综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层巩固与提升，综合测试卷整合跨章节知识，强化空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合测试卷|12选择+4填空+5解答|基础概念辨析与综合应用结合|向量、解析几何、立体几何知识网络构建，突出推理意识与问题解决能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在平行四边形中，设对角线的交点为，则（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线可构成等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D．或2 5．已知焦点在轴的椭圆，离心率为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若复数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知x是实数，则“”是“”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在同一坐标系中，方程与表示的曲线可能是（   ） A．   B．   C．   D．   9．若双曲线C：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 10．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 12．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．实系数一元二次方程的一个根为，则实数_______. 14．已知椭圆是椭圆的两个焦点，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长是__________. 15．边长为的正方形中，垂直平面，则点E到CD的距离为__________. 16．已知向量，，若与平行，则实数________． 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 18．已知：，与的夹角为，且，，问m为何值时，. 19．已知实系数一元二次方程的一个根是，求的值. 20．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 21．已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在平行四边形中，设对角线的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算结合图形即可求解. 【详解】由图可知， 所以， 又. 故选：A. 2．若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线可构成等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质以及等边三角形的特点来建立关于离心率的等式求解. 【详解】如图所示，不妨设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左焦点为，短轴的两个顶点分别为和.    ∵为等边三角形，， ∴， ∴离心率. 故选：D. 3．已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，然后根据数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由题可知：，，所以， 所以. 故选：D. 4．已知向量满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据向量模长公式，先平方再开方，代入已知模长与内积计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 5．已知焦点在轴的椭圆，离心率为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知椭圆的标准方程和离心率，可根据椭圆的基本性质以及离心率公式来求解. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆，所以. 离心率，代入可得. 又因为，代入和，解得，所以. 故选：C. 6．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算化简复数，代入模长公式即可得解. 【详解】复数， 则. 故选：B. 7．已知x是实数，则“”是“”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解两个不等式，再判断两个集合的条件关系. 【详解】， ， 分析可知， 集合是集合的真子集， 若，则必有，充分性成立； 但时，不一定有， 如时，，但，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．在同一坐标系中，方程与表示的曲线可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据椭圆及抛物线方程及图像的关系判断即可. 【详解】方程表示焦点在轴的椭圆，由此可排除CD选项； 方程可化为：， 则该方程表示开口向左的抛物线，A符合题意，B不符合题意. 故选：A. 9．若双曲线C：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】因为双曲线的虚轴长为8，即，所以， 又渐近线方程为，则， 所以双曲线C的方程为. 故选：C. 10．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出图像，利用长方体的性质及线面垂直的判定定理得出平面，即可找到线面角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像，连接且，连接， 因为，所以， 在长方体中，因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面， 即平面， 所以直线与平面所成角为， ， ，则， 所以. 故选：C. 11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意结合面面垂直的判定定理及线面的位置关系即可得解. 【详解】对A：若，，则直线m与直线n可能平行，也可能异面，故A项错误； 对B：若，，则或，故B项错误； 对C：若，，根据面面垂直的判定定理可知，故C项正确； 对D：若，，，只有当时才有，若时不一定成立，故D项错误. 故选：C. 12．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的解法，结合正方体的性质分析判断各选项. 【详解】选项A，连接和，因为正方体中， 所以（或其补角）是直线与所成的角， 设正方体棱长为，在中，， 所以是等边三角形，则， 故直线与所成的角是，故A选项错误； 选项B，因为平面，所以就是直线与平面所成的角， 在中，，，所以，故B选项错误； 选项C，因为平面，平面，所以. 因为，，， 所以就是二面角的平面角， 由前面分析可知，故C选项错误； 选项D，因为，，， 所以就是二面角的平面角， 又因为，所以二面角的平面角是，故D选项正确， 故选：D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．实系数一元二次方程的一个根为，则实数_______. 【答案】5 【分析】根据题意可知另一个根为，利用韦达定理即可得解. 【详解】实系数一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 由韦达定理可知，， 即，解得， 故答案为：. 14．已知椭圆是椭圆的两个焦点，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长是__________. 【答案】20 【分析】根据椭圆的定义，结合四边形的周长与椭圆上点的焦点距离的关系求解即可； 【详解】因为椭圆，所以，即， 因为点在椭圆上，所以， 所以四边形的周长.    故答案为：20. 15．边长为的正方形中，垂直平面，则点E到CD的距离为__________. 【答案】 【分析】根据题意作出图像，结合线面垂直的性质及判定定理得出点E到CD的距离为即可得解. 【详解】    如图所示，边长为的正方形中，垂直平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以点E到CD的距离为， 因为平面，所以，则， 故答案为：. 16．已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【分析】先计算和的坐标，再利用平行条件列方程求解. 【详解】向量，， ， ， 若与平行， 则，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 【答案】 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点，结合直线的点斜式方程，韦达定理，抛物线的弦长公式即可求解. 【详解】由题意得，抛物线，则，解得，所以抛物线的焦点为. 所以斜率为1的直线的方程为：，即. 联立，化简可得，则. 所以. 18．已知：，与的夹角为，且，，问m为何值时，. 【答案】 【分析】首先运用向量的内积的定义求出，再由向量垂直的表示结合内积的运算律列方程求解即可. 【详解】由，与的夹角为， 可得， 且，， 由，得=0， 所以， 即， 得， 整理为，解得. 所以当时，. 19．已知实系数一元二次方程的一个根是，求的值. 【答案】 【分析】根据题意，结合实系数一元二次方程的两根的关系，求得另一根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根是， 所以另一个根为， 所以，即， 解得， 所以. 20．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，连接，交于O，连接，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及二面角的定义，易判断即是二面角的大小，结合线面角的定义，及解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，先求得底面的边长，继而求得底面的面积，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）    连接，交于O，连接， 因为底面，底面， 所以， 又底面为正方形，所以, 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以即是二面角的大小， 因为底面， 所以是与底面所成的角，即, 所以，, 所以， 即二面角的正切值为； （2）因为底面为正方形，， 所以正方形的边长， 因为底面，所以， 所以四棱锥的体积. 21．已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据椭圆的定义及性质求出点的值即可得解. （）根据题意联立方程组，结合韦达定理，利用平面向量垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】（1）椭圆的焦点分别是，则， 点在椭圆上，且，则， 所以， 所以椭圆方程为. （2）设， 联立方程组， ，解得或， 由韦达定理可知，， ， 因为，则， 所以， 解得，经检验符合题意， 所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $