第九章 随机变量及其分布（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层训练，B卷聚焦随机变量及其分布的知识整合与能力提升，通过概念辨析、公式应用及实际问题解决，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|判断随机变量类型及离散型特征|从随机变量定义到离散型与连续型概念区分| |公式应用|7题|计算期望、方差、二项分布概率|从分布列构建到数字特征公式推导应用| |实际应用|3题|射击、考试成绩、产品检验问题|从数学模型到现实情境的迁移应用| |综合解答|5题|分布列构建、正态分布3σ原则应用|知识网络整合，培养推理能力与应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若离散型随机变量，则和分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若随机变量服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 3．某射手射击一次命中目标的概率为，他连续射击3次，恰好命中2次的概率为（     ） A． B． C． D． 4．某射击运动员平时训练命中环数为随机变量，其分布列为： 6 7 8 9 10 则的数学期望为（    ） A．7.65 B． C． D． 5．已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是（    ） A． B． C． D． 6．抛掷一枚质地均匀的硬币，随机变量为（    ） A．掷硬币的次数 B．正面向上的次数 C．正面向上或反面向上的次数 D．正面向上与反面向上的次数之和 7．下列随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某网站1分钟内的访问次数；④一天内的温度.其中为离散型随机变量的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 8．随着科学日新月异发展，AI芯片被定义为“第四次工业革命的大脑”．我国某科研公司自主研发AI芯片元件的质量指标服从正态分布，若，则（   ） A．0.32 B．0.42 C．0.82 D．0.18 9．已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 10．已知随机变量服从正态分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 12．若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A．39 B．65 C．50 D．63 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 14．已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 15．有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_________． 16．某所学校高三共有1000名学生，教育局对这1000名学生的某日学习时间进行了调查.其中该校所有高三学生在该日学习时间（单位：小时）服从正态分布，则该日这1000名学生学习时间在10.2小时以上的人数为______人.（四舍五入，保留整数）(参考数据:,). 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知某车间正常生产某种零件的尺寸（单位：mm）满足正态分布，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：27.34，27.49，27.55，27.23，27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68.请你根据正态分布的原则，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定为是在非正常状态下生产的. 18．一袋中装有5个球，编号为，现从中同时取出3个球，以表示取出的3个球中最小号码，写出随机变量的分布列. 19．某厂生产的产品，质量要求服从正态分布，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102，92，104，103，98，96，97，99，101，108，则该生产线是否要停产检修？ 20．学校举办一项活动，某班需要从3名男生、2名女生中随机选出2人参加． (1)若选出的同学中女生人数为，求； (2)求事件{选出的同学中至少有1名女生}的概率． 21．甲、乙两名运动员站在，，三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在，，三处投中的概率均分别为，，. (1)设表示甲运动员投中的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若离散型随机变量，则和分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望和方差公式进行计算即可求解. 【详解】因为，则二项分布 ，； 所以，. 故选：B. 2．若随机变量服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式即可得解. 【详解】随机变量服从二项分布， 则， 故选：C. 3．某射手射击一次命中目标的概率为，他连续射击3次，恰好命中2次的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立重复事件的概率公式求值即可. 【详解】已知射击一次命中目标的概率为， 则不命中的概率为，他连续射击3次， 恰好命中 2 次的概率 故选：A. 4．某射击运动员平时训练命中环数为随机变量，其分布列为： 6 7 8 9 10 则的数学期望为（    ） A．7.65 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数学期望的计算公式求值即可. 【详解】. 故选：B. 5．已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所有概率和为 1求出，再求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 即. 故选：B. 6．抛掷一枚质地均匀的硬币，随机变量为（    ） A．掷硬币的次数 B．正面向上的次数 C．正面向上或反面向上的次数 D．正面向上与反面向上的次数之和 【答案】B 【分析】根据随机变量的概念求解即可. 【详解】选项A.掷硬币的次数是1次，是确定的，不是随机变量. 选项B.出现正面向上的次数为0或1，是随机变量. 选项C.正面向上或反面向上的次数是1次，是确定的，不是随机变量. 选项D.正面向上与反面向上的次数之和是1次，是确定的，不是随机变量. 故选：B. 7．下列随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；③某网站1分钟内的访问次数；④一天内的温度.其中为离散型随机变量的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念求解即可. 【详解】①车辆数是离散的、可变的、能列出的，是离散随机变量； ②质点是连续的、可变的、不能一一列出的，不是离散随机变量； ③访问次数是离散的、可变的、能列出的，是离散随机变量； ④温度是连续的、可变的、不能列出的，不是离散随机变量； 故选：C. 8．随着科学日新月异发展，AI芯片被定义为“第四次工业革命的大脑”．我国某科研公司自主研发AI芯片元件的质量指标服从正态分布，若，则（   ） A．0.32 B．0.42 C．0.82 D．0.18 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的性质即可得解. 【详解】根据已知条件质量指标服从正态分布，可知正态分布曲线的对称轴为直线， 又因为与关于直线对称，， 所以， 结合正态分布曲线概率用面积来表示，可知. 故选：A. 9．已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二项分布的方差公式求出的值，然后代入二项分布的概率公式求解. 因为，， 则， 解得或， 当时，； 当时，. 故选：D. 10．已知随机变量服从正态分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的图像及性质求解即可. 【详解】由正态分布性质可知，图象关于对称， ∴， ∴， ∴，∴. 故选：A. 11．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质可得80分到100分的所占比例，然后简单计算即可. 【详解】由题可知：数学考试成绩近似服从正态分布，高于120分的人数占总人数的， 所以低于80分人数占总人数的，则80分到100分的人数占总人数的 所以可以估计参加本次联考的总人数约为. 故选：D. 12．若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A．39 B．65 C．50 D．63 【答案】D 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 【答案】 【分析】由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和.   因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为：. 14．已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 【答案】 【分析】首先列出随机变量，再求解分布列，最后求数学期望和方差. 由条可知，，，， 则， . 故答案为：. 15．有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算得解. 设“该同学恰好答对两题”，依题意，该同学答对一题的概率为， 因此，所以该同学恰好答对两题的概率为. 故答案为：. 16．某所学校高三共有1000名学生，教育局对这1000名学生的某日学习时间进行了调查.其中该校所有高三学生在该日学习时间（单位：小时）服从正态分布，则该日这1000名学生学习时间在10.2小时以上的人数为______人.（四舍五入，保留整数）(参考数据:,). 【答案】159 【分析】利用正态分布的性质计算学习时间在10.2小时以上的概率，再结合总人数得出答案. 【详解】已知该校所有高三学生在该日学习时间服从正态分布，即，， 因为，可得， 因为正态分布曲线关于对称，且， 所以， 所以该日这1000名学生学习时间在10.2小时以上的人数为. 故答案为：159. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知某车间正常生产某种零件的尺寸（单位：mm）满足正态分布，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：27.34，27.49，27.55，27.23，27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68.请你根据正态分布的原则，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定为是在非正常状态下生产的. 【答案】尺寸为27.23，27.68的零件应该判定是在非正常状态下生产的． 【分析】根据题意结合正态分布的原则即可求解. 【详解】解：根据题意，，，. 故，， 故27.23，27.68在区间之外， 故根据正态分布的原则， 尺寸为27.23，27.68的零件应该判定是在非正常状态下生产的． 18．一袋中装有5个球，编号为，现从中同时取出3个球，以表示取出的3个球中最小号码，写出随机变量的分布列. 【答案】答案见解析 【分析】首先确定的所有可能，求出所对应的概率，列出分布列即可. 【详解】已知表示取出的3个球中最小号码， 所以的取值可能为， 则， ， ， 所以分布列为 1 2 3 19．某厂生产的产品，质量要求服从正态分布，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102，92，104，103，98，96，97，99，101，108，则该生产线是否要停产检修？ 【答案】应停产检修 【分析】根据正态分布的性质分析求解即可. 由题意知产品质量服从正态分布，则， 产品质量在区间，即内的概率为， 而在这个区间外的概率仅为， 在抽测的10件产品中有2件（分别是92，108）不在这个区间内，小概率事件竟然发生了， 说明生产线有问题，故应停产检修． 20．学校举办一项活动，某班需要从3名男生、2名女生中随机选出2人参加． (1)若选出的同学中女生人数为，求； (2)求事件{选出的同学中至少有1名女生}的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值，利用古典概型计算各取值对应的概率，再代入期望公式求解； （2）根据对立事件的概率公式求解. 【详解】（1）总人数为，从人中任选人的总基本事件数为. 随机变量表示选出的女生人数，其可能取值为， 当时，选出的人均为男生，概率为 当时，选出的人为男女，概率为 当时，选出的人均为女生，概率为 则的分布列为 0 1 2 所以 （2）事件{选出的同学中至少有1名女生}的对立事件为{选出的人均为男生}， 所以 21．甲、乙两名运动员站在，，三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在，，三处投中的概率均分别为，，. (1)设表示甲运动员投中的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2). 【分析】（）根据题意分别求出随机变量X为0，1，2，3的概率即可得解. （）根据即可得解. 【详解】（1）根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望为：. （2）设Y表示乙运动员投中的个数，同（1）可知， ，，，， ，， ， 所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $