综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 以章节AB卷分层巩固为基础，综合测试卷整合解析几何、立体几何、向量等核心模块，通过基础应用与综合推理题型构建知识网络，提升数学眼光、思维与语言能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析几何|6题（含椭圆、抛物线等）|选择填空侧重定义应用，解答题结合直线与椭圆综合计算|从椭圆定义、双曲线渐近线等概念，到实际问题（如天宫一号轨道）的模型构建，形成“概念-性质-应用”链条| |立体几何|4题（含正方体、线面垂直等）|选择判断位置关系，解答题涉及证明与体积计算|以正方体为载体，通过线面垂直判定、体积公式推导，体现空间观念与推理能力| |向量|5题（含模、夹角等）|坐标运算与几何意义结合考查|从向量坐标运算到夹角公式推导，再到立体几何中的工具性应用，强化运算能力| |简易逻辑|2题（充分必要条件）|结合不等式考查条件判断|通过集合关系分析条件逻辑，培养理性思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上一点，则＝（   ） A． B． C．2 D．4 2．在正方体中，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 4．已知向量，，则=（    ） A． B． C． D．3 5．如图，在中，.设，，则下列正确的是（   ）    A． B． C． D． 6．“，”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知向量的模，若，则与的夹角为（   ） A．0 B． C． D． 8．如图，中国空间站“天宫一号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫一号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米    A． B． C． D． 9．如图，已知平面，，且，为的中点，则与垂直的平面为（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 12．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是_________. 14．关于x的实系数一元二次方程有虚根，实数k的取值范围___________. 15．若向量，，，且，则________． 16．已知椭圆的离心率是，椭圆上一点P到两焦点的距离之和是8.则椭圆的标准方程是______. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 18．已知是实系数一元二次方程的一个根，求它的另一个根和实数的值. 19．已知平面向量，，求，以及与夹角的余弦值. 20．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点.    (1)求直线的方程； (2)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上一点，则＝（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，求出即可得出结果. 【详解】椭圆方程为，这是一个焦点在轴上的椭圆， ，则. 根据椭圆的定义， . 即. 故选：B. 2．在正方体中，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图像，找到异面直线所成的角，利用正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像，连接， 因为在正方体中，， 所以是平行四边形，即， 即异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 因为是正方形，即，所以异面直线与所成的角为， 故选：A. 3．已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】 已知向量，，若， 因此，解得. 故选：C. 4．已知向量，，则=（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：D. 5．如图，在中，.设，，则下列正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法法则即可求解.. 【详解】由图可知. 故选：A. 6．“，”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若“，”成立，则一定成立，故充分性成立， 若“”成立，则和同号，即或，故必要性不成立， 综上，“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知向量的模，若，则与的夹角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出，结合平面向量的数量积即可得解. 【详解】由题意，可得，则，解得， 设与的夹角为，， 所以，即． 故选：D. 8．如图，中国空间站“天宫一号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫一号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆中之间的关系，即可求解. 【详解】由题意，设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 则， 所以， 所以， 所以轨道的短轴长为. 故选：D. 9．如图，已知平面，，且，为的中点，则与垂直的平面为（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】因为平面，平面， 所以，又，即， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又，为的中点， 所以， 又平面，平面，， 所以平面，故选项B正确； 因为平面，所以选项A错误； 因为与不垂直，平面，所以与平面也不垂直， 故选项C错误； 因为与不垂直，平面，所以与平面也不垂直， 故选项D错误； 故选：B. 10．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系即可判断. 【详解】对A：若，，则，可能平行、可能相交、也可能异面，故A项错误； 对B：如图，满足，，，但是，故B项错误； 对C：若，，则与相交，或，或，故C项错误； 对D：若，，由线面垂直的性质可得，故D项正确．    故选：D． 11．抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的准线方程，设，由抛物线的定义，将转化为到准线的距离，据此求出. 【详解】由抛物线方程，可知其准线方程为， 设，其中，由抛物线的定义可得： ，解得. 故选：D. 12．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标即可求得. 【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 将点代入，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即， 故选：A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由充分不必要条件的定义,知是的真子集,分情况讨论即可. 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 14．关于x的实系数一元二次方程有虚根，实数k的取值范围___________. 【答案】 【分析】根据题意利用即可得解. 【详解】关于x的实系数一元二次方程有虚根， 则， 解得， 所以实数k的取值范围， 故答案为：. 15．若向量，，，且，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，，则, 所以，解得. 故答案为：. 16．已知椭圆的离心率是，椭圆上一点P到两焦点的距离之和是8.则椭圆的标准方程是______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和离心率公式确定的值，再由的关系得出的值即可. 【详解】已知椭圆的离心率是， 由椭圆上一点P到两焦点的距离之和是8， 可得， 所以，解得， 则， 所以椭圆的标准方程是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据必要条件转化为即可求解. 【详解】由“” 是“” 成立的必要条件可得， 故，又，所以 18．已知是实系数一元二次方程的一个根，求它的另一个根和实数的值. 【答案】另一个根为，，. 【分析】根据实数系一元二次方程的虚根成对且互为共轭复数，求出另一个根，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 则另一个根为， 由韦达定理可知，， 即，， 综上所述，另一个根为，，. 19．已知平面向量，，求，以及与夹角的余弦值. 【答案】5， 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示和向量夹角的公式求值即可. 【详解】已知平面向量，， ， 所以， 所以. 20．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点.    (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程确定焦点，再由直线的点斜式确定直线方程即可. （2）首先联立直线与椭圆方程，再由弦长公式确定的长，再由点到直线的距离公式得出三角形的高，最后由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）已知椭圆中，，， 则，即，可得左焦点， 直线的斜率 ， 故直线的方程为，即.    （2）联立直线与椭圆方程，化简得， 设，则，， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $