综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 该综合训练紧扣教材核心考点，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合数列、概率统计、三角等知识，强化数学思维与应用能力，培养数学眼光与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|选择3/填空1/解答1|等差等比计算、实际应用|概念生成→公式推导→生活情境应用| |概率统计|选择2/填空1/解答1|古典概型、线性回归|数据收集→模型构建→统计推断| |三角应用|选择2/填空1/解答1|解三角形、三角函数图象|几何直观→定理应用→测量问题| |排列组合|选择2|分类分步计数、有限制组合|原理理解→方法迁移→实际问题解决|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．某中等职业学校的医学专业有两个班：一班有30人，二班有40人.若从两个班中任选一人去参加社会志愿活动，则不同的选法有（   ） A．30 B．40 C．70 D．1200 3．已知等比数列中，，公比，则首项 （    ） A．4 B． C．2 D． 4．在中，已知，，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A． B．2 C． D． 6．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅.现收集了该图书馆五年的借阅数据如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则下列说法中错误的是（    ） A． B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7 C．y与x的线性相关系数 D．2025年的借阅量一定少于6.12万册 7．若随机变量服从正态分布，，则=（    ） A． B． C． D． 8．已知二项式的展开式的第6项是常数项，则展开式的第10项是（   ） A． B． C． D． 9．学校要邀请甲、乙等9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法种数是（   ） A．140 B．98 C．84 D．49 10．已知数列为等差数列，若，则的值为（   ） A． B．0 C． D． 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点，中心对称 C．函数在单调递减 D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 12．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知等差数列的前n项和为，且，则______． 14．从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，则选出的2人恰好是1男1女的概率为_________. 15．在等比数列中，若，，，则 ________. 16．如图，某人工湖上有一座桥长为，经测量桥的一端点到点和的距离分别为和，且，，则湖宽________m．    三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．若的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求该展开式中二项式系数最大的项. 18．某村办企业在年度生产中，前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列.已知第二、第三季度利润之和是12万元，全年共盈利28万元，试问：该企业第四季度盈利多少万元？ 19．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤.”求甲所分小米的斤数. 20．某商场举行促销活动，在一个抽奖箱里装有外表相同的50个奖券，其中标号为0的有12张，标号为1的有10张，标号为2的有14张，标号为3的有8张，标号为4的有6张．参加者从中随机抽取一张奖券，用随机变量表示所抽到的标号． (1)求随机变量的概率分布列； (2)求随机变量的期望值． 21．如图所示，村庄B在村庄A的北偏东方向，且村庄A与B的距离是，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A与C的距离是8km．现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D与村庄C的距离是与村庄B的距离的倍．求：    (1)村庄B与C的距离； (2)农贸市场D与村庄B的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦二倍角的恒等公式，直接代入已知条件即可求解. 【详解】已知， 则， 故选：C. 2．某中等职业学校的医学专业有两个班：一班有30人，二班有40人.若从两个班中任选一人去参加社会志愿活动，则不同的选法有（   ） A．30 B．40 C．70 D．1200 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理可得. 【详解】一班有30人，二班有40人.若从两个班中任选一人去参加社会志愿活动，则不同的选法有. 故选：C. 3．已知等比数列中，，公比，则首项 （    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式可求解. 【详解】由题可得：，即，解得. 故选：B. 4．在中，已知，，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】通过边角关系“大边对大角，小边对小角”，得出三角形的最大角，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，根据余弦值的大小即可判断. 【详解】设边所对的角分别是， 因为，，，即，所以角最大， 由余弦定理得， 又，所以为锐角， 则是锐角三角形． 故选：A. 5．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】在中由正弦定理得出，再在中由正弦定理可得. 在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 故选：B. 6．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅.现收集了该图书馆五年的借阅数据如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则下列说法中错误的是（    ） A． B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7 C．y与x的线性相关系数 D．2025年的借阅量一定少于6.12万册 【答案】D 【分析】根据线性回归方程的性质进行逐项分析即可. 【详解】由题可知，年份代码的平均数，年借阅量y的平均数， 对于A，将带入线性回归方程，可得， 解得，故正确； 对于B，因为，所以节约量的第75百分数是第四个数，即为5.7，故正确； 对于C，由于的系数，可知y与x的线性相关系数，故正确； 对于D，由A可知，， 令，可预计2025年的借阅量， 但不一定少于6.12万册，故错误. 故选：D. 7．若随机变量服从正态分布，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据标准正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以对称轴，进而. 因为，所以，进而. 故选：A. 8．已知二项式的展开式的第6项是常数项，则展开式的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再根据通项公式求出展开式的第项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 因为第6项是常数项，则为常数项， 即，解得， 所以展开式的第10项是. 故选：D. 9．学校要邀请甲、乙等9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法种数是（   ） A．140 B．98 C．84 D．49 【答案】D 【分析】使用间接法，用所有选法数减去甲、乙同时参加的选法数即可. 【详解】从位家长中任选人的所有选法有种，其中甲、乙两位家长同时参加的选法有种， 所以甲、乙两位家长不能同时参加的邀请方法种数为：（种） 故选：D. 10．已知数列为等差数列，若，则的值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质得出的值，即可解答. 【详解】已知，则， 解得，所以， 所以， 故选：A. 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点，中心对称 C．函数在单调递减 D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】D 【分析】根据正弦型三角函数的图像及性质分析求解即可. 【详解】由图像可知：， 所以函数的最小正周期， 所以，解得：； 又因为图像过点，所以， 解得：，因为，所以， 因此函数解析式为：. 对于A选项：最小正周期，故A错误； 对于B选项：令，解得：， 即函数的对称中心为，，与，不一致，故B错误； 对于C选项：当时，， 此时函数在该区间先减后增，故非单调递减，故C错误； 对于D选项：由选项的平移变换后的解析式为： ，故D正确； 故选：D. 12．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用两角和的正弦公式化简求值即可. 【详解】由，得，即， 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知等差数列的前n项和为，且，则______． 【答案】12 【分析】由等差数列的求和公式及通项公式求出公差d，据此可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由可得： ，解得， 所以. 故答案为：12. 14．从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，则选出的2人恰好是1男1女的概率为_________. 【答案】 【分析】根据组合以及古典概型概率公式计算即可. 【详解】从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛， 则选出的2人恰好是1男1女的概率为. 故答案为：. 15．在等比数列中，若，，，则 ________. 【答案】6 【分析】根据题意利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，若，， 设公比为，则，解得， 因为，则， 解得， 故答案为：. 16．如图，某人工湖上有一座桥长为，经测量桥的一端点到点和的距离分别为和，且，，则湖宽________m．    【答案】 【分析】根据题意结合余弦定理求出，得出为等腰三角形，为直角三角形，利用勾股定理即可得解. 【详解】已知，，， 在中，由余弦定理得， 即， 解得或（舍去）， 即为等腰三角形，又因为，所以， 又因为，所以， 即为直角三角形，在中， 由勾股定理得，则， 故湖宽． 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．若的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求该展开式中二项式系数最大的项. 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，求得，进而确定二项式系数的最大值所在的项，结合通项公式即可求解. 【详解】由题意可得， ，解得， 所以的展开式的通项公式为： ，其中. 在展开式中所有的二项式系数中，最大，即第6项为所求， 所以. 18．某村办企业在年度生产中，前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列.已知第二、第三季度利润之和是12万元，全年共盈利28万元，试问：该企业第四季度盈利多少万元？ 【答案】16万元 【分析】假设四季度的利润分别是，，，，然后得到，，计算即可. 【详解】设四季度的利润分别是，，，， 则①，②， 由①②得，，或，. 因利润逐季增长，所以，. 所以该企业第四季度盈利16万元. 19．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤.”求甲所分小米的斤数. 【答案】8 【分析】首先设出等差数列的首项以及公差，再根据题意列出方程，再求解甲所分小米的斤数. 【详解】设首项为，公差为． 因为甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列， 则不妨设甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次为． 因为甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且共30斤小米， 所以，即，所以． 因为，所以，即． 进而，解得. 所以甲所分小米的斤数为8斤. 20．某商场举行促销活动，在一个抽奖箱里装有外表相同的50个奖券，其中标号为0的有12张，标号为1的有10张，标号为2的有14张，标号为3的有8张，标号为4的有6张．参加者从中随机抽取一张奖券，用随机变量表示所抽到的标号． (1)求随机变量的概率分布列； (2)求随机变量的期望值． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（）根据题意得出的可能取值为，，，，，利用古典概型公式分别求出概率，结合分布列的定义即可得解. （）代入期望公式即可得解. 【详解】（1）的可能取值为，，，，． ，，， ，， 所以的概率分布列为 （2）． 21．如图所示，村庄B在村庄A的北偏东方向，且村庄A与B的距离是，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A与C的距离是8km．现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D与村庄C的距离是与村庄B的距离的倍．求：    (1)村庄B与C的距离； (2)农贸市场D与村庄B的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合余弦定理即可得解. （）根据正弦定理求出，利用题意求出，代入余弦定理即可得解. 【详解】（1）由题意可知，在中，，， 由余弦定理： ， 所以. （2）在中，由正弦定理可知，，解得， 因为，所以，故在的正西方向， ，， 由余弦定理：， 解得 或（舍）， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $