第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，用符号语言可表达为（    ）    A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据空间点线面关系用对应符号语言描述即可. 【详解】点为元素，线和平面是集合．根据点与集合、集合与集合的关系可得： ，，，． 故选：D. 2．下列命题正确的是（   ） A．可以无限延展的面是平面 B．有一组平行线的面一定是平面 C．两条直线确定一个平面 D．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 【答案】D 【分析】根据平面的概念判断选项即可. 【详解】A：可以无限延展的面不一定是平面，曲面也可以无限延展，故A错误. B：有一组平行线的面不一定是平面，如圆柱的侧面有一组平行线，但圆柱的侧面是曲面，故B错误. C：两条相交直线或平行直线可以确定一个平面，两条异面直线不确定一个平面，故C错误. D：四边形的一组对边平行，平行直线确定一个平面，所以四边形上四个点都在这个平面上，故这个四边形是平面图形. 故选：D. 3．在长方体中，棱与棱的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】A 【分析】根据长方体中空间直线的位置关系求解即可. 【详解】在长方体中，    棱；棱； 由平行线的传递性，得，故位置关系为平行. 故选：A . 4．若空间中两个角与的两边对应平行，当时，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】因为空间中两个角的两边对应平行,所以这两个角相等或互补即可求解. 【详解】∵与的两边对应平行， ∴或． 又∵， ∴或． 故选：D. 5．在空间四边形中，E，F分别是和上的点，若，则对角线和平面的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．不能确定 【答案】A 【分析】由条件可得，然后根据线面平行的判定定理判断. 【详解】在中，已知，可得， 又因为平面，而平面， 所以平面. 故选：A． 6．直线与平面所成角为，则这条直线与平面内所有直线所成角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面所成角的定义与性质及线面垂直的判定及性质求解. 【详解】设直线与平面所成角为，直线与平面内直线所成角为， 直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中的最小角，即最小值为， 过直线上一点作直线于点，设直线与平面交于点， 则直线在平面内的射影为直线， 设直线为平面内一条直线，且， 因为，，则， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 此时直线与平面内直线所成角为， 又直线与直线所成角范围是， 所以直线与平面内直线所成角的范围是， 综上，这条直线与平面内所有直线所成角的最大值是． 故选：B． 7．在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到对角线在平面内的射影，即可找到所求的线面角，再由边的关系求解即可. 【详解】连接的中点与的中点，连接， 在正方体中， 为正方体中心，为点在左侧面上的射影， 所以平面，因为平面，即， 又，，，平面， 所以平面，即在平面上的射影， 所以即与平面的夹角， 设正方体边长为， 在中， ，， 所以， 所以对角线与平面所成角的正弦值是. 故选：A. 8．已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选：C. 10．如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理及性质，面面垂直的判定定理逐项判断即可得解. 【详解】    在正四面体中，取点为中点，连接， 可知，，，平面， 则平面，平面，所以，则与所成的角为，故选项A错误；    如图所示，令交于点，连接，在正四面体中，平面， 则与平面所成的角为， 设正四面体的棱长为， 则，， 所以直线与平面所成的角不是，故选项错误； 因为，直线不垂直于，直线不垂直于，则选项C错误；    因为平面，平面，所以平面平面，故选项正确， 故选：D. 11．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形三线合一性质与线面垂直的判定定理，确定点到的垂线段为，再通过两次勾股定理计算的长度 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得， 因为平面，平面， 由线面垂直的性质可得，又， 平面，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面， 因为平面，故， 即线段的长度为点到的距离, 在中，，，， 且，所以， 故选：D. 12．如图所示，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开图还原正方体，再找平行线即可. 【详解】由平面展开图还原正方体如下图所示，    则由图可知，正方体棱所在的直线中，与直线平行的是，故A符合题意； 平面，平面，所以，故B不符合题意； 平面，平面，所以，故C不符合题意； 与不在同一平面，是异面直线，故D不符合题意. 故选：A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据正四棱锥的性质即可得解. 连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又为正方形，，所以， 则， 在中，. 故答案为：. 14．如题图所示，长方体中，，，与平面所成的角为，则二面角的平面角的正切值为__________．    【答案】 【分析】根据线面角以及二面角的定义以及长方体的性质求解即可. 【详解】长方体中，平面， 因为与平面所成的角为，所以，且， 所以是等腰三角形，即，且， 则， 因为， 所以二面角的平面角为，， 即二面角平面角的正切值为． 故答案为：. 15．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    【答案】 【分析】首先找到异面直线与所成的角，再根据三角形求解即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以. 则直线与所成角为. 因为正四棱锥的棱长都为，所以为等边三角形，因此.    故答案为：. 16．设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若∥∥，则∥； ③若，则； 其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】①③ 【分析】对于①：根据线面垂直的性质定理分析判断；对于②：根据面面平行的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断. 对于①：若，由线面垂直的性质定理可得，故①正确； 对于②：根据面面平行的判定定理，由于不能确定是否相交，故不能推出∥， 如图所示，此时相交，故②错误； 对于③：若，由面面垂直的性质定理得，故③正确； 故答案为：①③. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．将正方形沿对角线折成直二面角后，求.    【答案】 【分析】在原正方形内，对角线互相垂直，折成直二面角后，可得，进而求得，再在可求解. 【详解】    如图，折之前，设正方形对角线的交点为，边长为2， 在正方形中，， 因为， 所以， 折之后，仍有， 所以是二面角的平面角. 又因为二面角是直二面角，所以， 在直角中，， 所以，即为等边三角形， 所以. 18．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】5 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 19．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义，结合勾股定理，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】连接. 因为平面，平面，所以. 所以与平面所成的角，就是与其在平面上的投影所夹的角，即. 在正方形中，边长，所以对角线. 在直角三角形中，，，所以， 所以，即所以与平面所成的角为. 20．如图，正方体的棱长为2，求： (1)二面角的大小． (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用几何法找出直接计算即可. （2）根据即可计算出三棱锥的体积. 【详解】（1）在正方体中有平面， . ， 二面角即为. （2）因为， 在正方体中有平面， 所以即为三棱锥的高. 所以. 21．如图，已知棱长为2的正四面体，为的中点，求：    (1)与所成角的余弦值； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，，在求得所求角的余弦值； （2）取的中点，连接交于点O，连接，由平面确定是直线与平面所成的角，进而求解. 【详解】（1）取的中点F，连接，， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴是与所成的角， 在中，，，， ， ∴与所成的角的余弦值.    （2）取的中点，连接交于点O，连接， ∵平面， ∴是在平面上的射影， ∴是直线与平面所成的角， 在中，，，，， 直线与平面所成的角的正切值为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，用符号语言可表达为（    ）    A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 2．下列命题正确的是（   ） A．可以无限延展的面是平面 B．有一组平行线的面一定是平面 C．两条直线确定一个平面 D．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 3．在长方体中，棱与棱的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 4．若空间中两个角与的两边对应平行，当时，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 5．在空间四边形中，E，F分别是和上的点，若，则对角线和平面的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．不能确定 6．直线与平面所成角为，则这条直线与平面内所有直线所成角的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 10．如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线 D．平面平面 11．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 14．如题图所示，长方体中，，，与平面所成的角为，则二面角的平面角的正切值为__________．    15．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    16．设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若∥∥，则∥； ③若，则； 其中所有正确命题的序号是_________. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．将正方形沿对角线折成直二面角后，求.    18．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 19．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 20．如图，正方体的棱长为2，求： (1)二面角的大小． (2)求三棱锥的体积. 21．如图，已知棱长为2的正四面体，为的中点，求：    (1)与所成角的余弦值； (2)直线与平面所成角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $