式，可求得抛物线的对称轴，令或，分别求解即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）利用旋转和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕原点旋转， ∴顶点坐标为， ∴此时抛物线的解析式为， 将抛物线向右平移1个单位长度， ∴， ∴最终两次变换后的抛物线表达式为：． 2．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）根据是二次函数与轴交点横坐标，得到满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含的项后即可计算出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， 将代入解析式得， ∵抛物线对称轴为直线，二次函数中，对称轴公式为， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵是二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，即， 由得， ， ∴， 代入得：， ∴， ∴， 代入得：， ∴． 3．已知二次函数（为常数）． (1)当二次函数的顶点的纵坐标为3，对称轴在轴的右侧时，求的值； (2)在（1）的条件下，已知，在该二次函数的图象上，若对于，都有，求的取值范围； (3)已知对于任意实数，都有，此时二次函数的图象与直线交于，（点在点的左侧）两点，且，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，根据顶点的纵坐标为3求出k的值，再结合二次函数图象的对称轴在y轴的右侧对k的值进行取舍即可； （2）先求出，抛物线的对称轴为直线，根据若对于，都有，得到，求解即可； （3）根据对于任意实数，都有，得到不等式对任意实数恒成立，即抛物线与轴最多只有一个交点，即判别式，从而可求出，此时二次函数为，且与轴的交点分别为，，由题意知轴，且，设点，点，即可列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：，且二次函数的顶点的纵坐标为3， ，解得或． 二次函数图象的对称轴在轴的右侧， ∴对称轴，即， 的值为4． （2）解：由（1）知：， 抛物线的解析式为． 当时，，即． 又， 抛物线的对称轴为直线． 若对于，都有， 则，解得． （3）解：对于任意实数，都有， 整理，得． 该不等式对任意实数恒成立，即抛物线与轴最多只有一个交点， 判别式，即． ． 此时二次函数为，且与轴的交点分别为，． 由题意知轴，且， 设点，点， 解得 当时，，即． 4．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可解答； （2）把代入函数，得点B的坐标为，，求出t的值，再根据即可解答； （3）由得到，从而得到，求出，由于，则随的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：∵过点与y轴平行的直线交抛物线于点B， ∴把代入函数，得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， 解得，， ∵二次函数自变量的取值范围为， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵点，为二次函数图象上， ∴，即， 解得， ∵ ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，为． 5．已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 6．数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； （2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴对任意的实数恒成立． 令，则有，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 7．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $