1.6.1 有理数的加法法则（暑期预习知识清单） 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

第一章　有理数 1.6.1　有理数的加法法则 暑期预习知识清单 2026—2027学年　华东师大版　七年级数学上册 自主学习专用 本节预习导航 🎯 一、与小学知识的联系 小学阶段你只会算正整数与正整数、正数与0的加法（如 3 + 5 = 8、7 + 0 = 7），规则简单：把两个数“合起来”，结果一定比两个加数都大。进入初中后，数系扩展到有理数（出现了负数），加法面临新情况：两个正数相加仍是正数，但“正数 + 负数”“负数 + 负数”结果可能为正、为负，也可能为 0。本节要解决的，就是给所有有理数（含负数）定一套统一、可靠的加法法则。它直接用到前面学的数轴、相反数、绝对值，是第一章“运算”部分的开篇。 🎯 二、小升初术语变化说明 1. 小学“加法就是把数量合起来，和比加数大”只在正数范围成立；初中出现负数后，和不一定比加数大（如 (−3)+(+1) = −2，和比 +1 小）。 2. 小学从不出现“异号相加”；初中必须分“同号、异号、与0”三种情况分别定法则，尤其异号时要用到绝对值相减。 3. 小学加法结果永远是“更多”；初中用相反数概念，相反数相加得 0（如 (+4)+(−4)=0），“合起来”反而抵消。 【小学与初中术语对照表】提前熟悉，能帮你平稳衔接： 小学说法 初中说法 关键变化 和一定比加数大 和可能比加数小或为负 负数加入后结果可变向 只加正数、0 同号 / 异号 / 与0 三类 异号需绝对值相减 （无抵消） 相反数相加得 0 正负可相互抵消 数一数合并 分符号定号、绝对值运算 符号与绝对值分离处理 💡 衔接提醒：本节是1.3 相反数、1.4 绝对值的“用武之地”。异号相加要用绝对值相减，相反数相加得 0，这两处都直接调用前面知识。如果相反数、绝对值还模糊，请先回看，再来本节会轻松很多。 🎯 三、本节核心内容 ① 有理数加法的意义（把两个有理数合并成一个数的运算）；② 同号两数相加法则（取同号，绝对值相加）；③ 异号两数相加法则（绝对值相等→0；不等→取大绝对值符号、大减小）；④ 一个数同 0 相加（仍得这个数）；⑤ 用数轴箭头模型直观理解加法（数形结合）。 🎯 四、本节在全书的地位 有理数的加法法则是第一章运算体系的第一块基石。后面学有理数减法（减去一个数等于加它的相反数）、有理数乘除、乘方，以及整式的加减、方程，全都建立在“加法法则”之上。可以说，本节掌握得牢不牢，直接决定整章乃至七年级上册运算的正确率。务必记住“分三类、定符号、算绝对值”九字诀，多练、多画数轴、多总结错题。 🎯 五、预计学习时间 60分钟（建议分两次：第一次阅读知识清单+画图理解法则，约35分钟；第二次做例题、随堂小测与分层自测卷，约25分钟）。 💡 六、学习建议 先背下九字诀“分三类、定符号、算绝对值”：第一步看两加数同号还是异号（或含0）；第二步同号取同号、异号取绝对值大的符号；第三步绝对值相加（同号）或相减（异号）。做题时首选“画数轴箭头法”——从原点按第一个加数走，再按第二个加数的方向走，终点就是和，直观且不易错。做完题用红笔把错题对应的易错点编号标在题号旁，复习时重点看。若卡住，回“知识清单”把法则读两遍，往往自己就能解开。 一、1.6.1　有理数的加法法则（知识清单） 本节是第一章“运算”的开篇，把前面学的相反数、绝对值用到了实处。建议预习分三步：先通读“知识清单”把三类法则记牢，再看“典型例题”学同号、异号、含0各怎么算，最后用“随堂小测”检验——哪里卡住就回到对应知识点重读，不要急着往下翻。 第一步　预习目标 ✔ 理解有理数加法的意义（把两个有理数合并成一个数的运算）。 ✔ 掌握同号两数相加的法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 ✔ 掌握异号两数相加的法则：绝对值相等时和为0；不等时取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ✔ 知道一个数同0相加仍得这个数，互为相反数的两数相加得0。 ✔ 能借助数轴箭头模型直观理解有理数加法（数形结合），并正确进行有理数加法运算。 第二步　知识清单 📌 知识点1：有理数加法的意义 1. 加法的意义：已知两个有理数，求它们的和的运算，叫做有理数的加法。形式上写 a + b，结果叫和。 2. 与小学加法的关系：有理数加法是小学正数加法的推广——把“只合正数”扩展为“正负都可合，并按符号分类处理”。 3. 核心思路：把每个加数看成带“方向”（正负）和“距离”（绝对值）的量，方向决定符号，距离决定绝对值。这是本节乃至所有有理数运算的总开关。 【生活情境·水位】某水库水位第一天上升 3 cm（记作 +3），第二天又上升 2 cm（记作 +2），两天共上升 (+3)+(+2) = +5 cm。若第二天是下降 2 cm（记作 −2），则共上升 (+3)+(−2) = +1 cm——方向不同，结果就不同。 📌 知识点2：同号两数相加 法则原话：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 1. 两个正数相加：符号为正，绝对值相加。如 (+3)+(+2) = +(3+2) = +5。 2. 两个负数相加：符号为负，绝对值相加。如 (−3)+(−2) = −(3+2) = −5。 记忆要点：符号不变（和加数同号），绝对值直接加起来。同号相加“越加越远”，结果离原点更远。 【生活情境·温度】某夜气温 −3℃，后半夜又降 2℃（再添 −2），累计 (−3)+(−2) = −5℃，更冷了。两个负数相加，冷上加冷。 📌 知识点3：异号两数相加（核心难点） 法则原话：异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 1. 互为相反数（绝对值相等、符号相反）：和为 0。如 (+4)+(−4) = 0、(−3)+(+3) = 0。 2. 绝对值不等时，分两步：① 定符号——取绝对值较大的那个加数的符号；② 算绝对值——用较大的绝对值减去较小的绝对值（是相减，不是相加！）。 3. 举例：(−3)+(+5) = +(5−3) = +2（|+5| > |−3|，取正号，5−3=2）；(+3)+(−5) = −(5−3) = −2（|−5| > |+3|，取负号，5−3=2）。 【生活情境·收支】某月收入 5 百元（+5），支出 3 百元（−3），净结余 (+5)+(−3) = +2 百元——收入绝对值更大，结果为正、剩 2 百元。 📌 知识点4：一个数同0相加 法则原话：一个数同0相加，仍得这个数。 1. 正数加 0：如 (+3)+0 = +3、0+(+3) = +3。 2. 负数加 0：如 (−2)+0 = −2、0+(−2) = −2。 3. 0 加 0：0+0 = 0。 一句话：任何数加 0，结果还是它自己。0 在加法里是“什么都不加”。 【生活情境·账户】银行卡里现有 −2 元（欠 2 元），今天没有任何收支（加 0），余额仍是 −2 元。 📌 知识点5：有理数加法法则分类表（速查） 加数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 举例 同号（两正/两负） 取相同的符号 绝对值相加 (−4)+(−5)=−9 异号且绝对值相等 和为 0（互为相反数） 0 (+6)+(−6)=0 异号且绝对值不等 取绝对值较大的加数的符号 较大绝对值减较小绝对值 (−3)+(+8)=+5 一个数同 0 相加 保持原数符号 等于原数绝对值 (−2)+0=−2 📌 知识点6：记忆口诀与判断流程 九字诀：分三类、定符号、算绝对值。 1. 先看两加数是否含 0：含 0 → 原数（知识点4）。 2. 再看是否同号：同号 → 符号不变、绝对值加（知识点2）。 3. 若异号：绝对值相等 → 0；不等 → 符号随绝对值大的加数、绝对值相减（知识点3）。 口诀：同号相加符号不变、绝对值加；异号相加符号随大、绝对值减（大减小）；相反数相加得0；遇0不变。 📌 知识点7：有理数加法的数轴箭头模型（数形结合） 下面给出标准数轴箭头模型示意图：以 (−3)+(+5) 为例。蓝色箭头从原点 O 到 −3，表示第一个加数 −3；绿色箭头从 −3 向右移动 5 个单位到 +2，表示加上 +5；终点 +2 就是和。顶部、底部标出每一步含义： 【看图说明】加法在数轴上就是“连续走两步”：先按第一个加数走到它的位置，再按第二个加数的符号决定方向（正向右、负向左）、按它的绝对值决定步长，终点对应的数就是和。(−3)+(+5) 先到 −3，再向右走 5 步到 +2，故和为 +2。这把“分符号、算绝对值”变成看得见的移动，异号相加不再抽象。 第三步　特别提醒 💡 补充：有理数加法最易错的是“符号”。同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值。可记口诀：“同号相加符号同，异号相加看绝对，大的绝对定符号，绝对值减不能越”。生活情境：温度从 −3℃ 上升 5℃ 是 −3 + 5 = 2℃；海拔 −100 米再下降 50 米是 −100 + (−50) = −150 米。 ⚠ 提醒1：异号两数相加，符号要取“绝对值较大的加数”的符号，不是第一个加数的符号，也不是随便写。 ⚠ 提醒2：异号相加时，绝对值是“相减”（大减小），千万别加成相加；同号相加才是“相加”。 ⚠ 提醒3：互为相反数的两数相加得 0（如 (+4)+(−4)=0），不要算成 8 或 −8。 ⚠ 提醒4：任何数加 0 仍得原数（如 (−2)+0=−2），别把 0 当“没有”而漏算或乱改符号。 ⚠ 提醒5：拿不准时，画数轴箭头——先走第一个加数，再按第二个加数的方向走，终点即和，直观可靠。 第四步　易错点剖析 易错点1：异号相加符号取错（符号判断类） ❌ 错例：计算 (−3)+(+8)，照抄第一个加数符号，写成 −5。 ✅ 正确：异号相加，符号取绝对值较大的加数的符号。|+8|=8 > |−3|=3，取正号；8−3=5，故 (−3)+(+8) = +5。 【错因】误以为“和的符号 = 第一个加数的符号”，忘了异号时要比绝对值大小。 【规避】异号相加先比两绝对值，谁大符号就随谁；再大减小。 易错点2：异号相加把绝对值算成相加（含义理解类） ❌ 错例：计算 (+5)+(−3)，写成 +(5+3) = +8。 ✅ 正确：异号且绝对值不等，应用较大的绝对值减去较小的绝对值。|+5|=5 > |−3|=3，取正号，5−3=2，故 (+5)+(−3) = +2。 【错因】把异号当同号，绝对值也“加起来”，方向不同本应抵消一部分却没抵消。 【规避】异号→绝对值相减（大减小）；同号→绝对值相加。两类绝不能混。 易错点3：同号相加把绝对值相减或符号搞反（符号判断类） ❌ 错例：计算 (−4)+(−5)，误写成 −(5−4) = −1，或写成 +9。 ✅ 正确：同号相加，符号不变（负号），绝对值相加：(−4)+(−5) = −(4+5) = −9。 【错因】把同号误当异号去“相减”，或把两负数相加错成正数。 【规避】两加数同号（都正或都负），直接“符号照抄、绝对值相加”。 易错点4：把“和的符号”等同于“第一个加数的符号”（概念混淆类） ❌ 错例：计算 (+2)+(−7)，因为第一个加数 +2 为正，就写 +5。 ✅ 正确：异号相加比绝对值，|−7|=7 > |+2|=2，符号随 −7（负），7−2=5，故 (+2)+(−7) = −5。 【错因】习惯性地让“排在前面的数”决定符号，没按法则比绝对值。 【规避】和的符号只由“绝对值大小”决定（异号时），与加数书写先后无关；可交换加数位置验证。 第五步　典型例题 【例题1】（基础题·难度★☆☆）计算：① (−4)+(−5)；② (+6)+(+3)。 【分析】两题均为同号相加，用“符号不变、绝对值相加”。 【解】 ① (−4)+(−5) = −(4+5) = −9。 ② (+6)+(+3) = +(6+3) = +9。 【答案】① −9；② +9。 【旁批】同号相加是最简单的：符号照抄，绝对值直接加。 【例题2】（中档题·难度★★☆）计算：① (−3)+(+8)；② (+2)+(−7)。 【分析】两题均为异号且绝对值不等，先比绝对值定符号，再用大绝对值减小数。 【解】 ① |+8|=8 > |−3|=3，取正号，8−3=5，故 (−3)+(+8) = +5。 ② |−7|=7 > |+2|=2，取负号，7−2=5，故 (+2)+(−7) = −5。 【答案】① +5；② −5。 【旁批】异号相加关键两步：比绝对值定符号、大减小算数值。顺序别反。 【例题3】（易错题·难度★★☆）计算：① (−12)+(+12)；② 0+(−9)；③ (−5)+0。 【分析】① 互为相反数相加得0；②、③ 含0，结果仍是另一个加数。 【解】 ① −12 与 +12 互为相反数，故 (−12)+(+12) = 0。 ② 一个数同0相加仍得这个数，故 0+(−9) = −9。 ③ 同理 (−5)+0 = −5。 【答案】① 0；② −9；③ −5。 【旁批】互为相反数相加是“抵消为0”；遇0“原数不动”。这两类常因想太多而算错。 💡 解题技巧归纳 技巧1（含0）：直接写原数，跳过符号判断。 技巧2（同号）：符号照抄、绝对值相加。 技巧3（异号）：先比绝对值→定符号→大减小；或先想“谁离原点远、符号随谁”。 技巧4（数形结合）：画数轴箭头，先走第一个加数、再按第二个加数方向走，终点即和。 📌 本节知识结构小结 学完本节，请闭书回忆这条主线：加法意义 → 同号相加（符号不变、绝对值加） → 异号相加（相等得0；不等取大符号、大减小） → 与0相加（原数） → 数轴箭头模型。把这条线画成小图（参考后文思维导图），预习就成功了。下一步带着“减法能否转化为加法”的疑问，进入 1.6.2 有理数的减法学习。 第六步　随堂小测 （共5题，全部为客观题，难度为基础至中档，题号连续） 1. 计算 (−3)+(−4) 的结果是（　） A. −7　　B. +7　　C. −1　　D. +1 2. 计算 (+5)+(−8) 的结果是（　） A. −3　　B. +3　　C. −13　　D. +13 3. 填空：互为相反数的两数相加，和等于 ______；一个数同 0 相加，结果等于 ______。 4. 下列计算正确的是（　） A. (−2)+(+3) = −1　　B. (+4)+(−4) = +8　　C. (−5)+(−3) = −8　　D. (+2)+(+3) = −5 5. 某天早晨气温为 −2℃，中午比早晨上升 5℃，用加法表示中午气温为 (−2)+(+5)，结果是 ______℃。 📝 随堂小测参考答案 1. A（同号相加，符号为负，绝对值 3+4=7，故 −7）。 2. A（异号，|+8|=8>|+5|=5，取负号，8−5=3，故 −3）。 3. 0；原数（或这个数本身）（相反数相加得0；任何数+0=原数）。 4. C（A应为+1，B应为0，D应为+5；C：同号相加−(5+3)=−8 正确）。 5. +3（或 3）（异号，|+5|=5>|−2|=2，取正号，5−2=3）。 教材栏目拓展：阅读与思考 华东师大版在“有理数的加法”一节安排“阅读与思考”，核心思想是：把“方向（正负）”和“距离（绝对值）”分离处理。小学加法只关心“数量合起来”，初中有理数加法还要关心“方向是否一致”。同向（同号）就叠加距离（绝对值相加），反向（异号）就抵消一部分（绝对值相减），方向相反且距离相等则完全抵消（和为0）。这种“先判方向、再算距离”的思想，是“转化思想”的第一次系统亮相。 这一栏目的数学思想可概括为两点：①数形结合思想——用数轴上的箭头把“加一个正数=向右走、加一个负数=向左走”可视化，和就是最终落点；②分类讨论思想——按同号、异号、含0分三类分别定法则，避免“一种算法套所有”的混乱。预习时建议你拿一张纸画一条数轴，任取两个有理数，用箭头走一遍，再套法则验证，两种方法对上了，你就真正掌握了。 数学活动（项目式学习） 【活动目的】在真实操作中巩固“分三类、定符号、算绝对值”九字诀，体会数形结合。 【关键步骤】①在纸上画一条合格数轴（三要素齐全）；②任取两个有理数，如 (−3) 与 (+5)，先用箭头走一遍（先到−3，再向右5步到+2）得到和 +2；③用法则 independently 再算一遍（异号，|−5|... 取正号，5−3=2，得+2）；④两种方法结果一致即成功；⑤换几组（同号、互为相反数、含0）各做一次。 【延伸思考】如果交换两个加数的位置，和会变吗？——试 (−3)+(+5) 与 (+5)+(−3)，结果都是 +2。这暗示有理数加法可能满足“交换律”，留到后面正式学习时验证。 本节思维导图 📊 以下用文字描述本节知识结构的思维导图（中心→一级分支→二级分支）： 【中心】1.6.1 有理数的加法法则 ├─ 一、加法意义 │ └─ 把两个有理数合并成一个数 ├─ 二、同号两数相加 │ └─ 取同号，绝对值相加 ├─ 三、异号两数相加 │ ├─ 绝对值相等 → 和为 0 │ └─ 绝对值不等 → 取大绝对值符号，大减小 ├─ 四、一个数同 0 相加 │ └─ 仍得这个数 ├─ 五、数轴箭头模型 │ └─ 先走第一个加数，再按第二个方向走 └─ 六、易错警示 ├─ 异号符号随绝对值大的加数 ├─ 异号绝对值相减（非相加） ├─ 相反数相加得 0 └─ 遇 0 不变 💡 使用建议：上面是文字版思维导图。建议你拿出白纸，照着它手画一遍（中心写“1.6.1 有理数的加法法则”，向外长六个分支），边画边说出每个分支内容。亲手画一遍，比只读一遍记得牢得多。 本节核心公式/概念速查卡 把下面8条做成一张“便携卡片”，早读或考前扫一眼，本节核心就稳了： 🔑 1. 加法意义：把两个有理数合并成一个数的运算。 🔑 2. 同号相加：取相同的符号，绝对值相加。 🔑 3. 异号相加（绝对值相等）：和为 0（互为相反数）。 🔑 4. 异号相加（绝对值不等）：取绝对值较大的加数的符号，较大的绝对值减去较小的绝对值。 🔑 5. 一个数同 0 相加，仍得这个数。 🔑 6. 异号举例：(−3)+(+5)=+2；(+3)+(−5)=−2。 🔑 7. 同号举例：(−4)+(−5)=−9；(+6)+(+3)=+9。 🔑 8. 数形结合：数轴上先按第一个加数走，再按第二个加数的方向走，终点即和。 本节易错点汇总 把前面“易错点剖析”里的四类典型错误再浓缩一遍，考前重点看这里： ⚠ 汇总1（符号判断类）：异号相加符号取“绝对值较大的加数”的符号，不是第一个加数的符号。 ⚠ 汇总2（含义理解类）：异号相加绝对值“相减”（大减小），别错加成“相加”。 ⚠ 汇总3（符号判断类）：同号相加符号不变、绝对值相加，别当异号去减，也别把两负数加成正数。 ⚠ 汇总4（概念混淆类）：和的符号只由绝对值大小决定（异号时），与书写先后无关；可交换位置验证。 本节核心辨析（快问快答） ❓ 问1：有理数加法分哪几类情况？ ✅ 答：同号相加、异号相加、一个数同 0 相加三类。 ❓ 问2：(−5)+(+3) 等于多少？为什么？ ✅ 答：−2。异号且绝对值不等，|−5|=5>|+3|=3，取负号，5−3=2，故 −2。 ❓ 问3：互为相反数的两数相加等于什么？ ✅ 答：0（如 (+4)+(−4)=0）。 ❓ 问4：一个数加 0 等于什么？ ✅ 答：仍得这个数（如 (−2)+0=−2）。 ❓ 问5：同号两数相加，符号和绝对值怎么定？ ✅ 答：符号不变（与加数同号），绝对值相加。 ❓ 问6：(−4)+(−6) 等于多少？ ✅ 答：−10（同号，符号为负，4+6=10）。 本节分层自测卷 （共10题：A层基础巩固5题，B层能力提升3题，C层拓展挑战2题） 【A层·基础巩固】 1. 计算 (−2)+(−5) 的结果是（　） A. −7　　B. +7　　C. −3　　D. +3 2. 计算 (+3)+(−9) 的结果是（　） A. +6　　B. −6　　C. +12　　D. −12 3. 填空：(−7)+(+7) = ______；(−4)+0 = ______。 4. 下列计算正确的是（　） A. (+5)+(−3) = −2　　B. (−6)+(−2) = −4　　C. (−8)+(+3) = −5　　D. (+4)+0 = 0 5. 某地海拔以某点为 0，先下降 3 m 记作 −3，再下降 4 m 记作 −4，共下降（　） A. −7 m　　B. +7 m　　C. −1 m　　D. +1 m 【B层·能力提升】 6. 计算 (+1/2)+(−3/4)（要求先定符号，再算绝对值）。 7. 某天温度：上午 −3℃，下午先上升 6℃ 后又下降 2℃，用连加表示最终温度并求值：(−3)+(+6)+(−2)。 8. 已知 a = −3，b = +5，分别求 a + b 与 b + a，并说明结果体现了加法的什么性质。 【C层·拓展挑战】 9. 已知 |m| = 4，|n| = 2，且 m、n 异号，求 m + n 的所有可能值。 10. 出租车某段行驶记录（向东记 +，向西记 −，单位 km）：+5、−3、+2、−6。① 求最终相对起点的位置；② 这段总行驶路程是多少 km？（注意位置与路程的区别） 参考答案与解析 【A层·基础巩固 解析】 1. A（同号相加，符号为负，2+5=7，故 −7）。 2. B（异号，|−9|=9>|+3|=3，取负号，9−3=6，故 −6）。 3. 0；−4（互为相反数相加得0；任何数+0=原数）。 4. C（A应为+2，B应为−8，D应为+4；C：异号|−8|=8>|+3|=3，取负，8−3=5，−5 正确）。 5. A（连续两次下降，同号相加：−3+(−4)=−(3+4)=−7 m）。 【B层·能力提升 解析】 6. |−3/4| = 3/4 > |+1/2| = 1/2 = 2/4，取负号；3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4，故 (+1/2)+(−3/4) = −1/4。 7. (−3)+(+6)+(−2)：先算 (−3)+(+6) = +3（异号，|−3|<|+6|，取正，6−3=3）；再算 +3+(−2) = +1（异号，|−2|<|+3|，取正，3−2=1）。最终温度 +1℃。 8. a+b = (−3)+(+5) = +2；b+a = (+5)+(−3) = +2。两者相等，说明有理数加法满足交换律。 【C层·拓展挑战 解析】 9. |m|=4 ⇒ m=+4 或 −4；|n|=2 ⇒ n=+2 或 −2。m、n 异号有两种组合：m=+4、n=−2 时 m+n=+2；m=−4、n=+2 时 m+n=−2。故 m+n 的所有可能值为 +2 或 −2。 10. ① 位置（位移）：(+5)+(−3)+(+2)+(−6) = (+2)+(+2)+(−6) = (+4)+(−6) = −2，最终在起点西 2 km（记作 −2 km）。② 总路程：|+5|+|−3|+|+2|+|−6| = 5+3+2+6 = 16 km（路程是各段绝对值之和，与方向无关，不等于位移）。 📝 给预习同学的一句话：有理数加法，记住九字诀“分三类、定符号、算绝对值”——同号符号不变、绝对值加；异号符号随绝对值大的加数、绝对值相减；相反数相加得 0、遇 0 不变。最关键一条——(−3)+(+5)=+2，不是 −2 也不是 +8！暑假里多画数轴箭头、多算几组，开学第一节运算课你就是最从容的那一个！ 学科网（北京）股份有限公司 $