综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项以教材章节为基准，通过AB卷分层训练与综合测试卷整合，构建从基础巩固到能力提升的知识网络，培养空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-9、填空13-15|聚焦定义辨析与公式应用，如双曲线焦点、椭圆离心率、向量平行条件|从几何量（焦距、离心率）到位置关系（线线夹角、向量垂直），形成概念生成-性质推导-简单应用链条| |综合应用|选择10-12、填空16、解答17-21|综合考查方程求解与空间几何，如抛物线标准方程、二面角计算、椭圆弦长|以解析几何（椭圆与直线）和立体几何（点面距离）为载体，体现知识交叉应用，发展推理意识与应用能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 2．已知点为双曲线上一点，且分别为双曲线的左、右焦点，若，则（   ） A．2 B．2或18 C．4 D．4或18 3．已知双曲线的一个焦点坐标是，则实数的值是（    ） A． B． C． D．3 4．椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，若，则（ ） A． B．2 C．3 D．5 6．已知，， 与 的夹角为，则 =（    ） A． B． C． D． 7．在四边形中，，，则这个四边形为（     ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形 8．直线，直线，有以下几个命题 ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则， 其中正确是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 9．已知m为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知向量，，若，则 __________. 14．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为________． 15．已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，短半轴长为3，则椭圆的标准方程为______________. 16．已知二面角的平面角为，点P在内，P到l的距离为，则点P到的距离为______． 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知 ， ， ， 求 的值. 18．求以椭圆的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 19．已知，若，求及． 20．已知椭圆：，右焦点为，离心率为，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长. 21．如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线所成角的定义，结合直三棱柱的结构特征即可得解. 【详解】在直三棱柱中，， 所以为直线与的夹角， 因为在直三棱柱中，， 又，所以. 故选：B. 2．已知点为双曲线上一点，且分别为双曲线的左、右焦点，若，则（   ） A．2 B．2或18 C．4 D．4或18 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中， 则，即， ∵， ∴由双曲线定义，， 则有，即， 解得或. 且，， 经检验，或时都满足，都成立. 故选：B. 3．已知双曲线的一个焦点坐标是，则实数的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程和焦点坐标可得，，据此可求解. 【详解】由题可知：，， 所以，解得（负根舍去）. 故选：C. 4．椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，则，， ，， 所以离心率为. 故选：C. 5．已知平面向量，，若，则（ ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C. 6．已知，， 与 的夹角为，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】因为，， 与 的夹角为， 所以. 故选：B. 7．在四边形中，，，则这个四边形为（     ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【分析】根据数乘向量与模的性质即可解答. 【详解】因为在四边形中，， 所以，所以四边形为梯形， 因为，所以四边形为等腰梯形， 故选：B. 8．直线，直线，有以下几个命题 ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则， 其中正确是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据直线之间的位置关系以及平面之间的位置关系求解即可. 【详解】①因为直线，，所以，因为直线，所以，正确， ②若，所以或，当时无法推出； ③若，所以与也可能平行，此时又，则可能垂直，错误； ④若，又，所以，正确. 故选：C. 9．已知m为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义求出，利用充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 当时，复数为纯虚数，故充分性成立； 当复数为纯虚数时，，故必要性不成立， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 10．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义和已知条件确定其标准方程. 【详解】因为抛物线顶点在原点，焦点在轴上，且点在抛物线上， 所以抛物线的开口向左，焦点在轴的负半轴上， 设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 已知点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 11．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线是椭圆及焦点位置得到两分母的范围，解不等式即可. 【详解】因为方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 所以有， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 12．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式，可得，再根据充要条件的概念可判断. 【详解】由可得： ，解得，即， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知向量，，若，则 __________. 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 由得，，解得. 故答案为：. 14．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为________． 【答案】 【分析】先连接，再根据为长方体得到平面，为在平面的投影，进一步得到即为与平面所成的角的平面角即可求解． 【详解】如图所示，连接， ∵为长方体， ∴平面，为在平面的投影， ∴，即为与平面所成的角的平面角， ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴对角线与平面所成的角为， 故答案为：． 15．已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，短半轴长为3，则椭圆的标准方程为______________. 【答案】 【分析】由椭圆的焦点位置、焦距以及短半轴长即可得解. 【详解】焦点在y轴上，设椭圆方程为， 由题意知，焦距，短半轴， 则，故方程为. 故答案为：. 16．已知二面角的平面角为，点P在内，P到l的距离为，则点P到的距离为______． 【答案】 【分析】过点P作于，作于，连接，由线面垂直的判定和性质，可得，即是二面角的平面角，在中可求解. 【详解】如图，过点P作于，作于，连接，    因为，，所以，. 又，，所以平面. 又平面，所以； 又，所以是二面角的平面角. 在中，，， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知 ， ， ， 求 的值. 【答案】 【分析】根据向量夹角公式求解. 【详解】， 因为，所以. 18．求以椭圆的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】先确定椭圆的焦点、顶点位置及参数，再结合题设给出的双曲线与椭圆顶点、焦点的对应关系，求解双曲线参数后写出标准方程. 【详解】已知椭圆的标准方程为，由于，因此椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，. 所以，即.因此椭圆的焦点坐标为，长轴顶点坐标为. 由题意，双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的长轴顶点为焦点， 因此双曲线的焦点也在轴上，设双曲线的标准方程为，其中实半轴长为，半焦距为. 则，，所以. 因此双曲线的标准方程为. 19．已知，若，求及． 【答案】或，. 【分析】设出复数，再根据共轭复数以及乘法运算求解即可. 【详解】设，则. 因此，解得. ，解得. 因此或，. 20．已知椭圆：，右焦点为，离心率为，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和的关系结合已知条件即可求解. （2）根据已知条件求出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，则， 因为离心率为，即，又，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线倾斜角为，所以直线斜率为1， 又直线过椭圆的右焦点，所以直线方程为， 联立直线和椭圆方程，消整理得， 由韦达定理有，，设， 故. 21．如图所示，已知底面是正方形，底面，且，求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先找到二面角的平面角，进而求解； （2）根据线面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 因为底面是正方形， 所以， 又因为，平面，平面， 所以面， 因为平面，则, 所以为二面角的平面角， 在中，， 为三角形的内角， ， 即二面角的大小为. （2）如图所示，连接与交于点， 因为底面，平面， 所以 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方形的边长为， 则 即点到平面的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $