3.3 培优课 不等式恒成立、能成立问题 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式恒成立与能成立问题，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，助力知识巩固与推理能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-3题）|一元二次不等式解集条件|直接应用概念，巩固基础，培养抽象能力| |中档层（4-7题）|区间恒成立、能成立及多选|结合参数讨论，提升运算能力，体现推理意识| |提升层（8-13题）|新定义运算、存在性及解答题|综合函数与不等式，培养推理能力与模型意识|

培优课　不等式恒成立、能成立问题 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（　　） A. B. C. D. 2.对于任意实数x，不等式x2＋4x－1＞m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，－4） B.（－∞，－5） C.（－∞，－4] D.（－∞，－5] 3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≤－4或a≥4} B.{a｜－4＜a＜4} C.{a｜－4≤a≤4} D.{a｜a＜－4或a＞4} 4.已知对∀x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，则m的取值范围为（　　） A.（－∞，） B.（0，） C.（0，） D.（，＋∞） 5.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为（　　） A.{a｜－1≤a≤4} B.{a｜－1＜a＜4} C.{a｜a≥4或a≤－1} D.{a｜－4≤a≤1} 6.（多选）不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（　　） A.a＜1 B.a≤1 C.a＜2 D.a＜0 7.（多选）若不等式≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为（　　） A.3 B.4 C.1 D.2 8.若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的取值范围为　　　　. 9.若命题“∃x0∈R，＋2mx0＋m＋2＜0”为假命题，则m的取值范围是　　　　. 10.若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在x∈{x｜1≤x≤4}上有解，则实数a的取值范围是　　　　. 11.在R上定义运算：xⓧy＝x（1－y），若∃x∈R使得（x－a）ⓧ（x＋a）＞1成立，则实数a的取值范围是　　　　. 12.关于x的不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集为R，求实数a的取值范围. 13.已知函数y＝ax2－x－（a＞0），且当x＝时，y≥－.是否存在实数a，使得y的最小值的最大值是－1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 培优课　不等式恒成立、能成立问题 1.D　一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要故选D. 2.B　由题意可知，不等式x2＋4x－1－m＞0对任意的x∈R恒成立，则Δ＝16＋4（m＋1）＝4m＋20＜0，解得m＜－5.因此，实数m的取值范围是（－∞，－5）.故选B. 3.C　由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.故选C. 4.A　由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1，因为x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0，所以m（x2－x）＜1可化为m＜，当2≤x≤3时，因为x2－x＝（x－）2－∈[2，6]，所以≥，所以m＜.即m的取值范围为（－∞，）. 5.A　由题意知，－（x－2）2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即（a－4）·（a＋1）≤0，∴－1≤a≤4.故选A. 6.BC　因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1，综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1.由选项知a＜1的一个必要不充分条件为B、C. 7.CD　因为x2＋x＋1＞0对于任意实数x恒成立，所以不等式≥m可化为3x2＋2x＋2≥m（x2＋x＋1），即（3－m）x2＋（2－m）x＋2－m≥0.当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不符合题意.当m≠3时，依题意，得整理得解得所以m≤2.又m∈N*，所以m＝1或2，故选C、D. 8.（－∞，－3]　解析：法一　令y＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3. 法二　当－1≤x≤2时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤（－x2＋2x）min（－1≤x≤2）.而－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，则当x＝－1时，（－x2＋2x）min＝－3，所以a≤－3. 9.[－1，2]　解析：命题“∃x0∈R，＋2mx0＋m＋2＜0”的否定为“∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”，该命题为真命题，即Δ＝4m2－4（m＋2）≤0，解得－1≤m≤2. 10.{a｜a≤－2}　解析：由x2－4x－2－a≥0，得a≤x2－4x－2＝（x－2）2－6，所以当1≤x≤4时，（x－2）2－6∈[－6，－2]，所以a≤－2. 11.　解析：由题意知（x－a）ⓧ（x＋a）＝（x－a）[1－（x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a＝－（x－）2＋a2－a＋，若∃x∈R，使得不等式（x－a）ⓧ（x＋a）＞1成立，则需函数y＝－（x－）2＋a2－a＋的最大值大于1，即当x＝时，y＝a2－a＋＞1成立，解得a＜－或a＞. 12.解：当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1， 若a＝1，不等式为－1≤0恒成立，符合题意， 若a＝－1，不等式为2x－1≤0，解得x≤，不符合题意； 当a2－1≠0时，若要不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集为R， 则a2－1＜0，且Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）≤0，解得－≤a＜1， 综上可得－≤a≤1，即实数a的取值范围是{a｜－≤a≤1}. 13.解：因为y＝ax2－x－＝a（x－）2－（＋），a＞0，所以ymin＝－－，由－－≤－1，解得0＜a≤，由x＝时，y≥－，得－－≥－，解得a≥，所以a＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $