第四章 三角函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足三角函数核心考点，通过AB卷分层设计实现基础巩固与能力提升，综合测试卷强化知识网络构建与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选3-4题|概念判断与辨析|从三角函数定义出发，构建概念间内在联系| |性质应用|单选5-8题+填空14-15题|函数性质（单调性/周期性/值域）分析|经性质推导形成知识链，强化逻辑推理| |实际建模|单选5/10/16题+解答18题|结合生活/古代数学问题的建模应用|体现数学语言表达现实世界的模型意识| |综合计算|解答17/19/20/21题|综合公式推导与方程求解|通过综合题提升数学思维的运算与推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 三角函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．化简（   ） A． B． C． D． 2．若，且，，则角（   ） A． B． C． D．或 3．下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数 C．函数的值域为 D．函数的周期为 4．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．交流电的瞬时值随时间周期变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 6．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”．任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串．重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则θ的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（   ） A． B．为钝角 C． D．点在第四象限 9．如图所示，已知正方形ABCD中一小一大两个正三角形和紧挨在一起，则这两个三角形的面积之比（   ）    A． B． C． D． 10．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积．弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（    ）（参考数据：）    A． B． C． D． 11．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 12．下列四个命题：①锐角是第一象限角；②第一象限角是锐角；③钝角比锐角大；④第二象限角比第一象限角大.其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知，是第四象限角，则__________． 14．函数的最小值是________． 15．函数是定义在上的偶函数，当时，，则=__________． 16．用一根长度为的铁丝制作一个扇形（包括两条半径和一段弧）.若要使此扇形的面积最大，则扇形的圆心角应为_____弧度. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设，，，求的值. 18．一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 19．已知是方程的根，求角． 20．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 21．已知函数的最大值为，最小值为， (1)当函数取最大值时，求的取值集合； (2)求的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 三角函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数在各象限的符号，及同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为3弧度的角是第二象限角，所以， 所以. 故选：C. 2．若，且，，则角（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】结合三角函数值在各象限的符号及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】若，且，，则， 又，则. 故选：B． 3．下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数 C．函数的值域为 D．函数的周期为 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据余弦函数的单调性判断B；根据正弦函数的值域判断C；根据三角函数的周期公式判断D. 【详解】选项A：设，其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数不是奇函数，A选项错误， 选项B：根据余弦函数的单调性可知， 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，B选项错误， 选项C：当时，根据正弦函数的图象性质可知， 当时，；当时，， 所以函数，的值域为，C选项正确， 选项D：函数的周期，D选项错误. 故选：C. 4．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数转化成二次函数，根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】令， 则， 二次函数图像开口向上，对称轴为， 则函数在上单调递减， 时，函数有最小值：， 时，函数有最大值：， 所以函数的值域为， 故选：D. 5．交流电的瞬时值随时间周期变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【分析】首先根据图象求出函数的表达式，再将代入表达式求解即可. 【详解】根据函数图象知，最大值为，因为，所以， 根据函数图象知，，所以，解得， 则函数为， 因为函数过， 所以，即， 因为，所以，进而， 当时，（安）. 故选：D. 6．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”．任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串．重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数字黑洞的运算规则求出的值，再代入三角函数表达式结合诱导公式计算结果. 【详解】首先根据数字黑洞的定义，任取一数字串运算： 不妨取数字串2026， 第一步运算：偶数个数为4，奇数个数为0，总数字个数为4，得到新数字串404； 第二步运算：404中偶数个数为3，奇数个数为0，总数字个数为3，得到新数字串303； 第三步运算：303中偶数个数为1，奇数个数为2，总数字个数为3，得到新数字串123； 重复运算，123的偶数个数为1，奇数个数为2，总数字个数为3，仍得到123，故数字黑洞. 将代入三角函数式得： ， 由诱导公式可得： . 故选：A. 7．若，且，则θ的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系化简得出的符号，由此确定θ的取值范围. 【详解】已知， 则，则， 因为，由，得， 由，得， 当同时满足时，θ的取值范围是， 故选：B. 8．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（   ） A． B．为钝角 C． D．点在第四象限 【答案】B 【分析】由已知条件可知角为第三象限角，由三角函数的定义求得的值，逐一分析选项即可. 【详解】选项：角的终边经过点，则，故正确； 选项：为第三象限角，不一定为钝角，故错误； 选项：，故正确； 选项：因为，所以点在第四象限，故正确． 故选：B. 9．如图所示，已知正方形ABCD中一小一大两个正三角形和紧挨在一起，则这两个三角形的面积之比（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，代入等边三角形的面积公式即可得解. 【详解】正方形ABCD中一小一大两个正三角形和， 所以, 即与的边长之比为， ， 故选：. 10．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积．弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（    ）（参考数据：）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直角三角形中的边角关系，可求得扇形的弦长，以及圆心到弦的距离，结合题意代入即可求解. 【详解】因为弧田的圆心角为，则，又半径为， 所以， 则圆弧所对的弦长， 又，所以矢为， 所以弧田面积约为.    故选：B. 11．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角和并集的运算即可求解. 【详解】集合，，则 ， ， ， ， 选项D符合，选项ABC均不符合. 故选：D. 12．下列四个命题：①锐角是第一象限角；②第一象限角是锐角；③钝角比锐角大；④第二象限角比第一象限角大.其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据锐角，钝角，象限角的概念进行分析即可. 【详解】锐角是第一象限角，故①正确， 第一象限角不全是锐角，例，故②错误， 钝角比锐角大，故③正确， 第二象限角不一定比第一象限角大， 例为第一象限角，为第二象限角，故④错误， 故正确的为①③， 故选：A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分). 13．已知，是第四象限角，则__________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围求出的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【详解】因为，是第四象限角，所以， 所以. 故答案为：. 14．函数的最小值是________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合二次函数的性质，即可求出函数的最小值. 【详解】， 令，由正弦函数值域得，. 该二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减， 因此当取最大值时，取得最小值. 故答案为：. 15．函数是定义在上的偶函数，当时，，则=__________． 【答案】3 【分析】根据函数的奇偶性及特殊角的三角函数值分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，解得， 所以时，， 所以， 故答案为：. 16．用一根长度为的铁丝制作一个扇形（包括两条半径和一段弧）.若要使此扇形的面积最大，则扇形的圆心角应为_____弧度. 【答案】 【分析】设出扇形半径，根据题意结合扇形的面积公式及二次函数性质求出当时扇形面积最大，代入圆心角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为， 则扇形的面积为，函数图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 所以当时，扇形面积最大， 此时弧长为，圆心角为弧度， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，17-19小题，每题8分，第20-21小题，每题10分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设，，，求的值. 【答案】， 【分析】根据题意，结合函数解析式，及特殊角的三角函数值，利用函数方程组法，即可求解. 【详解】由，得，， 所以，解得，． 18．一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【答案】当圆心角为时，扇形的面积取最大值，最大值为 【分析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小． 【详解】 设扇形的半径为，弧长为，则 ，即． 扇形的面积，将上式代入， 得， 所以当且仅当时，有最大值16， 此时， 可得：． 所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为． 19．已知是方程的根，求角． 【答案】 【分析】先解方程得或，再根据的值域为，故取，进而求解角即可. 【详解】方程，可得，解得或， ∵， ∴， ∴. 20．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简已知等式求出，再将齐次式转化为仅含的表达式，代入数值计算即可. （2）利用将整式化为分式，再将齐次式转化为仅含的表达式，代入数值计算即可. 【详解】（1）由，可得， 则有， 所以； （2） . 21．已知函数的最大值为，最小值为， (1)当函数取最大值时，求的取值集合； (2)求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意可知函数解析式，然后根据取最值的条件计算即可； （2）根据（1）的条件可知结果. 【详解】（1）由题可知：的最大值为，最小值为， 所以，则. 当，即时，函数取最大值， 所以的取值集合 （2）由（1）可知：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $